重視學生的理性精神 讓思維活躍于數(shù)學活動中

（蘇州工業(yè)園區(qū)星港學校 江蘇蘇州 215021）

“認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式。”，已被老師們廣泛的認同和采用。老師們會為學生創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實而有趣的問題情境，激發(fā)學生的探究欲望；為學生提供足夠的探索時間和空間，促進學生主動參與討論；為學生提供豐富的素材，不斷豐富學生探究的內(nèi)涵。但是，這些豐富的外在形式所生產(chǎn)的學習成果有否與學生主體的理性精神結(jié)合，以實現(xiàn)數(shù)學知識的意義建構(gòu)呢？這點不容樂觀，在很多“形式化”的教學背后，學生的理性精神是非常缺失的。先思考一些筆者觀察到的教學現(xiàn)場。

[教學現(xiàn)場1]在學習了倒推策略后，教師出示：小軍收集了一些畫片，他拿出畫片的一半還多1張送給小明，自己還剩25張。小軍原來有多少張畫片？

生：我是這樣算的25×2+1=51（張）

師：這位同學算得對嗎？

生：（異口同聲）對！

師：真的對嗎？

生（意見不一）：對！不對！

師：到底對不對呢？

（學生陷入沉默，然后你看看我，我看看你，小聲議論著。但無人能作肯定的回答）

思考：透視這個案例，我們不難發(fā)現(xiàn)，表面上有教師對學生的典型錯誤有足夠的預判，適時的激疑，但從學生的反應(yīng)來看，只是對教師決策的一種猜測，這種猜測教師想法的思考，絕不是我們向往的學生的理性精神。學生在完成解答的時候并未采用一定的方法驗證自己的學習結(jié)果是否正確。如此一來，面對教師的連續(xù)追問，學生只能茫然。

[教學現(xiàn)場2]出示問題：小明說：爸爸的年齡比我大28歲。爸爸說：今年，我的年齡是你的5倍。請問今年，爸爸幾歲？小明幾歲？

生：老師，這道題是不能做的。

師：為什么？

生：因為28÷5，不能整除啊。

思考：案例中，學生似乎馬上提出了自己的思考，面對“不能整除”的計算結(jié)果，學生的第一反應(yīng)是題目數(shù)據(jù)出現(xiàn)了錯誤，于是，他們會馬上把這個“皮球”踢給老師，很少會有學生去追究是否自己的審題出現(xiàn)了漏洞才導致“不能整除”現(xiàn)象的發(fā)生。

以上兩個案例場景在常態(tài)化的數(shù)學課堂中具有一定的典型性。盡管上述現(xiàn)象的產(chǎn)生，必然是受到多種因素的綜合影響，但細加分析，我們就不難發(fā)現(xiàn)一個共性問題，那就是學生在數(shù)學學習過程中理性精神的缺乏。我們的學生不善于（或不愿意）檢驗自己的思維過程，不善于評價自己的學習策略，不善于尋找自己的認識錯誤，“自主建構(gòu)”異化成了教師牽制下的“被動參與”，正如華應(yīng)龍老師所說，學生成了數(shù)學活動的操作工而不是探索者。

其實，我們不難理解，真正的數(shù)學活動，必須立足于學生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、思考驗證和總結(jié)內(nèi)化的思維活動基礎(chǔ)上，那些缺乏理性精神的學習活動，是難以納入學生自主探究的實質(zhì)性范疇的。學生自主探究的有效性應(yīng)該有一條至關(guān)重要的內(nèi)涵指標，那就是，學生能否在學習過程中具有理性精神。

一、在新知猜想的探究活動中，注入理性精神激發(fā)的動力

對新知強烈的好奇心，是推動學生主動探究的動力所在，為了推動新知探究的持續(xù)和深入，教學中我們要為學生創(chuàng)造理性精神孕育的契機，滿足學生探究的心理需求。

[片段寫真]《近似數(shù)》（蘇教版四年級下冊）

1.出示：蘇州工業(yè)園區(qū)常住人口（ ）人。

（在黑板上呈現(xiàn)6張數(shù)字卡片的空白背面。）

（1）蘇州工業(yè)園區(qū)常住人口數(shù)量是幾位數(shù)？

（2）（翻開最高位的兩張卡片，分別是4.1）如果后面的四位都是0，那就是？（23萬）

（3）很遺憾，它不是整萬數(shù)，你覺得它會接近四十幾萬呢？

2.接近41萬還是42萬呢？無法確定怎么辦？（得翻開后面的卡片。）

（1）（分別翻開最后面的兩張卡片9、4）可以了嗎？為什么還是無法確定？

（2）同桌交流：為什么一定要看千位？

3.請一個同學上來看看千位上的卡片到底是什么數(shù)字，并告訴大家根據(jù)你看到的數(shù)字，這個數(shù)接近多少萬。（41萬）

（1）他說接近41萬，猜猜看千位上的卡片到底是幾。

（2）為什么一定是0、1.2.3.4呢？如果是比5小的數(shù)呢？

（3）翻出千位的牌0.追問，百位的牌不知道，對判斷有影響嗎？出示數(shù)軸直觀說明。

4.小結(jié)：對，這就是用“四舍五入”求一個數(shù)的近似數(shù)。剛才省略萬后面的尾數(shù)，關(guān)注的是千位上的數(shù)字。如果要省略億后面的尾數(shù)，關(guān)鍵是看哪一位呢？

