對稱性在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

寧夏中衛(wèi)市第一中學(xué) 李 偉

在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用數(shù)學(xué)問題的對稱性不僅有助于找到簡潔優(yōu)美的解法，也有利于學(xué)生思維水平的提高。更重要的是可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時欣賞數(shù)學(xué)美，正如古代哲學(xué)家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美?！倍鴮ΨQ美是數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容和重要體現(xiàn)，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地揭示數(shù)學(xué)中的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的美感，利用對稱性提高學(xué)生解決問題的能力。

本文以例題為主，主要論述對稱性在函數(shù)，幾何等方面的應(yīng)用，讓學(xué)生充分認(rèn)識對稱性的作用，認(rèn)識對稱美。運用對稱性可以鍛煉學(xué)生的思維，拓展學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的想象，提高學(xué)習(xí)效果。

一、對稱的概念

“對稱”一詞，譯自希臘語，其含義是“和諧”“美觀”，原義指“在一些物品的布置時出現(xiàn)的般配與和諧”。我國老一輩數(shù)學(xué)家段學(xué)復(fù)教授也說過：“對稱，照字面來講，就是兩個東西相對而又相稱(或者說相仿、相等)。因此，把這兩個東西互換一下，好像沒動一樣。”在現(xiàn)實世界中，形式上和內(nèi)容上的對稱性，廣泛地存在于客觀事物之中，既有軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等等的空間對稱，又有周期、節(jié)奏和旋律的時間對稱。對稱美，作為數(shù)學(xué)美的主要表現(xiàn)形式之一，其數(shù)學(xué)的實質(zhì)就是自然物的和諧性在量和量的關(guān)系上最直觀的表現(xiàn)，是組元的一個構(gòu)形在其自同構(gòu)變換群作用下具有的不變性。從狹義上說，對稱是指通常意義下的幾何對稱和代數(shù)對稱；從廣義上講，對稱還包含對偶、勻稱等方面的內(nèi)容，及各種數(shù)學(xué)概念、公式、定理間的對稱思想。

二、函數(shù)中的對稱性問題

1.函數(shù)自身的對稱性。

（1）利用奇偶函數(shù)的對稱性解題。

眾所周知，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，只要掌握這些知識的內(nèi)涵，就能得到處理這些問題的思路把看似復(fù)雜的問題簡單化。

例1設(shè)（fx）是R上的奇函數(shù)，且（fx+3）=-（fx），當(dāng)0≤時 （fx）=x，求（f2008）。

解：因為y=（fx）是定義在R上的奇函數(shù)，所以點（0，0）是其對稱中心，又（fx+3）=-（fx）=（f-x）=（f0-x），所以直線是y=（fx）的對稱軸，故y=（fx）是周期為6的周期函數(shù)，所以 （f2008）=（f6×335-2）=f（-2）=-（f3-1）=（f-1）=-（f1）=-1。

此題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)的重要性質(zhì)（f-x）=-（fx）以及關(guān)于原點（0，0）對稱，及函數(shù)（fx）的對稱軸

（2）利用點的對稱性解題。

例2（fx）是定義在R上的增函數(shù)，記F（x）=（fx）-（fk-x），求證：y=F（x）的圖像關(guān)于點（a，0）對稱的充要條件是k=2a。

證明充分性，只須證 F（2a-x）=-F（x），因為k=2a，所以F（2a-x）=（f2a-x）-（fx）=-[f（x）-f（2a-x）]=-F（x），所 以 y=F（x）關(guān)于點（a，0）對稱。

必要性，因為 y=F（x）關(guān)于點（a，0）對稱，所以 F（2a-x）=-F（x），即 f（2a-x）-f（k-2a+x）=（fk-x）-f（x），下面對k進(jìn)行討論。

① 當(dāng) k＞2a 時 f（2a-x）-f（k-2a+x）＜（fk-x）-（fx）。

②當(dāng)k＜2a時 （f2a-x）-（fk-2a+x）＞（fk-x）-（fx）。

③當(dāng)k=2a時等式成立。

（3）不同函數(shù)及圖像之間的對稱性。

例3設(shè)定義域為R的函數(shù)y=（fx）與 y=g（x）都有反函數(shù)并且 f（x-1）和g-（1x-2）函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對稱，若g（5）=2007，求 （f4）。

解：因為函數(shù)y=（fx-1）和y=g-（1x-2）的圖像關(guān)于直線y=x對稱，所以y=g-1（x-2）的反函數(shù)是 y=f（x-1），而 y=g-1（x-2）的反函數(shù)是y=2+g（x），所以 （fx-1）=2+g（x），所以 （f5-1）=2+g（5）=2009，即（f4）=2009。

三、輪換對稱式的應(yīng)用

所謂輪換對稱式即為：對于一個n元多項式 p（x1，x2…，xn）把它的 n 個變元順次進(jìn)行調(diào)換。如果這樣得到的結(jié)果仍與原式相同，即 p（x1，x2…，xn）=p（x2，x3…xn，x1）那么這個多項式叫做關(guān)于這些變元的輪換對稱式，簡稱輪換對稱式，利用輪換對稱式可使解題簡潔優(yōu)美。舉例如下：

例 4 已知 α，β，γ，θ均為銳角，且α+β+γ+θ=π，求函數(shù) y=sinαsinβsinγsinθ的最大值。

解：y=sinαsinβsinγsinθ

當(dāng)且僅當(dāng) sinα=sinβ=sinγ=sinθ，

不論在自然界里還是建筑中，不論在藝術(shù)還是科學(xué)中，甚至最普通的生活用品中，中學(xué)數(shù)學(xué)中對稱的形式隨處可見。人類在漫長的歲月里，體驗著對稱，享受著對稱。所以對稱思想方法應(yīng)該在《初中課標(biāo)》和《高中課標(biāo)》中給予提出，因為這一思想是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)直到整個數(shù)學(xué)學(xué)科的一個永恒的概念。其實不僅在數(shù)學(xué)中，在宇宙萬物中對稱都是一個至簡至深的概念，它是美的基本元素之一。但我相信數(shù)學(xué)是最能理解對稱本質(zhì)的一門學(xué)科。因此，在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的對稱美，掌握數(shù)學(xué)中的對稱思想，從而創(chuàng)新性地去應(yīng)用數(shù)學(xué)中的對稱思想[5]。通過對數(shù)學(xué)對稱美的揭示，加強(qiáng)數(shù)學(xué)審美教育，使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種積極而強(qiáng)烈的認(rèn)識情緒，激發(fā)和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的情感受到陶冶，意志得到鍛煉，從而對學(xué)習(xí)動機(jī)起到強(qiáng)化作用。