例談幾何畫板及其教學應用

高長樂 張東海

摘 要 在基礎教育中多媒體應用少、效果差。從基層一線的角度對信息技術的應用提出一些可行的辦法，重點探討對幾何畫板的應用，希望對促進基礎教學進步有所幫助。

關鍵詞 幾何畫板；3D幾何畫板；GeoGebra；多媒體；課件庫

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2018）15-0030-05

1 引言

筆者身在基層，深感基層教育之薄弱?；鶎咏逃谋∪踉从趦蓚€方面。

1）硬件環境差，校園建設落后，薪資福利低，這都是可以克服的，難以克服的問題是圖書館的書籍多為20世紀七八十年代購置，難以跟上潮流步伐；電腦、多媒體數量少、質量差，難以大規模推廣使用。

2）教師觀念陳舊，不能接受新事物，對外界的接觸來源于偶然的外出開會或培訓，不能有效掌握多媒體等新式教學手段，致使有限的新設備淪為擺設。

隨著國家經濟的發展，基層教育迎來一次發展的良機。在硬件上，學校購置大批新書籍，多媒體做到每班一臺，電腦做到每個教師人手一臺；在軟件上，電腦改變了原來由中央到地方的層級結構，使得知識的傳播扁平化、開放化。

2 幾何畫板發展現狀

幾何畫板是美國Key Curriculum Press公司做的一款軟件，1996年，該公司授權人民教育出版社發行，由國家教委向各學校推廣使用。初級版本只能解決平面幾何問題，當時的一些前輩因陋就簡，經過巨大努力，做出一些較為成熟的例題，但是只能用于有限的演示，不能隨課堂需要隨時制作。

2008年，歐陽耀華老師發明3D幾何畫板，徹底解決了立體幾何的動態展示問題。在這套工具問世之前，網上已經出現一些表現立體幾何的工具，其中有美國保羅的3D工具和霍焰老師制作的立體幾何平臺，還有Infinte網友的3D平臺。保羅的工具可以有中心投影和正投影兩種顯示方式，但是測量功能欠缺；霍焰老師的工具測量功能齊全，但是只能提供正投影的顯示方式，立體感稍稍不足；Infinte網友的工具界面友好，另外具備表面的材質編輯功能和燈光功能，但是測量功能較少。這些工具各有所長，用法各異，但都是利用幾何畫板本身的自定義工具功能，通過計算用平面圖像表現立體效果。以此為基礎，歐陽老師制作了3D幾何畫板，徹底解決了立體幾何的問題。

3D幾何畫板已經發明多年，據筆者所知，該軟件在衡水地區幾乎沒有應用，即使是在幾何畫板初級版本的應用上，受硬件的影響，衡中也只是偶有應用，自衡中以下，各學校鮮有嘗試。

現在，電腦和多媒體已經普及，硬件上得到保障，怎樣讓多媒體發揮出更大的價值，而不僅僅是作為一個大號的投影儀使用，這是亟待解決的問題。幾何畫板是國家推廣、課本推薦，簡便實用的一款軟件，適合現階段研究。

3 幾何畫板的優勢

1）幾何畫板操作簡便，大部分平面課件僅需幾分鐘即可完成。以人教版選修2-1中的2.2.1內的例3為例，如圖1所示，設點A，B的坐標分別為（-5，0）（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-4/9，求點M的軌跡方程。

【構造過程】如圖2所示：

①建坐標系，確定點A，點B；

②設參數t為直線AM傾斜角，求tan（t）的值作為直線

AM的斜率，求-4/9除以tan（t）的值作為直線BM的斜率；

③由點斜式輸入直線AM，BM的函數解析式，構造兩直線的交點M；

④構造參數t的動畫按鈕。

【使用方法】

①點擊動畫按鈕，點M隨參數t的變化而移動，其軌跡顯示為以線段AB為長軸的橢圓；

②將-4/9改變為-1，再點擊動畫按鈕，則點M的軌跡是以線段AB為直徑的圓（圖3）；

③將-1改變為-2，再點擊動畫按鈕，則點M的軌跡是以線段AB為短軸的橢圓（圖4）；

④將-2改變為2，再點擊動畫按鈕，則點M的軌跡是以線段AB為實軸的雙曲線（圖5）。

這勢必激發學生的好奇心：為什么斜率乘積的改變會引起軌跡的改變？這種改變中是否存在某種必然聯系？

【推導過程】設兩斜率乘積為m，則

所以，m>0時，點M的軌跡是以線段AB為實軸的雙曲線；-1

2）有操作類按鈕，對使用者的計算機軟件技術水平要求不高，主要體現使用者的教學思想和教學水平。如對正方體的表面展開圖的制作（圖6），就大量應用了操作類按鈕。

4 幾何畫板的劣勢

1）代數計算能力不足。比如求定積分，只能依賴極限求和的原理用迭代的方法勉強求值；其他如求導數、求切線等，都必須由使用者手工計算（圖7）。

2）表示曲面很困難。該軟件使用網格表示曲面，計算量大，計算速度慢，圖形效果差。如圖8所示，構造長方體的外接球。

如果使用幾何畫板制作立體圖形，則需要5.0以上的版本，或者在自定義工具中加裝立體工具。

5 超級畫板（GeoGebra）的發展現狀

GeoGebra是佛羅里達州亞特蘭大大學的數學教授Markus Hohenwarter所設計的，該軟件最大的特點是開放性。軟件完全免費，可根據使用需要進行修改，擁有世界性的交流平臺，交互性強，自面世以來在世界各地使用者的努力下增加了很多功能，除包含代數區、幾何區，還包含3D幾何區、表格區和概率統計區。中國臺灣地區的官長壽老師在軟件的本土化及課例制作上做了很多工作。2011年5月25日，在北京師范大學數學科學研究院曹一鳴教授牽頭下，中國GeoGebra研究院成立；其后，在天津師范大學和南京師范大學的努力下，天津GeoGebra研究院和南京GeoGebra研究院也相繼成立。就目前來說，該軟件在各師范院校應該是進行了一些推廣，但是在廣大教育一線并沒有取得實際進展，更沒有與一線教學相結合，形成適合本地教學的課件，在一線教學中形成生產力。

GeoGebra的優勢

1）代數計算功能強大，能直接求積分、導數、切線、極值等（圖9）。

2）表示曲面時運算量小，效果好（圖10）。

GeoGebra的劣勢

1）對計算機編程要求較高，程序語言要求苛刻（圖11）。

2）水平旋轉是自動的，垂直旋轉是手動的，沒有恢復原位的功能，在三視圖或空間幾何體的演示過程中存在一定的不便（圖12）。

6 畫板在其他學科的應用

畫板軟件在各科教學中有廣闊的應用前景，如圖13～

圖16所示。

7 對各學校軟件應用的建議

1）組織各科教師學習使用，確保人人會用。

2）由各科教師組織研討會，結合實際需要，挑選各章節需要演示的重點例題。

3）由學校組織軟件使用情況好的教師，通過網絡收集和自主制作相結合，制作本校課件庫。

4）在教學實踐中以組為單位，統一備課，隨時增減普通型課件，在教學一線產生實際生產力。

8 結語

本文對畫板軟件在教學一線的應用提出一些看法，希望和各位同仁切磋進步，解決基層教育中的一些實際問題。