用四舍五入法求近似數(shù)和用萬作單位求一個大數(shù)目的近似數(shù)是本課的重點，而直到學生自主建構(gòu)求一個大數(shù)目的近似數(shù)時應(yīng)根據(jù)省略部分最高位數(shù)上的數(shù)字進行判斷是本課難點。為了突破重難點，本環(huán)節(jié)反復使用的是最樸實、最常見的幾張數(shù)字卡片，用法也非常簡單——翻牌、猜數(shù)、說理由，但其中的思維含量非常高，共安排了三個層次的翻牌活動：第一次翻牌，出示41□□□□，讓學生判斷數(shù)值接近多少萬。學生在41萬和42萬之間無法確定時，意識到無法確定的原因是后四位數(shù)未知，要求揭曉未知的數(shù)字。第二次翻牌，教師特意揭曉最后兩張，讓學生再次判斷，他們很快發(fā)覺仍然無法確定，這引發(fā)了學生的重新思考：“判斷的關(guān)鍵究竟是哪個數(shù)位上的數(shù)字？”學生通過思考達成共識后，并不馬上揭曉答案，而駐足反思：為什么必須看千位上的數(shù)字？至此，學生通過觀察、嘗試、思考掌握了求一個大數(shù)目的近似數(shù)時應(yīng)根據(jù)省略部分最高數(shù)位上的數(shù)字進行判斷。第三次翻牌，為了讓學生進一步內(nèi)化“舍”和“入”的道理，要求指定的學生單獨看卡片背面的數(shù)字說出近似值，再讓其他學生根據(jù)近似值來逆向思考：千位上的數(shù)字可能是幾？從不同層面上對學生提出新的挑戰(zhàn)。數(shù)軸用以幫助學生建立幾何直觀，讓不同層次的學生加深理解，理解“四舍五入”的實質(zhì)是一個范圍內(nèi)的數(shù)求近似值后都是同一個近似數(shù)。整個探索過程情境導入采用學生身邊的數(shù)據(jù)調(diào)動了學生的學習興趣，由教材兩個數(shù)據(jù)的同時探索改為一個數(shù)據(jù)的深入思考，降低干擾因素，直奔探究主題，強化理性精神的“靶心”：用萬作單位的近似數(shù)“四舍五入”時為什么只考慮千位。將課本原有的例題改編為后續(xù)的練習，學生順利內(nèi)化解決。

二、在鞏固結(jié)論的探究討論中，留足理性精神產(chǎn)生的空間

“有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。”學生往往將結(jié)論的獲得看作是數(shù)學課堂活動的唯一目的，這時，教師的引導者作用應(yīng)該發(fā)揮在幫助學生借助自己的回望反思來追溯探究過程、梳理認知過程、完善認知結(jié)構(gòu)。這里的理性精神，可以是對學習內(nèi)容的梳理回顧，也可以是對學習方式的評價分析，還可以是對結(jié)論獲得的經(jīng)驗總結(jié)，從而獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。專家組認為“數(shù)學活動既包括數(shù)學課堂上的探究性活動，也包括學生的自主學習、調(diào)查研究、獨立思考、合作交流、作業(yè)練習等等。”這種活動經(jīng)驗通過積累，可以上升為抽象的高度，而抽象的數(shù)學思維水平能為更抽象的數(shù)學思維水平提供經(jīng)驗，從而實現(xiàn)思維可持續(xù)發(fā)展，培養(yǎng)理性的數(shù)學思維品質(zhì)。

[片段寫真]《倍數(shù)和因數(shù)》（蘇教版五年級下冊）

在學生通過自己的方法探究得到36的因數(shù)后，教師組織交流反饋。

師：你們是怎么找36的因數(shù)的？

生1：將36分成兩個數(shù)相乘，得到36的因數(shù)有1.36、2.18、3.12.4.9、6.

師：不錯，還有其他的方法嗎？

生2：我是用除法找的，用36一個一個除以非0的自然數(shù)。

師：一個一個除是不是從1除到36？

生2：不用，36÷1=36中除數(shù)和所得的商都是36的因數(shù)。

師：你們明白了嗎？

生3：我聽懂了，他說36÷1=36，就得到36和1都是36的因數(shù)。

師：也就是說我們可以通過這一步一次找到兩個因數(shù)，除到什么地方為止呢？

生4：一半的地方，18.

