一種基于泰勒級數展開的電離層延遲改正模型

張兆龍，王躍鋼，騰紅磊，王 樂

(火箭軍工程大學，陜西 西安 710025)

距地球表面高度50～1000 km的大氣層稱為電離層，電離層中的氣體分子由于受到輻射而產生電離[1]。當衛星信號通過電離層時，信號的傳播路徑和速度會發生變化，因此計算所得的衛星至接收機的幾何距離與真實值之間存在偏差，對觀測量造成影響，稱為電離層延遲[2-3]。

在衛星導航定位中，電離層延遲是主要的誤差源之一，很大程度上影響了定位的精度和準確度[4-5]。針對電離層延遲誤差問題，國內外的眾多學者和機構進行了大量的研究并取得了豐富的成果。對于單頻接收機定位而言，由于不能消除一階電離層延遲，因此采用電離層模型來進行誤差改正[6-7]。一般是應用衛星播發的導航電文中的電離層延遲改正參數，因此電離層延遲改正參數的精度直接影響接收機的定位精度[8]，提高電離層延遲改正模型的精度是當前研究的重點，也是進一步提高定位精度的需求[9]。本文提出一種基于泰勒級數展開的電離層延遲改正模型(TSE模型)，通過試驗仿真分析，并與Klobuchar模型和NeQuick模型進行對比，以驗證該模型在一定程度上提高電離層延遲改正誤差和區域上的時間適應度的能力。

1 電離層延遲改正模型

1.1 Klobuchar模型

Klobuchar模型是一種廣泛應用于單頻接收機定位的傳統電離層延遲改正模型，該模型采用余弦函數解算電離層延遲，包括8個直觀簡潔的參數。大量試驗研究表明，Klobuchar模型的改正效果一般在60%左右，改正精度較低，其表達式如下[10-11]

(1)

式中，DC為晚間電離層延遲量，通常取DC=5 ns；t0為最大電離層延遲所對應的地方時；Tp=14 h50 400 s；P為電離層延遲函數周期，單位為s；A為電離層延遲函數振幅，單位為s。其表達式可表示為

(2)

(3)

式中，αi和βi為導航電文所提供的改正參數；φm為穿刺點的地磁緯度；t為穿刺點的地方時。具體的計算步驟見文獻[12]。

1.2 NeQuick模型

NeQuick模型是一個隨時間變化的三維電離層電子密度模型。相關研究表明，該模型的改正精度較Klobuchar模型較高，但是結構較復雜，在運算過程中涉及數值積分，時效性較差[13-14]。其基本表達式如下

(4)

式中，N表示電子密度；h為所求點的高度；Nmax是Epsterin層的電子密度峰值；hmax表示Epsterin層的電子密度峰值點的高度；B為Epsterin層的厚度參數。

1.3 TSE模型

泰勒級數是無限項連加的特定函數的數學描述，這些相加的項由該函數在某一點的導數計算所得[15]。本文所提出的模型正是利用泰勒級數展開，且將整個電離層簡化為單層模型，該單層電離層稱為中心電離層或平均電離層，而后進行電離層延遲改正。

TSE電離層延遲改正模型可描述為

(5)

其中

β=βIP-β0

(6)

S=SIP-S0

(7)

式中，βIP和SIP分別表示在日固地理坐標系下電離層穿刺點(IPP)的緯度和經度；β0和S0表示擴展原始坐標；n和m分別表示緯度和經度的泰勒級數展開階數；nmax和mmax分別表示緯度和經度泰勒級數展開的最大階數；Cnm是未知系數。電離層穿刺點(IPP)的緯度和經度計算方式如下

βIP=arcsinsinφkcosα+cosφksinαcosθa

(8)

(9)

式中，φk和λk分別表示接收機k的緯度和經度；θa表示接收機和可見衛星之間的方位角；α是地球中心分別與接收機和電離層穿刺點連線之間的夾角[16]。單層電離層模型如圖1所示。

電離層延遲可表示為

(10)

式中，F為依賴于高程的映射函數

(11)

f1是GPS載波L1的頻率，其頻率為1 575.42 MHz；Z′為電離層穿刺點處的衛星的天頂角，可表示為

(12)

式(8)中，Re=6 378.1 km，為地球平均半徑，H=350 km，為單層電離層薄殼的高度；z為接收機的天頂角。將式(5)代入式(10)可得

(13)

圖1 單層電離層模型

因此，對于可見星p=1,2,…,ns和接收機k，電離層延遲δIk為

(14)

式中

(15)

(16)

(17)

式中，Ak為泰勒級數展開的幾何矩陣；nmax和mmax為泰勒級數展開的階數，且ns>Xc。矩陣Ak中包含所有可見星的電離層穿刺點的緯度和經度值，矩陣Xc中的各個量為未知系數(C00到Cnm)，從幾何矩陣和測量數據(VTEC)中可以求得這些未知系數。求解過程如下：取nmax=mmax=2，β0=S0=0，令Y=AkXc，其中，矩陣Y為實測VTEC數據，假設某一位置在某一時刻的可見星為10顆，數據采樣間隔為5 min，則可求得TSE模型中的9個未知系數，Y、Ak和Xc可分別表示為

(18)

(19)

(20)

運用最小二乘法，則未知系數矩陣Xc為

(21)

