巧用“三變” 解三角問題

河北易縣中學 邊紅霞

三角函數是高中的重要內容，也是高考的必考內容。無論是化簡、求值、證明，還是研究三角函數的性質，都離不開三角恒等變形，如何選用公式成為解決問題的瓶頸，熟練掌握三角公式是基礎，靈活運用是關鍵。解決三角問題的方法靈活多樣，然而也體現出一定的規律性。對式子結構進行全面分析，合理選擇一個突破口，或是從角度入手 ，或是從三角函數的名稱考慮，或改變式子的結構，通過變角、變名、變式，簡稱“三變”，即可順利解決三角問題。

對三角問題，因公式繁多，思考的角度不同，選擇公式的順序不同，會出現不同的解題思路，下面這道題就是一個典型的例子，通過它，我們會發現解決三角問題的一般規律。

分析：解決這類問題，一般從三方面考慮：觀察角、名稱、式子的結構。此函數式是一個分式，含有二倍角，有兩個三角函數的名稱，考慮利用公式對函數式進行化簡。

一、變角

在三角恒等變形中，首先要從角、名稱、式子的結構進行全面分析，當式子中角不統一時，可以“以角”為突破口，充分利用角的變換，進行有目地的變形，使得角達到統一。經常使用的公式有二倍角公式、誘導公式、兩角和與差等。

思路1：我們先從“角”考慮，用二倍角公式，角度減半，方次升高，會產生因式，消去公因式，然后統一名稱，轉化為一個角的一個三角函數。

思路2：由思路1變形得到 ，分析“角度”，為使角統一，分子分母分別用輔助角公式，這樣形成一個角的一個三角函數。

二、變式

當題目中式子的結構比較復雜，比如有分式、方次高等，可以通過恒等變形，改變式子的結構，化分式變為整式、由高次降為低次，目的是使復雜的結構變得簡單。

∴ （fx）∈（2，+∞）。

思路4：從“式子”的結構分析，如果分母變為單項式，可以有約分的機會，于是，從角入手，使用誘導公式，再用二倍角公式，角度減半，方次升高，統一為一個角的一個三角函數。

三、變名

如果在式子中存在多種三角函數，要利用公式統一名稱，常用的有誘導公式、同名三角函數間的基本關系式、輔助角公式等，但在統一名稱時也是從角度入手。

令 t=sin2x∈（0，1），

從以上分析可以看出，恒等變形的基本思路是進行“三變”，即“變角”“變名”“變式”，三變是進行三角恒等變形的橋梁，是解決三角問題的靈魂，任何變形都是圍繞這三方面進行的。

通過以上題目發現，“三變”之間不是割裂的，而是相互交融，在進行一種變換的同時，伴隨著其他變換的發生。即在進行式子結構的變化中，融入了角的變換，同時名稱也得到了統一，只是先選擇一個突破點而已。一般是先看角，從此出發，進行綜合考慮，兼顧三角函數的名稱，簡化式子的結構，便可順利解決三角問題。