生5：我覺得他說的不對，除到9就可以了。

生6：我覺得除到6就可以了，除以1.2.3.4都可以分別找到兩個，6只要寫一個就可以了。

生7：要一直除到出現(xiàn)重復為止，如36÷9=4，和上面36÷4=9重復了，就可以停止了。

師：我們從幾開始除起呢？

生8：1，因為1可以被所有的自然數(shù)整除，不從1開始的話就會有重復，有的還沒有。

師：說得真好！從1還是保證有序，不遺不漏。剛剛還有人提到了乘法呢，這兩種方法有什么相同的地方？

生9：除法反過來就是乘法，都是一對一對找到的。

師：說得真好，你會找一個數(shù)的因數(shù)了嗎？誰來出道題目讓大家試一試？

教師通過一個個的追問，比如“一個一個除是不是從1除到36？”“除到什么地方為止呢？”“如果中間的兩個數(shù)不一樣呢？”“我們從幾開始除起？”等，帶領(lǐng)學生進行了持續(xù)、嚴密的反思，將數(shù)學思維引向深處，學生的理解就有了根，在這些問題與對話中，我們分明可以感受到學生的思維由發(fā)散至精確的過程。即學生開始對問題的想象解答是很發(fā)散的，但是一旦找到可能的方向，在教師的引領(lǐng)下，就開始集中精確。

三、在尋找錯因的探究操作中，彰顯理性精神的價值。

數(shù)學探究的過程，對學生而言是無法預知的領(lǐng)域。因此，他們往往會遇到一些難以逾越的探究障礙和學習挫折。并且，這些障礙和挫折因素的現(xiàn)實存在，將會直接影響課堂探究活動的后續(xù)深入。這時，教師應(yīng)行使主導職責，適時介入，適度點撥，引導學生對已有探究經(jīng)歷的理性反思，從中發(fā)現(xiàn)探究受挫根源，調(diào)整探究后續(xù)過程。

[片段寫真]《商不變的性質(zhì)》(蘇教版四年級下冊)

（教師首先讓學生根據(jù)“12÷6=2”來猜想“被除數(shù)、除數(shù)怎樣變商才會不變”。有一位學生萌生了“被除數(shù)加上2，除數(shù)加上1，商不變”的猜想，并且舉出了多個實例來證明猜想是成立的）

生1：我把“12÷6=2”的被除數(shù)加2，除數(shù)加1，變成了“14÷7”，商仍舊是2.再比如把“20÷10=2”的被除數(shù)加2，除數(shù)加1，變成了“22÷11”，商也仍舊是2.還有“30÷15=2”“72÷36=2”“1000÷500=2”等很多例子都是這樣的，所以，我想我的猜想肯定是正確的。

（該生頭頭是道的論證，弄得很多已堅信“被除數(shù)、除數(shù)同時乘或除以相同數(shù)，商不變”的同學也有些摸不著頭腦了）

師：這些實例的確能證明你的猜想。那么，這個猜想是否適用于所有的除法算式呢？

（教師特意把“所有”兩個字加了重音。于是，學生紛紛把目光聚焦在所舉的這些算式中，試圖從中發(fā)現(xiàn)了一些什么，2分鐘后，多位學生有話要說了）

生2：這位同學的猜想只適用于商是2的算式。如果換成商是其他數(shù)的算式，就不合適了。比如“12÷4=3”，把被除數(shù)、除數(shù)各加2和1，變成了“14÷5”，商不就變了嗎？

生3：如果是“12÷4=3”，這個猜想就要改成“被除數(shù)加3，除數(shù)加1，商不變”了。

生4：我發(fā)現(xiàn)，算式的商是幾，這個猜想就要改成“被除數(shù)加幾，除數(shù)加1，商不變”了。

生5：這位同學的猜想很有創(chuàng)意，但它要根據(jù)商的變化而不斷改變，缺乏一定的普遍意義。

盡管學生的猜想蘊含了一定的創(chuàng)新成分，但對本課教學而言這一猜想并非目標主流。假如全體學生在傾聽說理后接納了這一規(guī)律，那么，“商不變性質(zhì)”目標結(jié)論的教學達成勢必會受到一定程度的影響。在這種情況下，教師的設(shè)問點撥有效地將全體學生的注意力集中到對該猜想普遍性的反思中來。從而，讓學生明確了該猜想的閃光點和局限性，既鼓勵了課堂的創(chuàng)新，又保證了探究有效。

“數(shù)學是思維的體操”是每位數(shù)學老師都耳熟能詳?shù)慕?jīng)典名言，表明了在數(shù)學學習中思維的重要性。特級教師許衛(wèi)兵說過數(shù)學思維和一般思維之間存在很多共同點，同時他也強調(diào)數(shù)學思維有一定的特殊性，如歸納、推理、分類等。“小學數(shù)學教學的重要特點就是通過具體數(shù)學內(nèi)容的教學既要幫助學生學會抽象、類比等一般性的思維方法，同時又要幫助學生超越一般思維走向數(shù)學思維。”這些正是對數(shù)學包含的理性精神的闡釋，那么數(shù)學學習就應(yīng)該是重視學生的理性精神的培養(yǎng)，讓學生與教師的理性精神活躍于我們的課堂中央。只有從深層次上激發(fā)學生的理性精神并且獲得學習滿足感，才能長時間的維持學生的探究欲和學習力。