將式(21)計算得到的Xc代入式(14)，則可得電離層延遲改正誤差。

2 試驗仿真及結果分析

為評估TSE模型對電離層延遲的改正效果以及比較不同電離層改正模型對單頻精密單點定位精度的影響，試驗方案如下：

(1) 方案1：采用IGS中國站BJFS(北京房山)站點的觀測數據，選取太陽活動低年2009年第218天和太陽活動高年2012年第115天的數據進行仿真，分別求得3種模型VTEC計算值與參考值之間的均方差RMS，結果如圖2所示。

從圖2可以看出，在2009年第218天，即太陽活動低年，Klobuchar模型的RMS較大，NeQuick模型和TSE模型的RMS不超過3 TECU，可以較好地反映電離層的變化情況，但是TSE模型的RMS總體趨勢更平穩，精度更高。在2012年第115天，即太陽活動高年，3個模型的RMS較2009年第218天(太陽活動低年)略高，TSE模型的RMS比其他兩個模型都要小。綜上所述，說明TSE模型的VTEC計算值與參考值之間的偏差不大，基本一致，其在提高改正精度上是可行的，且在不同時間(太陽活動高低年)都有較強的適應性。

圖2 Klobuchar模型、NeQuick模型、TSE模型所求VTEC的RMS比較

(2) 方案2：采用IGS中國站BJFS(北京房山)站點2009年1月1日的觀測值，用單點定位進行位置解算時，分別采用Klobuchar模型、NeQuick模型、TSE模型3種不同的電離層改正模型，將解算所得的測站坐標與IGS公布的當天坐標值進行對比，結果如圖3—圖5所示。

圖3 Klobuchar模型改正電離層延遲的定位誤差

圖4 NeQuick模型改正電離層延遲的定位誤差

圖5 TSE模型改正電離層延遲的定位誤差

由圖3—圖5可以看出，在單頻精密單點定位中，電離層延遲誤差改正采用TSE模型的定位精度要優于采用Klobuchar模型和NeQuick模型，其中，Klobuchar模型的定位精度最差且波動較大。采用TSE模型進行解算的測站位置在X、Y、Z方向上與參考值之間的誤差范圍在1 m以內，即定位精度約為1 m，表明了TSE模型在一定程度上提高了單點定位精度的可行性。

3 結 語

在單頻精密單點定位中，電離層延遲是一項重要的誤差源，電離層延遲誤差改正精度的提高對定位精度的提高具有重要的意義。通過仿真試驗驗證，本文研究探討的基于泰勒級數展開的電離層改正模型在提高定位精度上有一定有效性和可行性，且有較強的時間適應性。

[1] 鄭建雷, 黃張裕, 劉國超. 單頻精密單點定位中電離層延遲改正方法[J]. 測繪與空間地理信息, 2015, 38(2): 144-146.

[2] SHI Chuang，GU Shengfeng，LOU Yidong，et al. An Improved Approach to Model Ionospheric Delays for Single-frequency Precise Point Positioning[J]. Advances in Space Research, 2012, 49(12): 1698-1708.

[3] 康娟. 全球衛星導航系統電離層建模方法研究[D]. 長沙: 湖南大學, 2015.

[4] 楊新文, 楊徉. 一種基于衛星穿刺點位置的區域電離層增強方法[J]. 測繪通報, 2016(11): 5-8.

[5] ZHANG Rui，SONG Weiwei，YAO Yibin，et al. Modeling Regional Ionospheric Delay with Ground-based BeiDou and GPS Observation in China[J]. GPS Solutions, 2015,19(4): 649-658.

[6] 李強，寧百齊，趙必強，等. 基于陸態網絡GPS數據的電離層空間天氣監測與研究[J]. 地球物理學報, 2012, 55(7): 2193-2202.

[7] 田英國, 郝金明, 于合理，等. LEO衛星單頻精密定軌電離層模型改進算法[J]. 測繪學報, 2016, 45(7): 803-809.

[8] 袁運斌, 歐吉坤. GPS 觀測數據中的儀器偏差對確定電離層延遲的影響及處理方法[J]. 測繪學報,1999, 28(2): 110-114.

[9] 王斐, 吳曉莉, 周田, 等. 不同Klobuchar模型參數的性能比較[J], 測繪學報, 2014, 43(11): 1151-1157.

[10] 徐李冰, 蔡成林, 陳光喜, 等. 一種新的北斗Klobuchar模型及其精度分析[J]. 大地測量與地球動力學, 2015, 35(5): 788-792.

[11] 涂銳, 黃觀文, 張勤. GPS單頻機電離層延遲改正新算法[J]. 武漢大學學報(信息科學版), 2012, 37(6): 667-670.

[12] 崔敬. GPS單頻精密單點定位的電離層延遲改正研究[D]. 北京: 中國地質大學, 2013.

[13] 吳宇航, 陳秀萬, 吳才聰，等. 電離層延遲修正方法評述[J]. 全球定位系統, 2008, 33(2): 1-5.

[14] TAO Anlin，JAN Shaushiun. Wide-area Ionospheric Delay Model for GNSS Users in Middle and Low-magnetic-latitude Regions[J]. GPS Solutions, 2015, 20(1):1-13.

[15] KUMAR P N,SARMA A D，REDDY A S.Modeling of Ionospheric Time Delay of Global Positioning System(GPS)Signals Using Taylor Series Expansion for GPS Aided Geo Augmented Navigation Application[J]. Radar Sonar and Navigation Let, 2014, 8(9): 1081-1090.

[16] 李志剛, 程宗頤, 馮初剛，等. 電離層預報模型研究[J]. 地球物理學報, 2007, 50(2): 327-337.