中學數學解題過程中思維活動的探究

江蘇省新沂市高流初級中學 李云霞

一、數學思維材料與結構

數學思維材料既有感性的，也有理性的，它們是進一步思維加工的基礎。數學思維材料中的表象是在感知的基礎上在人腦中形成的印象，或者通過頭腦加工、想象而重新構成的事物的形象。感知是一切理性認識的基礎與開端。表象是從感性認識到理性認識的橋梁，因而對思維能力的發展有了重大的意義。

由數學概念、判斷、推理構成的命題，以及由數學問題系列構成的數學知識體系是數學思維的理性材料。它們既是數學思維的對象，又是數學思維的產物。“題海戰術”的訓練，是難以使數學思維產生質的提高的。

應該指出，數學思維材料并不是數學思維過程的唯一決定因素。數學思維還受到其他各方面因素的影響，尤其是非智力因素的影響；而數學思維結構各要素的發展水平以及相互組合的差異，也是我們應該考慮的因素。所以，在解題過程中的思維訓練，不能簡單地把問題的解決當作唯一目標，培養數學思維能力直到形成良好的品質結構才是思維訓練的終極目標。

在數學解題過程中起主要作用的思維方式為：邏輯思維、形象思維和直覺思維。在數學解題過程中的數學思維要素有：抽象、概括、推理、選擇、判斷和探索。

必須指出：

1.數學思維結構決定了綜合的數學思維能力的高低。研究它的組成要素及相互關系是數學思維結構研究的基礎。

2.數學思維結構是在個體的數學活動中形成發展的，是個性化、內化的心理特征。所以，數學思維結構既有個體差異，又有年齡特征。要研究每一個體思維結構的瞬時形態與演化趨勢。

3.數學思維結構只有能動作用于數學對象才能產生思維成果。在解題過程中動力系統與目標調整控制系統是重要的因素。

4.數學思維結構同一般意義下的數學認知結構的外延不同。因為認知還包括了觀察、記憶和在此基礎上的思維活動。但可以認為，由于人的觀察、記憶均與思維不可分割，一定的思維水平都賦予人一定的觀察、記憶、理解、創造能力。在這個意義上，可把數學思維結構稱為數學認知結構。

在數學解題中，數學思維的一般方法或偏重于求解、論證、思辨、整理，或偏重于探索、發現、創造。當然，在具體解題過程中，各種數學思維方式、要索、方法要靈活地辯證使用，以發揮數學思維結構的整體功能。

二、數學解題的思維過程

一般來說，數學解題總是首先對問題做出概括的思考，通過直覺思維概略地確定基本的解題策略，有了整體解決方案后，再去深入考慮具體的方法與技巧。

可以看出，一般性解決只是解題的一種“念頭”“思路”或“猜想”，它為思維提供了方向與動力。在特殊性解決中，一般邏輯思維占據主導地位，它實際上是對一般性與功能性兩種“抽象”的解決的邏輯檢驗與具體實施、補正及完善。因而，一般性與功能性的概略解決，具有極強的應變力，且為具體的解決留有充分的變通余地。

可見，在數學解題過程中，最重要的是探索。這種思維要素，在數學解題過程中，表現為在思維出現障礙時特需的心理逆轉過程，因而數學探索能力也是解題活動中最富創造性、最難以培養、發展的思想。

三、數學學習目標與方法指導

在訓練學生思維過程中，要注意學習目標的確定和學習方法的指導。如學習《直線與三角形》，可確定如下學習目標：

1.了解點、直線、平面、線段的和(或差)、角的和(或差)的概念；了解命題、定理、證明等概念。

2.理解射線、平行線、垂線、三角形、軸對稱及其圖形的概念。

3.掌握成比例線段的性質，平行線的判定公理(或定理)與性質公理，會解決兩條直線平行或垂直、線段成比例等有關問題；掌握三角形、全等三角形和相似三角形的概念、性質定理與判定定理，會解決線段、角等有關問題。

4.會用直尺、三角板、圓規、量角器等工具畫圖、測量，掌握度、分、秒的換算。

5.能正確地書寫證明過程，獨立進行推理證明。

在思維訓練過程中，學習方法指導重要。如學習《直線與三角形》，可進行如下方法指導：

1.課本中的七條公理，是今后一切幾何命題推理論證的根據，是平幾的立論基礎。直線、射線、線段和角的概念以及基本性質則是直線發源于公理的一類幾何基礎知識。

2.兩條相交直線有對頂角相等的性質，殊殊相交，可研究垂直關系。

3.三角形是平幾中的基礎內容。構成三角形的元素是三條邊和三個角。在同一個三角形中，等邊對等角，大邊對大角，反之亦然。

4.根據三角形的邊、角的特殊數量關系可以把三角形分類。等邊三角形具有等腰三角形的所有性質，每個內角都是600；四心(重心、垂心、外心和內心)合一。

5.關于三角形的角平分線問題要注意它的軸對稱性質。把關于軸對稱的兩個圖形看作一圖形時，便是軸對稱圖形，把軸對稱圖形沿軸分開看作兩個圖形時，便是軸對稱。在全等形的證明中，若能利用“對稱”性質，往往可使證明簡便。