一種適用于MIMO多路中繼信道的Lattice編碼方案

趙 翔,魏天偉

(1.中國(guó)科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所,上海 200050;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京100049; 3.上海科技大學(xué),上海 201210)

0 概述

物理層網(wǎng)絡(luò)編碼(Physical-layer Network Coding,PNC)在過(guò)去數(shù)十年里取得了非常大的成功[1]。 在文獻(xiàn)[2]中,PNC和嵌套Lattice編碼在雙向中繼信道(Two Way Relay Channel,TWRC)中的應(yīng)用使得系統(tǒng)可達(dá)速率已經(jīng)到了距離信道容量只差1/2 bit。之后,多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系統(tǒng)在TWRC中的引入又進(jìn)一步增加了系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[3-6]描述了一些非常有效的編碼方案,如線性預(yù)編碼、嵌套Lattice編碼、串行干擾消除等。這些技術(shù)運(yùn)用又使得通信系統(tǒng)的性能得到了很大的提高。

近年來(lái),對(duì)多路中繼信道(Multi-way Relay Channel,MRC)的研究也越來(lái)越多。在多路中繼信道中,各個(gè)用戶(hù)通過(guò)中繼的幫助來(lái)互相共享信息[7-9]。特別地,文獻(xiàn)[8-9]的模型假設(shè)各個(gè)用戶(hù)都工作在互相配對(duì)的模式下。最近,文獻(xiàn)[10-11]的工作又設(shè)想了一種叫做全速率交換的系統(tǒng)模式,在這個(gè)模型中,每個(gè)用戶(hù)都需要知道所有其他用戶(hù)的信息。其實(shí)這個(gè)系統(tǒng)模型在很多場(chǎng)合都是適用的。比如自組織網(wǎng)絡(luò),假設(shè)在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)里面所有的節(jié)點(diǎn)都需要和其他節(jié)點(diǎn)共享某一個(gè)文件,但是每個(gè)節(jié)點(diǎn)都只擁有這份文件的某一些不同的部分,這就是一個(gè)典型的全速率交換模型。文獻(xiàn)[10-12]也對(duì)MIMO多路中繼模型的自由度(Degree of Freedom,DoF)進(jìn)行了分析。然而,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最優(yōu)的自由度未必可以實(shí)現(xiàn)最好的系統(tǒng)性能和系統(tǒng)信道容量。文獻(xiàn)[3]提出的基于Lattice編碼和廣義奇異值分解(Generalized Singular Value Decomposition,GSVD)的方法在用戶(hù)數(shù)是2的時(shí)候(即系統(tǒng)模型退化成雙向中繼信道)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的性能,但是該方案對(duì)于用戶(hù)數(shù)大于等于3的情況下就不適用了。因此,在現(xiàn)有的技術(shù)基礎(chǔ)上,提出一種可以在有限信噪比下更加高效的逼近系統(tǒng)信道容量的普遍適用方案就變得很有意義。

本文針對(duì)全速率交換模型,提出一種新的編碼方案。為了達(dá)到最佳的系統(tǒng)性能,此方案結(jié)合了上述的Lattice編碼以及MIMO技術(shù),并且也運(yùn)用到了線性預(yù)編碼等傳統(tǒng)操作。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 系統(tǒng)模型

如圖1所示,考慮一種MIMO MRC模型,中繼有N天線,每個(gè)用戶(hù)有M天線,每個(gè)用戶(hù)之間無(wú)法直接通信,各用戶(hù)必須通過(guò)中繼的幫助來(lái)獲取其他K-1個(gè)用戶(hù)的信息。假設(shè)信道是實(shí)信道,并且系統(tǒng)工作在全雙工的情況下。本文的方法可以直接拓展到半雙工的情況下。

圖1 K用戶(hù)的多路中繼信道模型

每一輪信道傳遞都是經(jīng)過(guò)2個(gè)過(guò)程,上行過(guò)程和下行過(guò)程。在上行中,所有K個(gè)用戶(hù)同時(shí)向中繼發(fā)送信息,中繼的接收信道如下:

(1)

(2)

其中,Pk表示用戶(hù)k的功率限制。

在下行中,中繼將所有的K個(gè)用戶(hù)的信息同時(shí)廣播出去,每個(gè)用戶(hù)收到的信息為:

Yk=HRkXR+Zk,k=1,2,…,K

(3)

(4)

