澄清教材中關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)的四個(gè)模糊點(diǎn)①

(中央民族大學(xué)理學(xué)院，北京 100081)

“圓周運(yùn)動(dòng)”是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng)形式，從人教版高中物理必修二第五章第4節(jié)的教材(以下簡(jiǎn)稱教材)編排來看,圓周運(yùn)動(dòng)是在學(xué)習(xí)了曲線運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)之后學(xué)習(xí)的,它既拓展了平面曲線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)層次,也為后面講述天體運(yùn)動(dòng)創(chuàng)設(shè)了條件[1]。從高考的命題來看,計(jì)算題經(jīng)常涉及圓周運(yùn)動(dòng)向心力、向心加速度等相關(guān)物理量的計(jì)算,壓軸題多采用帶電粒子在電磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的物理模型。可見,圓周運(yùn)動(dòng)在中學(xué)物理中占有十分重要的地位。從已有研究來看,對(duì)涉及圓周運(yùn)動(dòng)向心力、向心加速度的物理模型分析較多,對(duì)基本概念的研究則較少。明確物理量的基本定義是學(xué)好高中物理的基礎(chǔ)[2]，本文從教材和生活實(shí)際出發(fā),分析本節(jié)內(nèi)容在教材中的知識(shí)脈絡(luò),指出教材中的四個(gè)模糊點(diǎn)，提出相應(yīng)的解決辦法,以求更好地回歸教材,體現(xiàn)出教材的指導(dǎo)作用。

1 圓周運(yùn)動(dòng)的定義

在物理學(xué)中,把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓或者圓弧的運(yùn)動(dòng)叫做圓周運(yùn)動(dòng)。但是人教版教材中并沒有對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的定義進(jìn)行說明,僅是采用生活中的實(shí)例,如用“電風(fēng)扇的葉片”“時(shí)鐘的指針”“地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)”等讓學(xué)生感知圓周運(yùn)動(dòng)。由于學(xué)生個(gè)體存在差異,從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)以及建構(gòu)知識(shí)的能力不同,對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的概念可能存在認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:一是如何判斷質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)?另一個(gè)是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡一定要是一個(gè)完整的圓嗎?

為此我們可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題給學(xué)生:“自行車在行進(jìn)過程中,其車輪上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是否為圓周運(yùn)動(dòng)?”以下我們通過對(duì)自行車車輪運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡、速度等問題進(jìn)行探討,深化學(xué)生對(duì)“圓周運(yùn)動(dòng)”這一概念的理解。

1.1 自行車在水平路面上沿直線行駛

(1) 以地面為參考系,研究自行車車輪上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

當(dāng)自行車在水平路面上沿著直線行駛時(shí),以地面為參考系,車輪上一點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示。

圖1

現(xiàn)截取運(yùn)動(dòng)軌跡的一部分進(jìn)行分析,建立圖2所示的直角坐標(biāo)系,起點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C為車輪的軸心,令車輪半徑為r,點(diǎn)A坐標(biāo)為(x,y)。一段時(shí)間后,點(diǎn)A轉(zhuǎn)過的角度為θ,則可通過數(shù)學(xué)運(yùn)算求得點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,進(jìn)而判斷點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡。由以上條件易得:CD=rcosθ,AD=rsinθ,OE=rθ。則可求得:x=OB=OE-BE=OE-AD,y=AB=DE=CE-CD,即:x=rθ-rsinθ,y=r-rcosθ。

圖2

以上即為點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,顯然當(dāng)以地面為參考系時(shí),點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡并不是圓,而是擺線。經(jīng)以上分析可知，當(dāng)以地面為參考系時(shí),沿直線行駛的自行車車輪上的任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均不是圓周運(yùn)動(dòng)。

(2) 以輪軸為參考系,研究自行車車輪上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

當(dāng)自行車在水平路面上沿直線行駛時(shí),以輪軸為參考系,此時(shí)車輪上任一點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示,是一個(gè)以C為圓心、以AC為半徑的圓。由此可見,此時(shí)車輪上任一點(diǎn)(不包括軸心)均做圓周運(yùn)動(dòng)。

圖3

1.2 自行車倒放時(shí)撥動(dòng)車輪,以地面為參考系,研究自行車車輪上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

撥動(dòng)車輪后如圖4所示,顯然此時(shí)車輪上(不包括軸心)的各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡均為圓或圓弧,則以上各點(diǎn)均繞軸心做圓周運(yùn)動(dòng)。

圖4

1.3 教學(xué)啟示

在講解圓周運(yùn)動(dòng)的概念時(shí),判斷質(zhì)點(diǎn)是否做圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵之處就是看質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。教材在引入這部分內(nèi)容時(shí),采用了與生活實(shí)際相聯(lián)系的很多示例,引導(dǎo)學(xué)生能從中得出正確的結(jié)論。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡一定要是一個(gè)完整的圓的問題,多數(shù)學(xué)生受實(shí)際生活問題中前概念的影響,其科學(xué)思維可能還沒有達(dá)到一定層次,在抽象質(zhì)點(diǎn)等某些物理模型時(shí)容易遇到困難[3]。當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧時(shí),質(zhì)點(diǎn)做的仍然是圓周運(yùn)動(dòng)。比如開門時(shí),將門把手抽象成質(zhì)點(diǎn),門把手的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧,它的運(yùn)動(dòng)也是圓周運(yùn)動(dòng)。

