經(jīng)驗(yàn)改造，彌合教與學(xué)的裂縫

□ 江蘇省射陽(yáng)縣明達(dá)雙語(yǔ)小學(xué) 孫其強(qiáng)

以平面圖形面積計(jì)算為例，要想實(shí)現(xiàn)對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的順利改造，要求學(xué)生能利用杠桿經(jīng)驗(yàn)——面積單位來(lái)測(cè)量原始經(jīng)驗(yàn)以及構(gòu)造新經(jīng)驗(yàn)。充分考慮杠桿經(jīng)驗(yàn)在整個(gè)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展體系中的張力，聚焦“教”與“學(xué)”的交錯(cuò)點(diǎn)，進(jìn)行合理改造，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的順利改造。

一、改造原始性經(jīng)驗(yàn)

長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)與面積單位的定義聯(lián)系緊密，需要我們注重測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，用單位面積去丈量矩形。要幫助學(xué)生順利改造原始經(jīng)驗(yàn)，必須用杠桿概念——小方塊表示的單位面積來(lái)入手。顯然，學(xué)生原始經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)無(wú)法滿足圖形的多樣性。如果三角形、平行四邊形、梯形等圖形的面積無(wú)法直接劃分成整數(shù)份的小正方形，如果用方格圖去規(guī)劃，對(duì)學(xué)生而言就是一次換湯不換藥的操作活動(dòng)，原始經(jīng)驗(yàn)并未得到改造。原始經(jīng)驗(yàn)雖粗淺卻意義重大，教師需要幫助學(xué)生深入分析來(lái)改造原始經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生自發(fā)認(rèn)識(shí)到“長(zhǎng)方形無(wú)法整數(shù)切分的情況下如何計(jì)算？為什么長(zhǎng)乘以寬就可以算出矩形面積？”從而將客觀經(jīng)驗(yàn)改造成理性經(jīng)驗(yàn)，促成“教”“學(xué)”經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接。

當(dāng)學(xué)生用目測(cè)法準(zhǔn)確比較出書(shū)本和報(bào)紙的面積大小后，讓他們?cè)俟罍y(cè)幾本數(shù)學(xué)書(shū)可以鋪滿一張人民日?qǐng)?bào)，并提問(wèn)“數(shù)學(xué)書(shū)鋪滿報(bào)紙說(shuō)明它們的面積有什么關(guān)系”，使學(xué)生感知到，單位面積是可以變化的，以數(shù)學(xué)書(shū)大小為面積單位，根據(jù)覆蓋報(bào)紙所需要的本數(shù)就可以計(jì)算出報(bào)紙的面積。鋪一鋪后，讓學(xué)生比較教室前后兩塊黑板的面積；兩個(gè)面積非常接近，既無(wú)法依靠平鋪測(cè)算，也無(wú)法將兩塊固定黑板疊合在一起進(jìn)行比較。這一新疑難對(duì)“平鋪”經(jīng)驗(yàn)提出了質(zhì)疑：“剛才已經(jīng)測(cè)量出報(bào)紙的大小相當(dāng)于5本數(shù)學(xué)書(shū)，現(xiàn)在只需要用報(bào)紙去分別度量一下兩塊黑板大小就行！”于是學(xué)生領(lǐng)悟到面積單位只是一個(gè)測(cè)量工具，根據(jù)需要可以任意轉(zhuǎn)換。

用數(shù)學(xué)書(shū)鋪滿報(bào)紙的操作活動(dòng)，直擊了面積單位的杠桿本質(zhì)，有效地幫助學(xué)生生成了“利用臨時(shí)性工具測(cè)量報(bào)紙和黑板大小”的經(jīng)驗(yàn)。因此，提升原始經(jīng)驗(yàn)，就需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)斷層的特點(diǎn)，促成經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，拓寬學(xué)生自悟的空間。

