以導數為例淺談解題教學

張若謙

（浙江省浦江縣第三中學，浙江 金華）

有人說，高三的數學教學就是解題教學。但是解題教學也并非是課堂上大量題目的堆砌，靠簡單的題海戰術效率是極低的，學生對于這樣的課堂也會興趣索然。中學數學中主要的數學思想有：函數與方程的思想，分類討論的思想，數形結合思想，化歸與轉化思想。教學時以體驗數學思想為訓練的核心，以知識點的應用為載體，以解法為外顯的形式，三者有機結合才更符合當下高考對學生的要求。筆者以導數這一內容為切入點，談談對解題教學的一些看法。

一、借助導數研究函數的零點問題

此類問題的解決建立在函數圖形繪制上，而函數圖形的繪制最為核心的部分為函數在各區間上的單調性的確定。故此類問題又可轉化為函數單調性。

例1.已知函數f（x）=（lnx+1）a-x恰有兩個零點，求實數a的取值范圍。

解題分析：由題意，即方程（lnx+1）a-x=0在 x∈（0，+∞）上有兩根。對于此類問題，解答思路有三種：（1）構造函數法；（2）變量分離法；（3）數形結合法。

思路探求1：直接考慮f（x）圖形，函數定義域為x∈（0，+∞），求得

（1）若a≤0，則f（′x）＜0，（fx）在x∈（0，+∞）上單調遞減，不符合題意2。 ＞0∈0＞0∈+

（ ）若a，當x（ ，a），f（′x） ，（fx）單調遞增。當x（a，∞），f（′x）＜0，（fx）單調遞減。故 （fx）max=（fa）=（lna+1）a-a＞0，得a＞1。

思路探求2：令 （fx）=（lnx+1）a-x=0，轉化為方程a（lnx+1）=x，按變量分離的思路，通常會習慣性地把左邊的式子除到右邊得記原問題可等價轉化為y=a與y=g（x）在上有兩個不同的交點。討論y=g（x）的單調性，求得

當單調遞減。

當x∈（1，+∞），g（′x）＞0，g（x）單調遞增。

但是 g（x）在處無意義，由分析可得，當時，lnx+1→0，整個式子的值會趨向于無窮大。在的左邊區域內函數值恒正，因而會趨向于正無窮大。在的右邊區域內函數值恒負，因而會趨向于負無窮大。g（x）極小值=g（1）=1，得 a＞1。

方法優化：變量分離后，在繪制右側函數圖形時由于其在定義域內存在一個沒有意義的點≠，0對繪制的過程產ln生+1了=極為不便的影響。重新考慮分離，顯然a，故對方程a（x）x分離后可得記，當＞0，h（x）單調遞增。

當x∈（1，+∞），h（′x）＜0，h（x）單調遞減。

因為x→+∞時，lnx+1→+∞，x→+∞，但lnx+1的增長速率遠小于x的增長速率，故h（x）→0。當然也可以用洛必達法則求極限可得 h（x）極小值=h（1）=1，故知 0a＞1。

思路探求 3：轉化為方程 a（lnx+1）=x后，顯然 a≠0，可整理得原問題可等價轉化為 k（x）=lnx+1 與在x∈（0，+∞）有兩個不同的交點。可得，只需算出過原點的切線l的斜率，設切點為Q（x0，lnx0+1），有斜率的兩種表達形式可得方程解得可得

方法點睛：借助導數研究函數零點問題通常要繪制函數圖形，而在繪制過程中函數單調性的分析必不可少。有時往往需要把函數零點的問題轉化為對應方程根的問題。對于求參數范圍的問題就可以使用普遍的三種解決策略進行嘗試。

二、借助導數研究不等式的恒成立問題

不等式恒成立問題作為考查函數知識點的經典題型，通常的解決策1略也是較為固定： ?

（ ）（fx）＞c（常數）在區間［a，b］上恒成立 在區間［a，b］上，

（2）（fx）＞g（x）在區間［a，b］上恒成立?在區間［a，b］上，［（fx）-g（x）］min＞0；

（3）f（x1）＞g（x1）在區間［a，b］上恒成立?在區間［a，b］上，［（fx）］min＞［g（x）］max。

若是函數中帶有參數，那么其解決的策略也為變量分離法、構造函數法、數形結合法。

例2.已知若（fx）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍。

思路探求：由題意可得恒成立。此時不等式兩邊均含有x，且左邊式子中帶有參數a。進行變量分離處理，a＞-x3+xlnx，記 g（x）=-x3+xlnx，只需 a＞g（x）max，x∈（1，+∞）。若能繪制y=g（x）的函數圖形，則自然可得。故分析y=g（x）單調性，并求0其導數g（′x）=-3x2+lnx+1。但發現y=g（′x）并不容易直接得出與 的大小關系。若能繪制y=g（′x）圖形，自然可得。求其導數得可得x∈（1，+∞），g″（x）＜0，g（′x）在定義域內單調遞減。又因為g（′1）=-2，故y=g（′x）圖形，

可知當 x∈（1，+∞），g′（x）＜0，可知 g（x）在定義域內單調遞減。g（x）＜g（1）=-1，得 a≥-1。

方法點睛：不等式恒成立問題利用三種解題策略，經轉化后大多能變為函數的最值問題。在函數結構較為復雜的情況下，可使用導數討論其單調并以此繪制函數草圖。在一階導數的數值還是較難分析時，就需要分析其二階導數。為了明晰解題思路，可在解題時繪制“思維流程圖”進行輔助思考。

當然，解決這類問題需要從概念出發，綜合運用數學結合、分類討論等多種思想方法。需要從解題策略和數學思想方法上進行思維的優化，只有這樣才能培養學生思維的深刻度、靈活度，使解題教學更為有效。