數學思維活動經驗研究綜述

數學活動經驗作為義務教育階段數學課程目標之一，最早出現在 《全日制義務教育數學課程標準 （實驗稿）》 中。 在 《全日制義務教育數學課程標準》（2011年版）中，它與基礎知識、基本技能和基本思想一起，組成了數學課程目標的 “四基”。隨著課程改革的推進，數學活動經驗的研究日臻豐富和深入，特別是將數學活動經驗分為 “實踐的經驗”和 “思維的經驗”更加彰顯了數學學科本質。數學思維活動經驗從屬于數學活動經驗，又體現了數學思維特質，這是一個全新的話題，可以說當前學界和教學一線對此內容的研究尚在摸索階段，本文擬對當前 “數學思維活動經驗”的相關研究做簡要評述。

一、數學活動經驗的相關研究

1.數學活動經驗的含義

目前，我國有關數學活動經驗的理論研究與教學實踐盡管取得了一定的進展，但至今仍未對數學活動經驗的含義達成共識，目前影響較大的幾種觀點主要體現在兩個方面。

（1）把數學活動經驗作為某種單一體。有學者認為數學活動經驗是數學知識的一部分。 “數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇”。馬復則認為數學活動經驗是一種認識，特別是感性認識。個體的數學活動經驗是對自己以往經歷的數學活動在認知方面的自覺或不自覺的感性概括，是一種感性認識。也有的認為，數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。還有的將數學活動經驗看作體驗，是經歷。數學活動經驗是學生經歷數學活動之后所留下的直接感受、體驗和感悟。這些具有個體特色的內容，既可以是感覺知覺的，也可以是經過反省之后形成的經驗。

（2）把數學活動經驗作為復雜的組合體。一種觀點認為數學活動經驗既是知識，也是過程。數學活動經驗分為靜態和動態兩個層面。數學活動經驗介于緘默知識和顯性知識之間，從靜態上看是知識，是學生對整個數學活動過程產生的認識，包括體驗和感悟等；從動態上看是過程，是經歷。另一種觀點認為數學活動經驗是組合體的整體概念。數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識。感性知識是指具有學生個人意義的過程性知識；情緒體驗是指對數學的好奇心和求知欲、在數學學習活動中獲得的成功體驗、對數學嚴謹性與數學結果確定性的感受以及對數學美的感受與欣賞等；應用意識包括 “數學有用” 的信念、應用數學知識的信心、從數學的角度提出問題與思考問題的意識以及拓展數學知識應用領域的創新意識。也有的認為，數學活動經驗是學生從經歷的數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗。

2.數學活動經驗的分類

由于對經驗的理解和對經驗分類的角度不同，對數學活動經驗如何分類也存在比較大的分歧。目前，有較大影響的主要是以下五種觀點：

（1）根據所從事的數學活動的不同形式，數學活動經驗大體上可以分為四種不同的類型。①直接數學活動經驗，直接聯系日常生活經驗的數學活動所獲得的經驗；②間接數學活動經驗，創設實際情境構建數學模型所獲得的經驗；③專門設計的數學活動經驗 ，由純粹的數學活動所獲得的經驗；④意境聯結性數學活動經驗，通過實際情境意境的溝通，借助想象體驗數學概念和數學思想的本質。

（2）根據是否便于操作，有的學者把經驗分為兩類：感性經驗和邏輯經驗。感性經驗也依賴思考，但更多的是依賴觀察；邏輯經驗也依賴觀察，但更多的是依賴思考。

（3）按照學生參與數學活動的類型特別是行為操作與思維操作的不同將數學活動經驗分成行為操作的經驗、探究的經驗、數學思維的經驗 （不借助外在的實在物體而依據思維材料進行數學思維操作活動而獲得的經驗）和綜合運用數學知識進行問題解決的經驗（包括發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的經驗等等）。

（4）根據 《全日制義務教育數學課程標準 （2011年版）》中課程目標 “四基”的定位，希望學生獲得必要的數學知識和技能之外，還能感悟數學的基本思想，積累數學思維活動和實踐活動的經驗。 “實踐的經驗”主要是從外部世界抽象出數學、將形式化數學用于外部現實中獲得的經驗，包括設計、規劃、組織、協調等的經驗。 “思維的經驗”主要是進行數學符號化過程中獲得的經驗，日常學習學生主要獲得“思維的經驗”。

（5）根據 “數學活動經驗是數學活動的下位概念”，提出數學活動經驗是通過數學活動所積累的經驗。并指出在數學學習過程中，數學活動經驗主要包括操作活動經驗、思維活動經驗和實踐活動經驗等。