二、改造再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生遇到相似情境時(shí)，就會(huì)自動(dòng)聯(lián)想并遷移原有經(jīng)驗(yàn)，在與新知磨合的過(guò)程中形成再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)。再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)生成是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過(guò)程，正、負(fù)遷移都有可能發(fā)生，也會(huì)有一個(gè)曲折調(diào)試的過(guò)程。教學(xué)的關(guān)鍵就是如何激活再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)，并最大限度發(fā)揮它的潛能。

在學(xué)習(xí)平行四邊形面積計(jì)算時(shí)，用鄰邊相乘（類比“長(zhǎng)×寬”）就是一種再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)。如何讓停滯在“鄰邊相乘”歧路的學(xué)生順利沿著割補(bǔ)法的道路走下去呢？如果直接提示引導(dǎo)，生硬跳轉(zhuǎn)到剪切操作活動(dòng)中，學(xué)生難以分辨平行四邊形鄰邊與長(zhǎng)方形鄰邊的異同。

當(dāng)經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)出現(xiàn)偏差，可以讓學(xué)生研究差異，追本溯源，以原始經(jīng)驗(yàn)來(lái)撬動(dòng)再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)，疏浚“教”與“學(xué)”的渠道。當(dāng)學(xué)生偏執(zhí)地認(rèn)為平行四邊形面積＝底×鄰邊時(shí)，呈現(xiàn)格子圖。學(xué)生會(huì)將面積認(rèn)定在一個(gè)彈性區(qū)間里。繪制格子圖的過(guò)程不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到矩形和平行四邊形的面積差異，也讓學(xué)生在面積測(cè)量的原始經(jīng)驗(yàn)支點(diǎn)上認(rèn)清了兩者的相同點(diǎn)，即“每行排放單位面積的個(gè)數(shù)×行數(shù)”。接下來(lái)，讓學(xué)生自主利用格子圖測(cè)試平行四邊形面積計(jì)算公式。

再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)的生成過(guò)程總是伴隨著對(duì)原始經(jīng)驗(yàn)的質(zhì)疑和否定，但是我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)對(duì)原始經(jīng)驗(yàn)的沖擊與動(dòng)搖是有著積極意義的，它是再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)獲得產(chǎn)生和發(fā)展賴以依存的土壤，沒(méi)有對(duì)原始經(jīng)驗(yàn)的懷疑和反思，再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)就失去了根基，也失去了對(duì)比修正的參照物。仍然以上面平行四邊形的面積為例，如果沒(méi)有對(duì)數(shù)方格法的反思，如果沒(méi)有質(zhì)疑過(guò)“為什么數(shù)方格的方法用在矩形里成立，到平行四邊形里卻行不通”，如果沒(méi)有質(zhì)疑過(guò)“矩形的長(zhǎng)寬相乘是否滿足方格數(shù)的要求”，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形的做法也就失去了合法性，也無(wú)法推翻平行四邊形面積等于鄰邊相乘的謬論。

原始經(jīng)驗(yàn)的延伸產(chǎn)生錯(cuò)誤，在糾錯(cuò)過(guò)程中完善經(jīng)驗(yàn)、再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生才能主動(dòng)經(jīng)歷“從肯定到否定、從錯(cuò)到對(duì)、從破到立”的思維鍛煉，使再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)獲得實(shí)踐認(rèn)證。

三、改造再生性經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生第三次遇到類似情境時(shí)，成熟的再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)即時(shí)復(fù)現(xiàn)，學(xué)生能直接應(yīng)用，這樣的經(jīng)驗(yàn)稱為再生性經(jīng)驗(yàn)。三角形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)對(duì)梯形面積公式推導(dǎo)就是再生性經(jīng)驗(yàn)。平行四邊形面積公式對(duì)三角形面積公式也是再生性經(jīng)驗(yàn)，但教材采用的是兩個(gè)相同三角形拼接成一個(gè)平行四邊形，這與平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生偏離，因此就屬于再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)。