其中,PR表示中繼的發(fā)送功率限制。

在以上討論中,假設(shè)信道矩陣在整個(gè)過(guò)程中保持不變,并且矩陣中的各個(gè)元素服從某個(gè)獨(dú)立的分布。因此,這里的信道矩陣以接近1的概率趨近于滿(mǎn)秩。另外,假設(shè)信道矩陣在整個(gè)通信過(guò)程都是已知的。

1.2 可達(dá)速率

1.3 理論容量上界

現(xiàn)在根據(jù)已知結(jié)論描述基于MIMO的多路中繼下的容量上界。設(shè)用戶(hù)k的協(xié)方差矩陣為Qkk∈{1,2,…,K},那么從文獻(xiàn)[13]中的cut-set定理可知,MIMO多路中繼系統(tǒng)的最終可達(dá)速率空間可以描述為:

(5)

(6)

當(dāng)用戶(hù)個(gè)數(shù)k=1時(shí),cut-set定理里面的2個(gè)Cut如圖2所示。因此,本文中所提的MIMO多路中繼模型的可達(dá)速率空間就由式(5)和式(6)所描述的所有的可達(dá)速率的閉集合所構(gòu)成。

圖2 當(dāng)k=1時(shí)的多路中繼信道的等效模型

這個(gè)最優(yōu)的可達(dá)速率空間可以通過(guò)優(yōu)化用戶(hù)k的協(xié)方差矩陣Qk和中繼的協(xié)方差矩陣QR來(lái)實(shí)現(xiàn)。注意到log-det函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù),因此,整個(gè)問(wèn)題是一個(gè)凸問(wèn)題,可以用標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化工具來(lái)解決。

2 基于Lattice的編碼實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用

在這個(gè)部分中,主要考慮的情況是M≥N情況下的多路中繼信道。在本文結(jié)尾將簡(jiǎn)要地介紹一下M

2.1 信道三角化

URHkR=RkRUkR

(7)

(8)

(9)

(10)

用戶(hù)k的發(fā)送功率限制為:

(11)

上述所有的操作均是線性的,并且完全沒(méi)有信息損失的。因此,可以專(zhuān)注于考慮式(3)和式(7)的中繼端收發(fā)方案的設(shè)計(jì)。

2.2 用戶(hù)編碼方案的設(shè)計(jì)

(12)

(13)

(14)

(15)

上述的第n個(gè)子信道接收到的信息向量可以寫(xiě)作:

(16)

需要注意的是在每一個(gè)時(shí)隙l中,只有用戶(hù)l和用戶(hù)l+1共2個(gè)用戶(hù)處于激活狀態(tài)傳送信息。假設(shè)用戶(hù)k在第n個(gè)子信道所能在空間空發(fā)送的消息集合是Wk,n={1,2,…,2TRk,n},此集合中的元素ωk,n∈Wk,n就是實(shí)際發(fā)送的信息,其中,Rk,n是用戶(hù)在k第n個(gè)子信道發(fā)送的信息率。集合{ω1,n,ω2,n,…,ωK,n}就是第n個(gè)子信道的數(shù)據(jù)包。

其中,Vol(Λ)和LatticeΛ的Voronoi 區(qū)域的體積,Pk,n是用戶(hù)k在第n個(gè)子信道上所發(fā)送信息的平均功率。當(dāng)T→∞時(shí)o(1)→0。因此,Rk,n和Rk′,n的關(guān)系可以表述為:

(17)

(18)

用戶(hù)在任一子信道的發(fā)送策略示意圖如圖3所示。

圖3 用戶(hù)上行發(fā)送策略

(19)

2.3 中繼的操作

(20)

dk,n)modΛk,n=ck,nmodΛk,n=ck,n,fork=l,l+1

(21)

(22)

2.4 下行鏈路用戶(hù)解碼

(23)

ck′+1,n,fork′=k,k+1,…,K-1

2.5 所提方案的可達(dá)速率

定理1當(dāng)T→+∞,對(duì)于本文所考慮的多路中繼系統(tǒng)模型。如果下式成立,那么這樣一組可達(dá)速率空間(R1,R2,…,RK)就是可以實(shí)現(xiàn)的:

(24)

(25)

其中,{Pk,n} 滿(mǎn)足以下功率限制:

(26)

(27)

