探討高等數學中輔助函數的構造方法

袁曉華

摘 要：輔助函數在高等數學的解題及理論證明中有著廣泛地運用，若選擇適當的輔助函數可以使解題或證明思路簡潔，可以將一般問題化為特殊問題，將復雜問題化為簡單問題。文章對高等數學中輔助函數的應用做了一定的研究，闡述了輔助函數的構造方法，從而為相關問題的學習和研究提供參考。

關鍵詞：輔助函數;構造;中值定理

在數學解題中經常運用輔助函數，如何構造輔助函數始終是一個難點，因此應努力尋找一些構造輔助函數的方法，使難的問題化為比較簡單的問題來解決數學中的難題。另外，輔助函數到底在數學中有哪些應用呢，為此，文章進行了詳細的歸納和總結。結合例子，文章主要分析和介紹了輔助函數的構造方法，這些方法有常數值法，原函數法，中值定理法，逆向思維法等，這些常用輔助函數的構造方法，可為相關問題的研究提供一定的借鑒和參考。

一、構造輔助函數的方法

在解題的過程中若我們用好輔助函數，則能起到事半功倍的效果，文章主要通過具體事例來介紹構造輔助函數的方法。

（一）常數值法

此法適用于常數已分離出的命題。構造輔助函數可以分為三個步驟：

（1）將常數部分令作k;

（2）恒等變換使等式的一端為a及f（a）構造成代數式，另一端為b及f（b）構造成代數式;

（3）分析關于端點的表達式是否為對稱式或輪換對稱式，若是只要把端點a改寫成x，相應的函數值f（a）改寫為f（x），則變量后的端點表達式就是所求的輔助函數F（x）。

例1.1 設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，試證：存在一點ξ∈（a，b），使等式=ξf′（ξ）+f（ξ）成立。

證明：令F（x）=xf（x）-，顯然F（x）在[a，b]上連續在（a，b）內可導。又設F（a）=F（b）=0，滿足羅爾定理，于是至少存在一點ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=0，即

ξf′（ξ）+f（ξ）-=0，

=ξf′（ξ）+f（ξ）。

（二）原函數法

在利用微分中值定理求解介值（或零點）問題時，要證明的結論往往是某一個函數的導函數的零點，因此可通過不定積分反求原函數作為輔助函數，其步驟可以總結為：

（1）將要證明結論中的ξ或（x0）轉化成x;

（2）通過恒等變換將結論轉化為易積分（或容易清除導數符號）的形式;

（3）用觀察法或湊微分法求出原函數（必要時，可在等式兩端同乘以非零的積分因子，為簡單起見可以將積分常數取為零）;

（4）移項，使等式一邊為零，則等式的另一邊所需的輔助函數。

例2.1 設函數f（x）在[0，1]上連續，f（0）=0，f（x）dx=0。證明存在ξ∈[0，1]，使得f（x）dx=ξf（ξ）成立。

證明：=f（0）=0= F（0）所以F（x）在x=0處右連續，而F（x）在（0，1]上連續是顯然的，因此F（x）在[0，1]上連續。此外，F（x）在（0，1）內可導，且F（0）=0，F（1）=f（t）dt=0

因此由羅爾中值定理知，存在ξ∈[0，1），使得

F′（ξ）==0，

即f（x）dx=ξf（ξ）。

（三）中值定理法

利用輔助函數來解決問題是高等數學中的一種常見的方法。而這一我們不太熟悉的思維方式，卻可以通過拉格朗日定理的證明使我們得以認識，并從中揣摩其構造方法以及證明方法。不管最初定理證明時是否如此引入輔助函數，但這幾種引入的方法卻使我們去思考，去設想，去判斷，去驗證，從而合理模擬，從中體會到數學證明新的創意。

例3.1 設a>0，在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，且f′（x）≠0，證明存在ξ，η∈（a，b），使得f′（ξ）=f′（η）。

證明：根據拉格朗日定理，在（a，b）中存在ξ，使得

f′（ξ）=，

再根據柯西中值定理，存在η∈（a，b），使

，

于是f′（ξ）=f′（η）。

以上構建輔助函數的方法在一類證明中應用非常廣并且行之有效，值得一用。在應用該方法構建輔助函數時應該注意一下兩點：

（1）如果在所證的等式中只有一個變量，只要對照公式找出p（x）和q（x），計算出輔助函數即可;

（2）如果待證明的微分等式含有多個變量，可以先固定其中的若干個變量，然后用類似的方法構造輔助函數。

例3.2 設函數f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（0）=0，f（1）=0。試證明：

（1）存在點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=;

（2）存在點x1，x2∈（0，1） =2。

證明：（1）由于f（x）在（0，1）上連續，所以由連續函數的介值性定理知，對∈（0，1）使得f（ξ）=。

（2）由于f（x）在[0，ξ]上連續，在（0，ξ）內可導，所以由拉格朗日中值定理知存在點x1∈（0，ξ）使得f（ξ）-f（0）=f′（x1）（ξ-0），即

（3）

由于f（x）在[ξ，1]上連續，在（ξ，1）內可導，所以由拉格朗日中值定理知，存在點x2∈（ξ，1），使得f（1）-f（ξ）=f′（x2）（1-ξ），即

（4）

綜合（3）（4）可得。

（四）逆向思維法

例4.1 設f（x）在[0，1]上可微，且滿足f（1）=xf（x）dx，證明在[0，1]內至少存在一點θ使f′（θ）=-。

證明：由所要證明的結論出發，結合已知的條件，因此要探尋恰當的輔助函數，

將f′（θ）=變形為f（θ）+θf′（θ）=0，聯想到[xf（x）]′|x=θ= f（θ）+θf′（θ）可考慮輔助函數F（x）=xf（x），x∈[0，1]。

因為f（1）=xf（x）dx，由積分中值定理知，至少存在一點使得f（1）=ξf（ξ）。

而對于F（x）而言，有F（ξ）=ξf（ξ），F（1）=f（1）所以F（ξ）=f（1），

由Rolle定理知，至少存在一點θ∈（ξ，1）使F′（θ）=0，即

f′（θ）=-。

（五）按圖索驥法

例5.1 證明（x>0，y>0<x≠y，n>1）。

證明：因為所要證明的不等式中，多次出現了tn這樣的表達式，聯想到凹函數的定義，不難發現應考慮輔助函數f（t）=tn（t>0），由于f′（t）=ntn-1，f″（t）=n（n-1）tn-2>0，因此可以知道f（t）是凹函數，從而當x>0，y>0，x≠y時即有，即。

二、結語

通過這幾個例子我們總結了微分中值定理構造輔助函數的原函數法，中值定理法等其他方法和一般規律。構造輔助函數沒有什么萬靈的方法，它是一種創造性的思維過程，具有較大的靈活性。運用基本的數學思想，經過認真的觀察，深入的思考能構造出合適的輔助函數，從而解決復雜的數學難題。

參考文獻

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