在推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式時(shí)，再生性經(jīng)驗(yàn)也能起作用。無(wú)論是什么三角形，特殊還是一般，也能通過(guò)復(fù)雜的割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成四邊形。那么，為何教材棄割補(bǔ)法不用，選擇了全等拼合法？就學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生能夠想到和接受割補(bǔ)等腰三角形的方法，但不等邊三角形需要切割中位線，卻超出了學(xué)生的空間想象力。學(xué)生很難想到正確的割補(bǔ)法，即使老師作了說(shuō)明解釋，如果不演示，學(xué)生也難以掌握。而全等拼合法，易學(xué)易懂，便于操作和推廣普及。

再生性經(jīng)驗(yàn)之所以無(wú)法“再生”，是因?yàn)楹芏嗳藳](méi)有領(lǐng)悟“再生”精髓。要有機(jī)融通“割補(bǔ)法”與“全等拼合法”，由再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)躍升至再生經(jīng)驗(yàn)，就必須重新利用再生性經(jīng)驗(yàn)。不妨給學(xué)生出示1個(gè)等腰三角形和1個(gè)一般三角形。在不告知全等拼合法的前提下，原始經(jīng)驗(yàn)割補(bǔ)自動(dòng)復(fù)位，學(xué)生拿起三角形就開(kāi)始剪切。一番自主操作后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形容易變形，順利推導(dǎo)出“三角形面積=底÷2×高”，但一般三角形卻非常棘手。一起觀察剪開(kāi)的圖形：為什么等腰三角形容易轉(zhuǎn)化？因?yàn)樗苎刂呔€分成2個(gè)全等的三角形。怎樣變形一般三角形？學(xué)生會(huì)想到“變出兩個(gè)完全一樣的三角形”“任意兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼合成一個(gè)平行四邊形”，并得到“三角形面積=底×高÷2”。此時(shí)，教師只要抓住“底÷2×高”與“底×高÷2”等價(jià)，就能讓學(xué)生從割補(bǔ)法的再認(rèn)經(jīng)驗(yàn)躍升到再生經(jīng)驗(yàn)。

再生性經(jīng)驗(yàn)與再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)不同，再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)是通過(guò)轉(zhuǎn)化法，在原有的經(jīng)驗(yàn)方法基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整改造，可以說(shuō)是從原有經(jīng)驗(yàn)上孵化出來(lái)的新生命，仍帶有原始經(jīng)驗(yàn)的遺傳基因。而再生性經(jīng)驗(yàn)則是克隆了原始經(jīng)驗(yàn)的起源性片段，是從頂層設(shè)計(jì)上進(jìn)行復(fù)制，如通過(guò)對(duì)“將兩個(gè)全等三角形拼接成平行四邊形然后再還原”的方法移植到梯形面積推導(dǎo)中，這是再生性經(jīng)驗(yàn)。再生性經(jīng)驗(yàn)具有潛伏性，一經(jīng)確認(rèn)，在以后的使用中會(huì)逐漸脫離母本記憶。如每次用到梯形面積時(shí)，不會(huì)想到它與三角形的面積有什么關(guān)系。

學(xué)生在再生性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷一系列探究活動(dòng)躍升到再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，將三角形面積公式推向一般。教師隨即引導(dǎo)學(xué)生融匯了割補(bǔ)法和拼合法，兩種認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)交互作用。先運(yùn)用后延展，立足再生性經(jīng)驗(yàn)，延伸再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生學(xué)到的不僅是三角形面積計(jì)算公式，更學(xué)會(huì)了變通應(yīng)用原始經(jīng)驗(yàn)。

經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)習(xí)就像積累對(duì)于寫作。數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為基準(zhǔn)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)錯(cuò)位深入到教學(xué)的缺口里，通過(guò)改造經(jīng)驗(yàn)，彌合“教”與“學(xué)”的不協(xié)調(diào)，使教條經(jīng)驗(yàn)變成有用經(jīng)驗(yàn)。