均值不等式的應用

陳繼

【摘要】均值不等式的應用較為廣泛，在很多領域都能發揮積極作用。如何正確應用均值不等式是廣大數學教師研究的重要課題。文章主要介紹了關于均值不等式在初等數學、高等數學以及實際生活中的應用，以期為相關人士提供參考。

【關鍵詞】均值不等式；初等數學；高等數學應用

一、引言

均值不等式具有應用范圍廣泛的特征。數學教師可以將其合理使用在數學教學中，制訂完善的教學方案，樹立正確的觀念，創造良好的教學環境，在對教學內容進行創新的基礎上，逐漸提升自身教學水平。在教學工作中，教師使用均值不等式知識，可以對最值與累加、累乘等內容進行協調，在全面分析相關教學要求與特點的基礎上，創造良好的發展空間，創新教學方式，加大教學工作力度，創建現代化的教學體系，滿足其實際發展需求。當前，部分數學教師在教學工作中，還不能很好地應用均值不等式知識，難以提升相關知識的應用效果。因此，教師要進行全面的分析，歸納總結教學經驗，創造良好的發展環境，為后續進步奠定基礎。

二、均值不等式在初等數學中的應用

（一）利用均值不等式計算累加累乘

在均值不等式知識實際使用的過程中，教師可以對不等式中的難點問題進行分析，指導學生掌握相關知識的應用技巧，提升學習水平。在學生學習的過程中，教師可以對學生提出相關問題。例如：如果a，b，c都是正數，求證。在對這個問題進行講解的過程中，應明確學生的學習特點與要求，為學生講解相關內容，保證更好地對其進行分析，在一定程度上能夠提升學生的解題能力。教師可以指導學生先對問題的已知條件進行合理的分析，明確均值不等式的定義知識，然后利用論證與推導的方式對其進行嚴格的探討，保證可以獲得準確的結論。另外，要綜合使用相關計算與分析方式，逐漸提升均值不等式知識的使用效果。

（二）利用均值不等式求最值

在使用均值不等式對最值問題進行解決的過程中，應當合理分析數學問題的研究重點，保證更好地學習與掌握相關知識。在此期間，應當合理分析必備的基礎條件：其一，就是“正”元素，各項數據信息都為正數；其二，就是“定”元素，各項數據信息與乘積為定值；其三，是“等”元素，明確等號的取值條件。在均值不等式實際應用的過程中，能夠對最值的數據信息等進行合理的分析，巧妙使用變形方式獲取最值信息，保證在相關系數求解的過程中，對各個層次的內容進行研究。在實際發展的過程中，可以利用具體的實例方式，明確最值數據信息。

在實際教學的過程中，教師可以利用拆項方式、換元方式、平方方式等，掌握變形分析技巧，對定值與最值等數據問題進行求解，協調各方面之間的關系，保證教學效果。

例如：a大于0，b大于0，a+b等于1，求證。在指導學生對此類問題進行分析的過程中，通常情況下，教師會對均值不等式的幾何背景等進行研究，使得學生在了解幾何背景的情況下，更好地對結論進行分析，提升知識掌握效果，拓展多元化的發展空間。同時，在教學期間，教師還要指導學生在縝密思考的過程中對幾何空間數據信息進行分析，提升問題分析效果，滿足當前的實際發展需求，保證結論的準確性與可靠性。另外，在使用均值不等式知識解決相關問題的過程中，還要對實際情況進行合理的研究，培養學生循序漸進的問題分析觀念，提高其創新能力，保證在未來發展的過程中，制定多元化的分析與管理機制，創造良好的發展空間。

三、均值不等式在高等數學中的應用

（一）均值不等式在極值問題中的應用

在高等數學教學的過程中，教師應當合理使用極值相關問題開展教學活動，制定完善的教育方案，及時發現其中存在的問題，采取有效措施應對問題，保證教學工作的可靠性與有效性。

例如教師提出問題“求極限”，在求解的過程中，可以將n元均值不等式作為主要的解題內容，通過合理的方式對其進行處理，保證能夠更好地對問題進行解決，提升教學效果。在解題過程中，可以要求學生建立均值不等式的相關方程，更好地學習不等式解題中的知識，明確解題要求，全面掌握相關知識內容。