注釋1本文假設(shè)M≥N。文中所提出的方案也可以利用禁用N-M個(gè)天線的方式直接的推廣到M

3 漸進(jìn)近似分析

現(xiàn)在分析在高信噪比情況下所提的方案和理論容量上界的差距。首先考慮K=2的情況(即雙向中繼信道),定義SNR=1/σ2。則有如下的結(jié)論:

定理2對(duì)于MIMO多路中繼信道,當(dāng)K=2時(shí),本文所提的嵌套Lattice編碼方案在高信噪比下可以近似地達(dá)到信道容量上界。

證明:從式(6)和式(25)可以看出本文方案在只考慮下行鏈路時(shí)可以達(dá)到信道容量上界的。因此,只需考慮上行的情況下是否可以達(dá)到信道容量上界。從式(5)可以得到:

(28)

(29)

另一方面,在高信噪比時(shí),本文所提方案的功率近似平均分配的,因此,上行部分式(25)有如下表達(dá)方式:

(30)

因此,可以看出,本文所提出的嵌套Lattice方案在高信噪比下可以達(dá)到信道容量上界。證明完畢。

注釋2至此文截稿日止,只有文獻(xiàn)[3]所提出的GSVD的Nested-lattice編碼方案可以在高信噪比下近似地達(dá)到容量上界。本文提出了另外一種基于Lattice的編碼方案可以達(dá)到容量上界。這2種方案的主要差別在于本文的方案是利用Lattice編碼在用戶(hù)端預(yù)先消除了碼流間干擾,但是文獻(xiàn)[3]是利用GSVD的方法在中繼節(jié)點(diǎn)消除了碼流間干擾。

證明:根據(jù)式(24),在高信噪比下:

(31)

(32)

(33)

其中,式(32)是利用log-det函數(shù)的凹性以及詹森不等式得出的結(jié)果。將式(33)和式(5)對(duì)比即完成定理3的證明。

從定理3可以看出,本文所提出的嵌套Lattice 的編碼方案在高信噪比情況下并不確切逼近容量極限,但是這并不表明本文所提的方案并不是最優(yōu)的。因?yàn)檫@個(gè)差距隨著SNR的增加并不能看出是否在減小。

4 各方案對(duì)比

在這一部分中,本文所提出的方案將被整理成優(yōu)化問(wèn)題,從而得到其最優(yōu)速率,然后將其和傳統(tǒng)的其他方案進(jìn)行對(duì)比。

4.1 可達(dá)速率

本文方案的優(yōu)化問(wèn)題可寫(xiě)成如下形式:

subject to trQR≤PR,QR0

(34)

上述問(wèn)題可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的CVX優(yōu)化工具來(lái)解決。由于篇幅限制,這里忽略?xún)?yōu)化細(xì)節(jié)。

4.2 其他方案

作為對(duì)比,解碼轉(zhuǎn)發(fā)(Decode and Forward,DF)和放大轉(zhuǎn)發(fā)(Amplify and Forward,AF)方案也被列出。在DF中,需要中繼完全解碼從K個(gè)用戶(hù)發(fā)送過(guò)來(lái)的信號(hào)。此時(shí)可達(dá)速率空間就是一個(gè)K用戶(hù)的多址接入信道。DF中下行鏈路和本文所提的方案是一致的,都是廣播過(guò)程,可達(dá)速率限制也和式(23)一致。因此,DF的可達(dá)速率的優(yōu)化問(wèn)題可以如下表達(dá):

subject to trQR≤PR,QR0

trQk≤Pk,Qk0,for?k

(35)

其中,集合SK{1,2,…,K}。

在AF模式中,中繼將接收到的信號(hào)向量乘以一個(gè)放大系數(shù),這個(gè)放大系數(shù)取決于中繼的功率限制。其可達(dá)速率空間表達(dá)式由式(37)給出:

?k′∈SK,S?SKk′

(36)

subject to (36),trQk≤Pk,Qk0,?k,α>0

(37)

上述AF和DF優(yōu)化問(wèn)題同樣可以用標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化工具解決,這里忽略?xún)?yōu)化細(xì)節(jié)。