2 線速度的講解脈絡(luò)

人教版教材在呈現(xiàn)線速度的定義及相關(guān)內(nèi)容時(shí),與必修一第一章第三節(jié)介紹速度時(shí)的脈絡(luò)類似,經(jīng)整理如圖5所示。

圖5

但是,在具體問題的引入和介紹上略顯模糊。首先,人教版教材在介紹速度的概念時(shí),僅強(qiáng)調(diào)速度是位移與所用時(shí)間的比值,沒有對(duì)時(shí)間長(zhǎng)短提出要求,而在引入線速度時(shí),教材對(duì)線速度的定義中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“極短時(shí)間”內(nèi)物體通過的弧長(zhǎng)。即時(shí)間應(yīng)趨近于零,線速度具有瞬時(shí)性,即為瞬時(shí)線速度[4]。其次,教材緊接著提出線速度的分類,即平均線速度和瞬時(shí)線速度,時(shí)間趨近于零是瞬時(shí)線速度的計(jì)算前提,而平均線速度則需要一定時(shí)間的積累,顯得教材前后內(nèi)容沖突。此外,教材隨后再次提出當(dāng)時(shí)間趨近于零時(shí),其即為瞬時(shí)速度,這里前后內(nèi)容又有重復(fù)。

在實(shí)際教學(xué)過程中,我們建議可以分開介紹線速度的大小和方向。不妨采用教材中提到的微元法,通過瞬時(shí)速度直接引入線速度的定義,這樣既承接了前面所學(xué)的速度，也便于學(xué)生理解線速度的矢量性。關(guān)于線速度的方向,可首先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行定性的分析,基于其對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí),他們已經(jīng)掌握曲線運(yùn)動(dòng)的方向與軌跡相切的一般規(guī)律。圓周運(yùn)動(dòng)不過是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng),則其線速度的方向也應(yīng)與圓相切。再應(yīng)用微元法進(jìn)行證明,當(dāng)時(shí)間趨近于零時(shí),圓弧所對(duì)圓心角也趨近于零,根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,就可說明此時(shí)運(yùn)動(dòng)方向與半徑垂直,即線速度方向與圓相切。當(dāng)圓上任意一點(diǎn)線速度的“大小”處處相等時(shí),即為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在此處強(qiáng)調(diào)“勻速”是指質(zhì)點(diǎn)的速率不變[5]。而平均線速度在高中階段并不常見,最后做簡(jiǎn)單介紹即可。這樣便于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理,形成清晰的學(xué)習(xí)脈絡(luò)。

3 角速度的引入

圖6

在運(yùn)動(dòng)學(xué)中,選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系以及相應(yīng)的物理量,對(duì)于探討物理問題,具有事半功倍的效果。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng),可建立直線坐標(biāo)系,對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)則可通過運(yùn)動(dòng)分解“化曲為直”,在平面直角坐標(biāo)系中處理。以上均是從“線量”的角度對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)加以描述。但有人認(rèn)為“化曲為直”的方法不適用于圓周運(yùn)動(dòng),為此有必要引入新的物理量——角速度,從“角量”入手來描述物體圓周運(yùn)動(dòng)[6]。

設(shè)質(zhì)點(diǎn)在如圖6所示的平面內(nèi),繞點(diǎn)O做圓周運(yùn)動(dòng),軌道半徑為R。以x軸為參考方向,當(dāng)該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)時(shí)間Δt由M運(yùn)動(dòng)到N時(shí),初始角位置為θ,角位移為Δθ。

4 線速度與角速度關(guān)系式的推導(dǎo)方法

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)教材中圓周運(yùn)動(dòng)這一節(jié)的知識(shí)細(xì)節(jié)和脈絡(luò)進(jìn)行剖析,明確物理量的定義是學(xué)生學(xué)好物理的基礎(chǔ)。回歸教材才能更好地幫助學(xué)生掃清學(xué)習(xí)的盲點(diǎn)和模糊點(diǎn)。就本節(jié)內(nèi)容而言,無(wú)論是圓周運(yùn)動(dòng)的定義、線速度的講解、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的介紹,還是角速度的引入及其與線速度關(guān)系的推導(dǎo),都需要以教材為依托,使教學(xué)過程環(huán)環(huán)相扣。深刻理解教材中微元思想，并實(shí)際應(yīng)用于教學(xué)活動(dòng)中,有助于教師講清楚圓周運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)模糊點(diǎn),更好地完成教學(xué)任務(wù)。

[1] 段祝霞.重視體驗(yàn)與探究有效突破教學(xué)重難點(diǎn)—五版本教材圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)比分析[J].物理教學(xué)探討,2016,(3):42-44.

[2] 王愛華.一切從定義出發(fā),再談勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度方向的變化率[J].物理教師,2012,(4):47.

[3] 鄭清岳.怎樣對(duì)待學(xué)生錯(cuò)誤的前概念[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2010,(5):2-4.

[4] 朱亞.“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”的教學(xué)探討[J].物理教師,2011,(10):18-19.

[5] 楊紹征,徐以玲.剖析處理圓周運(yùn)動(dòng)問題中的四個(gè)誤區(qū)[J].物理教學(xué),2011,(6):42-44.

[6] 張婷玉,陳清梅,邢紅軍.圓周運(yùn)動(dòng)的高端備課[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,(6):22-24.