論數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

福建省南平市劍津中學(xué) 吳永軍

數(shù)形結(jié)合思想主要包含三個層面，即以數(shù)代形思想、以形代數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想。以形代數(shù)思想指學(xué)生利用圖形形象化地表示數(shù)字關(guān)系的思想，以數(shù)代形思想指學(xué)生用數(shù)字關(guān)系直觀地表示圖形關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想則為以上兩種思想的綜合。通過引入數(shù)形結(jié)合思想，初學(xué)數(shù)學(xué)中的疑難問題能夠?qū)崿F(xiàn)不同形式之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而拓寬解題思路，實(shí)現(xiàn)問題的最優(yōu)化解決。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想展開教學(xué)活動。接下來，將按照本人教學(xué)經(jīng)驗介紹以下幾種數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略。

一、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合意識，增強(qiáng)數(shù)學(xué)解題能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個考驗學(xué)生思維能力與數(shù)學(xué)意識的過程，擁有一定的數(shù)學(xué)意識是進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要條件。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中首先應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想意識，讓學(xué)生在思維上形成一種數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

首先，教師應(yīng)當(dāng)鍛煉學(xué)生的思維活躍力。所謂思維活躍力，就是當(dāng)學(xué)生在對一道題目進(jìn)行分析時，不僅僅能夠按照傳統(tǒng)思維分析題目，并且能夠轉(zhuǎn)換思路從其他角度或思維解題的能力。例如，在初三總復(fù)習(xí)上平面直角坐標(biāo)系一節(jié)的教學(xué)過程中，在講解單個參數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)時我通過引入動點(diǎn)的軌跡問題形成函數(shù)圖像對含單個參數(shù)的點(diǎn)進(jìn)行講解。通過講解動點(diǎn)軌跡及函數(shù)圖像，學(xué)生能夠從數(shù)形結(jié)合的角度來理解含參動點(diǎn)問題。

例題：無論m為何值，點(diǎn)A(m，3－2m)不可能在（ ）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

其次，教師應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)與形的轉(zhuǎn)換意識。在函數(shù)中，題目中給出函數(shù)解析式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，并根據(jù)函數(shù)圖像分析函數(shù)問題。如果學(xué)生僅僅從函數(shù)解析式入手，那么對問題的理解可能僅僅停留在數(shù)字層面而無法深入。

二、學(xué)會“以形代數(shù)”，將抽象問題具體化

“以形轉(zhuǎn)數(shù)”是數(shù)形結(jié)合思想的第一層應(yīng)用，對于初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，該方法的應(yīng)用能夠幫助學(xué)生解決很多實(shí)際應(yīng)用問題，對于學(xué)生而言，理解題目是答題過程中的第一項任務(wù)，而學(xué)生在實(shí)際的答題過程中很容易遇到抽象化的問題，這些問題不僅不利于學(xué)生解答，對于學(xué)生的理解而言，更存在一定的困難。

為了提高學(xué)生對這種類型題目的解題效率，以形轉(zhuǎn)數(shù)的應(yīng)用是非常重要的，它可以將一部分抽象的問題具體化，先讓學(xué)生對具體的題目產(chǎn)生直觀認(rèn)識，明確題目要求，然后進(jìn)行實(shí)際的解答。例如，在絕對值的教學(xué)過程中，在初次進(jìn)行教學(xué)時，由于學(xué)生從未接觸過與之相關(guān)的內(nèi)容，可能會出現(xiàn)理解不到位的現(xiàn)象，此時教師就可以通過畫數(shù)軸的形式讓學(xué)生明確絕對值的含義。當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行具體題目的解答時，也可以借助畫數(shù)軸的形式來把抽象的數(shù)字變得更加具體，對于正數(shù)的絕對值，學(xué)生理解起來相對容易，但是對于負(fù)數(shù)的絕對值而言，很多學(xué)生會出現(xiàn)理解失誤的現(xiàn)象。比如，學(xué)生在判斷－3.3絕對值過程中，就可能會出現(xiàn)理解錯誤的現(xiàn)象，如果學(xué)生能夠運(yùn)用以形代數(shù)方法，錯誤就可以得到一定程度的避免。學(xué)生可以先畫一條數(shù)軸，在數(shù)軸中間標(biāo)出原點(diǎn)的位置，在正方向上標(biāo)明正數(shù)，負(fù)方向上標(biāo)明負(fù)數(shù)，然后根據(jù)題目中的要求找到－3.3所在的位置，此時該點(diǎn)到零的距離就是其絕對值。除了絕對值的應(yīng)用，對于初中數(shù)學(xué)知識中的很多內(nèi)容，該思想方法都可以得到有效的利用。

