試論整體思想在高中數學解題中的應用

龍 蕓

（長沙市南雅中學 湖南長沙 410000）

引言

高中生想要真正學好數學知識，就必須找到一個適合自己的數學方法。整體思想在高中數學解題中較為常見，掌握方法也比較簡單。良好的數學學習方法不僅能夠幫助高中生解析教材內容，才能幫助高中生快速掌握更深層次的解題思路和方法，使其在日后遇到同樣問題時可以舉一反三，達到事半功倍的效果。

一、樹立整體意識，引導自主探究

高中生在學習數學知識時經常會因為題目中給出的已知條件不足而找不到解題頭緒，在通讀多遍題目之后才有可能找到一點思路，但又不確定自己的解題方向是否正確，最終無法完整的將題目解析出來，如果這種情況發生在具體考試中，例如高考、期末考，對高中生的未來發展方向和數學成績十分不利，因此高中生必須掌握利用整體思想解決數學題的方法。

高中生利用整體思想可以將教師講解的重難點以及教材上的知識點進行系統劃分，構建知識理論框架，從而形成完整的數學知識體系，高中生在做題時將就可以搜索知識體系中的相關知識點，從整體到局部尋找解題思路[1]。當高中生利用整體思想解題時就會發現，所有的解題條件都隱藏在數學題目中，例如在進行三角函數這類的數學題計算時，以往高中生會因為糾結如何計算出角度對應的三角函數而耽誤解題進度，如果我們在腦海中利用整體思想構建了完整的知識理論框架，再遇到這種題型就能夠迅速反應過來。比如下面這道三角函數題“利用所學知識，求tan25°+tan20°+tan25°的最終值”，利用整體思想可知45°=25°+20°，由此可以得 出tan45°=tan25°+tan20°=tan（25°+20°）=1， 因 為tan（25°+20°）可以寫為tan（25°+20°）/（1-tan20°·tan25°），解得an25°+tan20°+tan20°·tan25°的最終值為1。

二、利用整體思想，構建知識體系

1.整體代入法

整體代入法是指將幾個不同的式子看成一個整體，將其直接帶入或經過變形后到另一個式子中，較少運算步驟，避免因求某個單獨變量進行繁瑣運算，極大程度上提高了高中生解答數學題的速度。例如“有一個長方體的總面積為11，其十二條棱長總和為24，那這個長方體對角線的值為多少”，對于這道題，利用整體代入法可以先設長方體的長寬高為未知數a、b、c，將其帶入對角線公式，可以得出對角線的值為6。又如“代數式4X2-2X+5=7，2X2-X+1的值為多少”，利用整體代入法就可以將2X2-X看為一個整體，將其進行簡化并帶入條件代數式4X2-2X+5=7，可以得出2X2-X+1=2。

2.整體換元法

整體換元也是整體思想的基本組成部分，主要是指通過探究新元性質將整體計算公式進行換元，從而實現將復雜的計算公式轉化成簡單清晰、富有條理的公式，進而保證高中生能夠更加輕松的計算。例如在進行多項式的數學題計算中，高中生經常因為計算復雜的公式而浪費大量時間，在具有時間限制的考試中會使自己處于十分不利的地位。比如“（a1+a2+a3+…+an-1）（a2+a3+a4…+an-1）-（a2+a3+a4…+an-1）（a1+a2+a3+…+an）”這道多項式計算題，如果按照正常的多項式乘法計算方法將其逐一開展計算就會變得十分繁瑣復雜，既浪費時間，又容易出現計算錯誤，如果利用整體換元法進行計算，對其進行求同存異，那么運算過程就會變得十分簡潔，由題可設a2+a3+a4+…+an-1=X，那么原式就可以寫成（a1+X）（X+an）-X（a1+X+an），通過解這個式子就可以得出最終結果為a1an。

3.整體構造法

通過對數學解題實踐的研究分析可以知道，如果不使用整體思想構建出整體結構，就無法得出簡便的解答方法，不僅會使高中生的解題能力受到限制，還會在解析數學題時不能迅速得出解題思路，做出完美簡單的解答。另外，在學習數學基礎知識時，要重視對其進行概括、挖掘以及提煉，從而構建完整的、系統的知識框架體系。整體構造法主要是指高中生可以根據數學題中的已知條件和所求，通過將公式變形、替換等方法實現相應式子的整體構造，高中生通過對這幾個式子進行聯合研究，從而得出解決數學問題的具體思路[2]。

4.整體合并法

通過上述幾點數學例題的解答，我們可以感覺到，在數學解題中使用整體思想，會使解題過程更加簡單明了，且具有創造性，不僅更能拓展高中生的知識范圍，促使其形成較為完善的邏輯思維，還能提高高中生的創新創造能力，為其解答數學題尋找更加便捷的解題思路。因此高中生應該利用整體合并法，仔細觀察數學問題的要求和題型特點，著眼于全局，把握整體結構，進而尋找出簡便算法。例如在進行橢圓題型的解題時，橢圓的計算公式可以通過多種公式變形而來，從而創造出更多靈活多樣的數學題目。在與橢圓相關的題型中，經常會給出特定的已知條件，要求我們解出橢圓的方程或者證明橢圓上一點，如果高中生利用普通的一元二次方程來解答此題，就會出現許多未知變量，如果利用整體合并法解答此種題型，在證明或者求解過程中，就可以將幾個關系式進行整合合并，讓幾個關系式相加或相減，從而得出全新的關系式，由于未知變量少，所以能大幅度提高我們的解題效率，節省解題時間。

結語

綜上所述，整體思想能夠幫助高中生突破自身限制，形成系統化的知識理論體系。所以高中生在進行數學解題時，要科學把握整體思想的應用方法，合理將其運用到實際解題中，遇到數學難題先分析題目的整體結構，隨后再逐步尋求較為簡便的解答方法，以此來降低數學題的難度，實現提高數學成績的目標。