利用對稱性解決函數(shù)問題探析

（吉林省德惠市第四中學 吉林長春 130300）

高中數(shù)學階段函數(shù)貫穿始末，占有很大比重，是中學數(shù)學的核心內容，也是整個高中數(shù)學的基礎。函數(shù)的圖像和性質是高考的重點與熱點，其中函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質。對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題當中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決?？疾閷ΨQ性能有效地考查學生的邏輯思維能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力，因而是高考和競賽中命題的熱點和重點。筆者在分析2009年和2010年高考試題時發(fā)現(xiàn)：09年全國卷Ⅰ選擇題第11題、山東卷理科高考數(shù)學第16題，都是一些直接應用函數(shù)對稱性解決的問題；10年全國卷Ⅰ填空題第15題，也涉及到函數(shù)圖像對稱性問題。下面通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討與函數(shù)對稱性有關的問題。

一、利用函數(shù)自身的對稱性

性質1 函數(shù)y=f（x）的圖象關于A（a，b ）對稱的充要條件是f（x）+ f（2a-x）=2b。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。

性質2 函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）.

性質3 （1）若函數(shù)y=f（x）的圖象同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（ab），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個周期。

（2）若函數(shù)y=f（x）圖象同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（ab），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個周期。

二、利用不同函數(shù)間的對稱性

性質4 函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖象關于點A（a，b）成中心對稱。

性質5 （1）函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖象關于直線x=a成軸對稱。

（2）函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖象關于直線x+y=a成軸對稱。

（3）函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖象關于直線x-y=a成軸對稱。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖象關于直線x=y成軸對稱。

三、巧用對稱性解決數(shù)學中的動點最值問題

1.問題原型：

（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經典問題。解這類問題

2.基本解法：

對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置，計算線路最短長度。

3.例題解析與歸納經驗

例1.要在河邊修一個小泵站，分別向張村和李莊送水，問水泵站應建在河邊的什么地方，可便所用的水管最短？

分析：如何證明兩線段和最短？考慮到初一學的線段公理“兩點之間，線段最短”，那么，如何把這兩條線段轉化成一條線段呢？此時，軸對稱的性質，對稱軸是軸對稱連線的中垂線。作點A關于直線l的對稱點A'，連結A'B直線l于P點，此時，兩線段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。

例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x軸上找一點P，使AP+BP最短。此時AP+BP的長為_______

分析：（與例1方法相同）過點P作水平線，過點P作垂直于x軸直線，兩直線交于點C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的長為5。

例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中點，點P是對角線AC上的一個動點。求PM+PB的最小值是________________.

分析：根據菱形的軸對稱性可知，點B關于對角線AC的對稱點就是點D，連結PD.則PB=PD。那么PM+PB=PM+PD。即PM+PB的最小值即就是PD+PM的最小值，也就是點DM的值。因為四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，△ABD是等邊三角形。又M是AB的中點，所以DM是△ABD中線，又因為等腰三角形三線合一的性質，所以DM是△ABD高線。又因為AB=2，所以AM=，DM=3，故PA+PB的最小值是3。

例4.正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形 ，點E在正方形ABCD的內部，在對角線AC上有一點P，求PD+PE的最小值____________.

分析：根據正方形的軸對稱性可知，點D關于對角線AC的對稱點就是點B，連結PB，則BP=DP。那么PD+PE=PB+PE。即PD+PE的最小值即就是PB+PE的最小值，PB+PE的最小值為BE。因為正方形ABCD的面積為12，則AB=2，又因為△ABE是等邊三角形。又M是AB的中點，所以DM是△ABD中線，又因為等腰三角形三線合一的性質，所以BE=AB=2，又所以PD+PE的最小值是3。

歸納經驗：此類問題的共同特點是將兩條線段的和轉化為一條線段，這條線段的長度就是最短距離，怎樣找到這條線段呢？步驟如下（以最后一題為例）

1.動點P在AC直線上運動，這條直線AC即為對稱軸。

2.找出（或作出）點D關于這條直線的對稱點B

3.連結BE，BE即就是這條線段。BE的長度即是最短距離，（當PD+PE取最小值時，點P就是BE與對稱軸的交點.。

4.利用所學的知識，求BE的長度。

總之，在這一類動點最值問題中，關鍵在于，我們善于作定點關于動點所在直線的對稱點，這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。