分式方程，想說“愛你”不容易

陳壽來

在中考的計算題中，基本都會出現分式的化簡或解分式方程.這部分的題目難度基本不大，同學們都“喜歡”做這些題，都想在這些題上拿上滿分.但經常事與愿違，不是這丟分，就是那丟分，那真是“步步驚心”，到最后追悔莫及.現就對解分式方程的幾種常見的錯誤進行剖析，望同學們引以為戒.

一、去分母時，常數漏乘公分母

例1 （2017·泰州）解方程：[x+1x-1]+[41-x2]

=1.

【錯解】方程兩邊同乘（x-1）（x+1）得（x+1）2-4=1，

……

【錯因分析】解分式方程需要去分母，根據等式的性質，在方程兩邊同乘（x-1）（x+1）時，應注意每一項都要乘.錯解在去分母時，方程右邊的1忘了乘（x-1）（x+1）.

【正解】方程兩邊同乘（x-1）（x+1），得

（x+1）2-4=（x-1）（x+1），

x2+2x+1-4=x2-1，

2x=2，

x=1.

檢驗：將x=1代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=1是原方程的增根，所以原方程無解.

二、去分母時，分子是多項式的時候漏加括號

例2 （2016·呼倫貝爾）解方程：[3x-1]-[x+3x2-1]=0.

【錯解】方程兩邊同乘（x-1）（x+1）得3（x+1）-x+3=0，

……

【錯因分析】沒有用括號把（x+3）括起來.分數線還起了括號的作用，只不過省略了.當去分母的時候，括號適當的時候要補充回來.

【正解】方程兩邊同乘（x-1）（x+1），得

3（x+1）-（x+3）=0，

3x+3-x-3=0，

2x=0，

x=0.

檢驗：把x=0代入原方程中，方程左邊=方程右邊，所以原方程的解為x=0.

三、去括號的時候漏乘

例3 （2017·常州）解方程：[2x-5x-2]=[3x-3x-2]

-3.

【錯解】方程兩邊同乘（x-2），得

2x-5=3x-3-3（x-2），

2x-5=3x-3-3x-6，

……

【錯因分析】去括號的時候是拿-3乘（x-2）的每一項，不是拿3乘（x-2）的每一項.不要漏乘，關注符號.

【正解】方程兩邊同乘（x-2），得

2x-5=3x-3-3（x-2），

2x-5=3x-3-3x+6，

2x-3x+3x=-3+6+5，

2x=8，

x=4.

檢驗：把x=4代入原方程中，方程左邊=方程右邊，所以原方程的解為x=4.

四、移項的時候沒有變號.

例4 （2017·無錫）解方程：[52x-1]=[3x+2].

【錯解】方程兩邊同乘（2x-1）（x+2），得

5（x+2）=3（2x-1），

5x+10=6x-3，

5x+6x=10-3，

……

【錯因分析】移項的時候6x從等于號右邊移到左邊需要變成-6x，10從等于號左邊移到右邊需要變成-10.移項要改變移動的項的符號.

【正解】方程兩邊同乘（2x-1）（x+2），得

5（x+2）=3（2x-1），

5x+10=6x-3，

5x-6x=-10-3，

-x=-13，

x=13.

檢驗：把x=13代入原方程中，方程左邊=右邊，所以原方程的解是x=13.

五、系數化為1時分子分母顛倒

例5 （2015·陜西）解分式方程：[x-2x+3]-[3x-3]=1.

【錯解】方程兩邊同乘（x+3）（x-3），得

（x-2）（x-3）-3（x+3）=（x+3）（x-3），

x2-5x+6-3x-9=x2-9，

-8x=-6，

x=[43]，

……

【錯因分析】系數化為1時方程兩邊應同乘[-18]，-6×（[-18]）=[34].應用的是等式的性質，從源頭找起就不容易出錯.

【正解】方程兩邊同乘（x+3）（x-3），得

（x-2）（x-3）-3（x+3）=（x+3）（x-3），

x2-5x+6-3x-9=x2-9，

-8x=-6，

x=[34].

檢驗：把x=[34]代入原方程中，方程左邊=右邊，所以原方程的解是x=[34].

六、分式方程未檢驗

例6 （2017·眉山）解方程：[1x-2]+2=[1-x2-x].

【錯解】方程兩邊同乘（x-2），得

1+2（x-2）=-（1-x），

1+2x-4=x-1，

x=2.

【錯因分析】解出的結果x=2未檢驗.x=2只是整式方程1+2（x-2）=-（1-x）的解，想要知道是否是原方程的解，還需檢驗.其實檢驗很重要，不光要檢測是否是增根，而且有時還能檢測出你的計算錯誤.

【正解】方程兩邊同乘（x-2），得

1+2（x-2）=-（1-x），

1+2x-4=x-1，

x=2.

檢驗：把x=2代入方程中，分母x-2=0，所以x=2是原方程的增根，原方程無解.

如果同學們關注到上面幾點，并在解題時認真細心，我相信你會“愛上”分式方程的.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）endprint