4.3 仿真結(jié)果

圖4 各種方案性能對(duì)比

從圖4中可以看出,本文的方案在高信噪比下,最優(yōu)功率分配方案和平均功率分配方案基本一致的,這也大大地簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜度。從圖中也可以看出,本文所提的方案和容量上界的斜率是一致的。這就說(shuō)明本文的方案實(shí)現(xiàn)了最大的分集增益。此外,從圖中可以看出本文的方案在信噪比為40 dB的時(shí)候距離容量上界大約是1 bit/channel的差距。這也和定理3相吻合。從圖4可以看出,本文的方案要比DF方案好5 bit/channel,并且這個(gè)差距隨著SNR的增長(zhǎng)還是逐漸增長(zhǎng)的。圖中也表明本文的方案在任何時(shí)候都要比AF的方案表現(xiàn)更好。原因是AF方案中將很大一部分功率浪費(fèi)在了對(duì)噪聲的放大作用上面。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種適用于MIMO多路中繼信道的基于嵌套Lattice的編碼方案,并推導(dǎo)出了這種編碼方案的可達(dá)速率。仿真結(jié)果表明,與傳統(tǒng)的解碼轉(zhuǎn)發(fā)模式和放大轉(zhuǎn)發(fā)模式相比,本文所提的方案有比較大的性能優(yōu)勢(shì),在用戶(hù)數(shù)K=2時(shí),可以達(dá)到信道容量上界。

[1] ZHANG Shengli,LIEW S C,LAM P P.Hot Topic:Physical-layer Network Coding[C]//Proceedings of ACM MobiCom’06.Los Angeles,USA:[s.n.],2006:358-365.

[2] NAM W,CHUNG S,LEE Y H.Capacity of the Gaussian Two-way Relay Cannel to Within 1/2 bit[J].IEEE Transactions on Information Theory,2010,56(11):5488-5494.

[3] YANG H J,CHUN J,PAULRAJ A.Asymptotic Capacity of the Separated MIMO Two-way Relay Channel[J].IEEE Transactions on Information Theory,2011,57(11):7542-7554.

[4] YANG Tao,YUAN Xiaojun,LI Ping,et al.A New Physical Layer Network Coding Scheme with Eigen-direction Alignment Precoding for MIMO Two-way Relaying[J].IEEE Transactions on Communications,2013,61(3):973-986.

[5] YUAN Xiaojun,YANG Tao,COLLINGS I B.Multiple-input Multiple-output Two-way Relaying:A Space-division Approach[J].IEEE Transactions on Informa-tion Theory,2013,59(10):6421-6440.

[6] KHINA A,KOCHMAN Y,EREZ U.Physical-layer MIMO Relaying[C]//Proceedings of ISIT’11.Saint Pertersburg,Russia:[s.n.],2011:2437-2441.

[7] CHAABAN A,SEZGIN A.Multi-way Communi-cations:An Information Theoretic Perspective[J].Foundations and Trends in Communications and Information Theory,2015,12(3/4):185-371.

[8] LEE N,LIM J B,CHUN J.Degrees of Freedom of the MIMO Y Channel:Signal Space Alignment for Network Coding[J].IEEE Transactions on Information Theory,2010,56(7):3332-3342.

[9] LEE K,LEE N,LEE I.Achievable Degrees of Freedom on K-user Y Channels[J].IEEE Transactions on Wireless Communications,2012,11(3):1210-1219.

[10] YUAN Xiaojun.MIMO Multiway Relaying With Clustered Full Data Exchange:Signal Space Alignment and Degrees of Freedom[J].IEEE Transactions on Wireless Communications,2014,13(12):6795-6808.

[11] GNDZ D,YENER A,GOLDSMITH A J,at al.The Multiway Relay Channel[J].IEEE Transactions on Information Theory,2013,59(1):51-63.

[12] CHAABAN A,SEZGIN A.Cyclic Communication and the Inseparability of MIMO Multi-way Relay Channels[J].IEEE Transactions on Information Theory,2015,61(12):6734-6750.

[13] COVER T M,THOMAS J A.Elements of Information Theory[M].New York,USA:Wiley,2006.

[14] LOELIGER H A.Averaging Bounds for Lattices and Linear Codes[J].IEEE Transactions on Information Theory,1997,43(6):1767-1773.

[15] ORDENTLICH O,EREZ U.A Simple Proof for The Existence of “Good” Pairs of Nested Lattices[C]//Proceedings of IEEEI’12.Eilat,Israel:[s.n.],2012:4439-4453.

[16] 何 嬋.基于Lattice編碼的物理層網(wǎng)絡(luò)編碼[D].成都:西南交通大學(xué),2013.