三、學(xué)會“以數(shù)代形”，將具體問題生動化

“以數(shù)代形”是數(shù)形結(jié)合思想的另一項應(yīng)用，它主要是指在具體的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中或者數(shù)學(xué)題目的解答過程中，通過用數(shù)字代替具體圖形的形式使具體的問題更加生動化，該方法的應(yīng)用能夠讓學(xué)生進(jìn)行精準(zhǔn)的計算，提高問題解決的質(zhì)量和效率。

在具體的教學(xué)過程中，為了提高學(xué)生對這一思想方法的應(yīng)用，教師首先要讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)的教材知識，只有在此基礎(chǔ)上才能通過靈活的變化來解決實(shí)際的問題，并且提高學(xué)生對于具體解題方式的理解。對于與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在理解的過程中可能會遇到一些困難和問題，教師要通過耐心的講解來幫助學(xué)生克服這些問題，讓他們對于以數(shù)代形的應(yīng)用形成自己的解題思路。例如，在題目“已知△ABC的三邊長分別是m2－n2、2mn、m2+n2，其中 m、n 為正整數(shù)且 m＞n，求△ABC的面積”的教學(xué)過程中，直接根據(jù)三角形的圖形進(jìn)行計算的難度非常大。學(xué)生在計算的過程中很容易出現(xiàn)問題。此時就可以借助以數(shù)代形的方式，在直接計算三角形的面積之前，通過對三邊的分析和計算，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)其三邊長符合勾股定理的逆定理要求，而學(xué)生也可以根據(jù)勾股定理的逆定理理解，確定三邊哪兩條邊是直角邊，在進(jìn)行面積計算時直接利用兩直角邊的乘積的一半進(jìn)行計算即可。以數(shù)代形的應(yīng)用不僅僅體現(xiàn)在完全用代數(shù)代替圖形進(jìn)行題目的解答，也體現(xiàn)在通過一定程度的代數(shù)輔助圖形，促進(jìn)問題的解決。

四、學(xué)會“數(shù)形結(jié)合”，實(shí)現(xiàn)問題解決多樣化

“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)要求不僅僅是局限在讓學(xué)生能夠進(jìn)行簡單的以數(shù)代形和以形代數(shù)的應(yīng)用，更重要的是讓學(xué)生能夠根據(jù)不同的題目要求，對圖形和代數(shù)進(jìn)行靈活的變化。對于初中階段的很多難度較大的知識，僅僅通過某一層面的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用是很難達(dá)到。講解題目的時候，就需要教學(xué)生代數(shù)與圖形進(jìn)行反復(fù)的變換，對題目有更加深入的認(rèn)識和了解，從而使具體題目的解答更加高效。

為了提高學(xué)生對于數(shù)形結(jié)合思想的綜合利用，在教材知識的講解過程中，教師要通過數(shù)形結(jié)合的思想來進(jìn)行具體內(nèi)容的講解。在讓學(xué)生對知識進(jìn)行理解時，不要完全按照傳統(tǒng)的教學(xué)方法，這不僅不利于學(xué)生的理解，還不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維拓展。通過數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行具體知識的教學(xué)，既可以讓學(xué)生掌握教材知識，又能夠讓學(xué)生掌握這一數(shù)學(xué)思維方式。在對具體題目的教學(xué)過程中，不論是否有更加簡便的解題方式，如果時間允許，教師都可以通過利用數(shù)形結(jié)合思想來講解，讓學(xué)生對數(shù)形結(jié)合適合應(yīng)用于哪一類型的題目，在應(yīng)用的過程中應(yīng)該注意哪些問題，代數(shù)與圖形的具體變化對于題目的解答起到了怎樣的促進(jìn)作用都有進(jìn)一步的了解。相比于單一的以數(shù)代形和以形代數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合的綜合運(yùn)用對于學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況和數(shù)學(xué)思維的靈活性都提出了更高的要求，在該方法的指導(dǎo)下，學(xué)生的解題方式可以多樣化。

針對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的不同層次，教師應(yīng)該采取不同的具體教學(xué)方式，由于學(xué)生的基礎(chǔ)掌握情況也存在一定的差異，教學(xué)方式的靈活性也是非常重要的。為了達(dá)到更好的教學(xué)效果，教師要立足于學(xué)生的基礎(chǔ)狀況和教材基礎(chǔ)知識，通過有意識的引導(dǎo)使學(xué)生對于該思想方法的認(rèn)識更加準(zhǔn)確，并逐步提升學(xué)生的應(yīng)用能力。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，其對于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性更是不言而喻，掌握該方法的應(yīng)用是學(xué)生的必修課。