3.數學活動經驗的教學策略

黃翔先生等較全面地提出了使學生獲得數學活動經驗的策略或途徑：①設計一個好的數學活動：能為學生提供良好的學習環境和問題情境，并且是每一個學生都能進行的；能為學生獲得更多的活動經驗提供廣闊的探索空間；能充分體現數學的本質；能使學生積極參與，充分交流。②重視過程性目標在課堂教學中的落實。③發掘 “做數學” 的課堂教育價值。④數學活動經驗重點在積累，也需要通過一定的教學手段予以提升，在課堂教學中應特別注意三個方面：通過恰當的教學措施促使學生對概念、命題、原理等的感性認識上升到一定的理性認識；處理好活動過程與活動結果的關系；處理好問題化、情境化與知識系統性的關系。⑤努力開發對數學活動經驗的評價手段與方式。

有的深入到數學活動經驗的教學過程，提出了有利于學生積累數學活動經驗的六條教學策略：

（1）數學活動動機激發策略； （2）數學活動經驗生成策略； （3）數學活動經驗系統化實現策略；（4）數學活動經驗層次轉化策略； （5）數學活動經驗拓展策略； （6）數學活動經驗優化策略。

聶艷軍從教材的視角，提出引導學生積累、豐富和發展數學活動經驗的策略：①展開知識的產生、形成與發展的過程，引導學生積累不同活動階段的經驗內容：主要包括創設數學活動情境，引導學生在感受知識產生背景中獲得直接體驗；提供 “做”數學和“思考”的活動，引導學生在經歷知識形成中積累數學活動經驗；重視比較反思，引導學生在活動勾連中提升數學活動經驗。②編排專題性內容，引導學生積累專門設計的數學活動經驗。

二、數學思維的相關研究

數學思維一直是數學教育研究的重要內容。學者從數學思維的定義、結構、特征、品質等基本問題入手，對學生數學思維能力的形成、培養和發展，進行了廣泛深入的探討。

1.數學思維的含義

在現代心理學中，思維是人腦對客觀現實概括的和間接的反映，反映的是事物的本質與內部規律性。數學思維是針對數學活動而言的，包括一般思維所具有的本質，又具有不同于一般思維的特性，這種特性是由數學學科本身的特點所決定的。

國內關于數學思維的研究具有較強的方法論色彩，并在很大程度上是一種規范性的研究；而國外的研究則與心理學 （特別是數學學習心理學）的研究有著更為密切的聯系，也即更加注意對于實際數學思維過程的深入考察。

在我國數學教育界，有如下一些觀點：王仲春教授提出，數學思維是指人類關于數學對象的理性認識過程，包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程。王梓坤院士在其 《今日數學及其應用》一文中提出： “當代數學思維是一種定量思維。總之，數學思維是針對數學活動而言的，通過對數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，獲得對數學對象的本質和規律性的認識過程。這個過程是人腦的意識對數學對象接收、分析、選擇、加工與整合。”王憲昌在 《數學思維方法》中指出：通常意義上，數學思維就是在數學活動中的思維。準確地說，數學思維是人腦在和數學對象交互作用的過程中，用特殊的數學符號語言以抽象和概括為特點，客觀事物按照自身的形式或者規律做出的間接概括的反映。也有學者認為，數學思維是客觀世界的純粹的量的本質屬性、相互關系及其內在規律性在人的頭腦中概括的和間接的反映。

雖然學者關于數學思維定義的描述各有差異，但研究過程中大多注意到了一般思維的本質及數學學科的特點：數學思維是人類所特有的，區別于其他學科的思維形式，數學思維具有目的性等，是對思維過程的認識有所差異。

2.數學思維的類型

學者們從不同的角度，對數學思維的類型開展了相關研究。

從數學思維基本成分角度，把數學思維分為具體形象思維、抽象邏輯思維與素樸的直覺思維三種，它們分屬于三種不同層次的思維。形象思維是人類的基本思維形式之一，它是一種以客觀形象為思維對象，以聯想為主要思維工具、以指導創造 “物化形象”的實踐為主要目的的思維活動；數學邏輯思維是數學思維最基本的形式，它以反映客觀事物數學本質屬性的概念為思維材料，在數學概念的基礎上，通過一定的邏輯法則進行推理，定義新概念，形成定理、原理。數學邏輯思維又包含形式邏輯思維和辯證邏輯思維；數學直覺思維是人腦對數學對象及其結構的一種迅速的識別、直接的理解、綜合的判斷，是數學的洞察力。

從數學思維方式的角度，把數學思維分為集中思維和發散思維、抽象思維和形象思維、分析思維和直覺思維。

從數學思維方法的角度，把數學思維分為類化思維、配對思維、函數思維、空間思維、程序思維、整體思維、極端思維和構造思維等。

3.關于數學思維教學的研究

目前，關于數學思維教學研究的著作很少，大部分只是對思維的研究；即使是在一些關于數學思維研究的書籍中，絕大多數也是針對中學數學知識的。在極少數研究小學數學思維的書籍中，也是專家在做小學數學思維的宏觀研究。對于一線的小學數學教師來說，自身理解起來都有困難，就不可能把書中對小學數學思維的研究很好地滲透在自己的教學中。如鄭毓信著的 《數學思維與小學數學》是針對小學數學知識來研究數學思維的，該書分為三大部分：第一部分走向數學思維；第二部分概念性數學思維與問題性數學思維；第三部分從 “數學地思維”到 “通過數學學會思維”。能查到的關于小學數學思維的期刊文章也都籠統地以小學數學知識為載體，來說思維能力培養。而沒有真正針對小學階段應培養哪些數學思維來闡述。