通常情況下，在建立函數極值問題解決方案的過程中，教師要指導學生科學應用函數解析式的方式學習相關知識，然后判斷問題是否可以運用均值不等式方式解決，如果可以，就要對其進行全面的處理。在此期間，教師可以指導學生利用微積分的方式，對極值問題進行全面的分析，明確其可行性與有效性。同時，教師在指導學生求解極值問題時，對特殊類型均值不等式內容進行研究，及時發現其中存在的不相像等問題，采取有效措施對其進行解決。運用均值不等式知識解決極值問題，具有間接性與便利性的優勢，能夠提升解題效果。因此，在未來發展的過程中，教師要指導學生全面了解均值不等式的基礎知識，創造良好的教學環境，使得學生在先進教學方式的支持下，更好地解決相關問題，提高現代化教學工作效果。

在教學工作中，教師需重視對學生排序不等式能力的培養，使其在全面理解基本不等式知識的情況下，更好地參與教學活動。在此期間，教師可以設置問題：“現有兩組數，第一組為A1，A2，…，第二組為B1，B2，…，要想滿足A1小于等于A2，且B1小于等于B2，那么，怎么樣才能使其成立？”在提出問題之后，需根據數值的實際調整要求對其處理，利用反序與同序的方式解決問題，在合理調整的情況下，對其進行嚴格的控制。在實際證明的過程中，還需對A1、A2、B1、B2進行全面調整，保證相關數值可以符合相關規定，更好地開展作差證明活動。這樣在一定程度上可以培養學生知識的學習與理解能力，使其在理解與學習知識的過程中，養成良好的習慣，提高學習效果，滿足當前的實際發展需求。

（二）均值不等式在應用過程中的注意事項

在使用均值不等式的過程中，教師應當指導學生注意各類事項，運用合理的分析方式，及時發現不等式知識應用中存在的問題，并采取有效措施加以解決，滿足當前的教學工作需求。具體注意事項包括以下幾點。endprint

第一，對于不同的均值不等式而言，存在不同實數取值范圍的要求，應當明確實際情況。例如：在對問題進行分析時，如果二次根號下面存在實數，就必須保證實數大于或是等于零，保證可以滿足不等式知識的應用要求。

第二，均值不等式知識的應用，要求其中帶有等號，在解決數學問題的過程中，應當對其等號成立條件進行合理的分析，如果不存在相關條件，就無法應用不等式知識。

第三，為了培養學生不等式知識的應用能力，教師可以使用符號圖形展示教學方式、生活語言教學方式等，指導學生通過書面語言，對符號進行表達，增強其學習便利性與簡易性，滿足當前的不等式知識教學要求。

第四，在對圓直徑或是弦長大小問題進行解決的過程中，教師可以指導學生判斷該問題是否可以使用均值不等式知識，在明確能用之后，還要尋找最佳的實用點，以便于提升不等式知識的應用效果。

第五，實際教學中，教師還要指導學生使用均值不等式對周長與矩形問題進行解決。可以發現，在周長相等的矩形中，面積最大的為正方形；在面積相等的矩形中，周長最小的是正方形。在反復驗證的過程中，學生通過合理的分析方式，了解相關不等式知識的使用要求，能夠全面提升學習效果。

第六，均值不等式知識是中學數學教學中的重點與難點，教師應當給予學生正確的指導，培養其知識應用能力與問題解決能力，滿足實際教學要求。

第七，在均值不等式知識教學工作中，教師需制訂完善的教學工作方案，結合當前的實際教學特點與要求，創新管理形式，保證提升各方面的工作效果。在此期間，需培養學生的實踐能力，使其全面了解均值不等式的相關知識，更好地參與到實踐活動中，提升其學習能力與理解能力。

第八，教師在講解均值不等式知識的時候，需創建多元化的管理機制，明確各方面工作之間的關系，創新教學形式，在加大教學管理力度的情況下，營造良好的教學環境與氛圍，保證能夠增強教學工作效果。

第九，教師在對均值不等式知識的講解期間，需針對各類內容進行全面的分析與處理，根據學生的實際學習要求，建立健全管控機制，明確各方面的教學要求，保證在未來發展的過程中，得到良好的教學成效。為了使學生更好地掌握均值不等式知識，還需合理創建相關教學體系，滿足當前的教學要求。

四、結語

均值不等式的應用十分廣泛，但在實際應用中一定要注意其使用條件，認真思考，注意各種條件變換和公式的變形使用，理清解題思路，提升學生分析問題與解決問題的能力，在實踐過程中，要培養學生均值不等式的使用技巧，更好地對問題進行研究，以達到良好的教學效果。

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