三、數學思維活動經驗的相關研究

1.含義及分類

數學思維活動經驗是隨著數學活動經驗的研究深入而提出的概念，專門論述數學思維活動經驗的資料比較少，只是散見于數學活動經驗的相關論述中。

蘇明強認為數學基本活動經驗是在基本數學活動過程中所積累的最為重要、最為根本的活動經驗，數學基本活動經驗應該屬于思維活動經驗。并進一步從數學學習的角度把數學基本活動經驗 （這里即指數學思維活動經驗）分為抽象的經驗、歸納的經驗、演繹的經驗：“抽象的經驗”是指經歷具體事物或問題情境數學化的思維活動過程所積累的體驗和形成的認識， “歸納的經驗”是指經歷從特殊到一般的思維活動過程所積累的體驗和形成的認識， “演繹的經驗”是指經歷從一般到特殊的思維活動過程所積累的體驗和形成的認識。

王林等認為：只要是依據思維材料而不借助任何直觀材料進行數學思維操作的數學活動而獲得的經驗，都可以理解成數學思維的經驗。并根據學生數學學習特有的思維活動 （歸納的活動、數據分析的活動、類比的活動、推理的活動等）分為歸納的經驗、數據分析的經驗、類比的經驗、推理的經驗等思維的經驗。

在可查資料中，專門論述 “數學思維活動經驗”的只有兩個：范新林將 “思維經驗”定義為在思維活動過程中所獲得的那些最直接、最樸素的感性認識。筆者在 《數學思維活動經驗及教學策略》一文中從數學思維的定義出發，提出數學思維活動經驗就是以空間形式和數量關系為思維對象，借助數學語言和符號在感悟歸納推理和演繹推理、發現數學知識和規律、解決數學問題的過程中，只依據思維材料進行數學思維操作活動所獲得的經驗。并從數學思維能力的角度把數學思維活動經驗分為了三類：即邏輯推理能力、空間想象能力以及問題解決的能力。

2.教學策略

關于數學思維活動經驗的教學策略，在可考材料中更是少之又少。浙江特級教師范新林從思維經驗的特質——認知體驗是原生態、碎片化的出發，提出兩條教學策略：反思——“思維經驗”的點狀積累；鏈接——“思維經驗”的線狀積累。此外，在同期雜志還刊發了范新林團隊從案例的角度闡述的相關教學策略。

筆者則在 《數學思維活動經驗及教學策略》中從數學思維活動經驗的類型出發提出相應的教學策略：在經歷歸納與演繹活動過程中積累邏輯推理的活動經驗；在經歷直觀與抽象變換的過程中積累空間想象活動經驗；在經歷解決實際問題的過程中積累問題解決的活動經驗。

四、數學思維活動經驗的研究展望

1.相關概念的界定

某個問題的深入研究總是以概念的清晰界定為基礎。 “數學思維活動經驗”涉及的核心概念 “數學思維” “數學活動經驗”都是較為抽象的，而且當前都沒有統一的定論，在這兩個概念的基礎上生成的 “思維活動經驗”就更為抽象和模糊。因此，進一步厘清這些概念的內涵與外延是今后一段時間研究的重點。而避免從一些辭典或專著中生搬硬套，做出具有時代特征的個性化解讀則是研究的難點，特別是數學思維活動經驗具體包括哪些，要有清晰的界定。

2.教學策略的總結

某個問題或專題的研究不能停留在理論層面，而應以解決實際問題為追求。數學思維活動經驗落實到實踐中最關鍵的環節就是總結出相應的為一線教師所能接納、采用的教學策略。數學思維活動經驗的教學策略應該是多維度的：可以從數學內容領域出發，總結出 “數與代數” “圖形與幾何” “統計與概率”“綜合與實踐”各領域的數學思維活動經驗形成策略；可以從思維成分的角度，總結出 “邏輯思維”活動經驗、 “形象思維”活動經驗、 “直覺思維” 活動經驗形成的策略；也可以從思維品質的角度，總結出 “整體與結構” 活動經驗、 “嚴謹與靈活” 活動經驗、“批判與創造”活動經驗的形成策略。

3.評價體系的構建

教學評價既是課堂教學的出發點，又是衡量教學理論是否科學合理的依據。在教學理念、教學素材、教學措施等各種變量的影響下，數學思維活動經驗能否達成，達成到何種程度，都需要一定的評價標準來衡量。因此，在后續的研究中，制定科學合理的評價體系也是數學思維活動經驗的研究方向之一，而且也是該研究領域的難點所在。