“數與式”的考點分析

“數與式”是初中數學的重要內容之一，在中考時，有時單獨成題，有時滲透在綜合題之中.

一、代數運算法則的簡單運用

例1 （2017·西寧）下列計算正確的是（ ）.

A.3m-m=2 B.m4÷m3=m

C.（-m2）3=m6 D.-（m-n）=m+n

【分析】本題涉及的考點主要有：同底數冪的除法；整式的加減；冪的乘方與積的乘方.因為3m-m=2m，故A選項錯誤；m4÷m3=m，故B選項正確；（-m2）3=-m6，故C選項錯誤；-（m-n）=-m+n，故D選項錯誤.

【答案】B.

【方法指導】這類問題的解決主要在于對初中代數的運算法則的正確使用，其關鍵是把握算理，有序運算.

例2 （2017·通遼）若關于x的二次三項式x2-ax+[14]是完全平方式，則a的值是 .

【分析】這里首末兩項是x和[12]這兩個數的平方，那么中間一項為加上或減去x和[12]積的2倍，故-a=±1，求解得a=±1.

【答案】±1.

【方法指導】完全平方公式有兩個，一是a2+2ab+b2，二是a2-2ab+b2，它們在代數中又可以統一成一個形式.

二、多項式的因式分解

例3 （2017·郴州）把多項式3x2-12因式分解的結果是 .

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式進行分解即可.即3x2-12=3（x2-4）=3（x-2）（x+2）.

【答案】3（x-2）（x+2）.

【方法指導】因式分解就是“和差化積”的過程，它有固定的操作方法.在初中階段，首先是提取公因式（如沒有公因式，就不必進行此操作），然后再運用公式法進行分解.所要注意的是因式分解一定要分解到不能繼續分解為止.

三、化簡求值

例4 （2017·宿遷）若a-b=2，則代數式5+2a-2b的值是 .

【分析】根據已知式的結構特征，用“整體代入”的方法求值較為適合.

【答案】原式=5+2（a-b）=5+2×2=9.

【方法指導】求代數式的值一般有三種方法.（1）如果代數式中字母的取值全部知道，可將字母的取值直接代入即可.（2）對代數式進行整體或部分因式分解，然后用整體的思想代入.（3）對于填空與選擇題也可用取特殊值的方法來求.本題也可用其他兩種方法來求值.

例5 （2017·遵義）化簡分式：（[x2-2xx2-4x+4]

-[3x-2]）÷[x-3x2-4]，從1，2，3，4這四個數中取一個合適的數作為x的值代入求值.

【分析】利用分式的運算，先對分式化簡，再選擇使分式有意義的數代入求值即可.

【答案】（[x2-2xx2-4x+4]-[3x-2]）÷[x-3x2-4]

=[xx-2x-22-3x-2]÷[x-3x2-4]

=[xx-2-3x-2]÷[x-3x2-4]

=[x-3x-2]×[x+2x-2x-3]

=x+2.

∵x2-4≠0，x-3≠0，x-2≠0，

∴x≠2且x≠-2且x≠3，

∴可取x=1代入，原式=3.

【方法指導】解決本題的關鍵，一是要對分式進行正確化簡；二是求值要計算正確；三是選擇的字母取值，一定要使原始分式有意義.特別要注意的是作為除數的那個分式的分子、分母都不能為0.

三、代數式的簡單應用

例6 （2017·郴州）已知a1=[-32]，a2=[55]，a3=[-710]，a4=[917]，a5=[-1126]，則a8= .

【分析】由題意給出的5個數可知：an=

（-1）n[2n+1n2+1]，所以當n=8時，a8=[1765].

【答案】[1765].

【方法指導】用代數式表示研究對象的規律，首先要觀察、分析、推斷出其變化規律，然后用恰當的字母表示.

例7 （2017·咸寧）由于受H7N9禽流感的影響，我市某城區今年2月份雞的價格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份雞的價格為24元/千克，設3月份雞的價格為m元/千克，則（ ）.

A.m=24（1-a%-b%）

B.m=24（1-a%）b%

C.m=24-a%-b%

D.m=24（1-a%）（1-b%）

【分析】今年2月份雞的價格比1月份下降a%，1月份雞的價格為24元/千克，可得2月份雞的價格為24（1-a%），再由3月份比2月份下降b%，即可得3月份雞的價格為24（1-a%）（1-b%）.

【答案】D.

【方法指導】列代數式的關鍵是厘清題目中的數量關系，并按照用字母表示數的規范要求表示出來.

例8 （2017·孝感）如圖所示，圖1是一個邊長為a的正方形剪去一個邊長為1的小正方形，圖2是一個邊長為（a-1）正方形，記圖1、圖2中陰影部分的面積分別為S1、S2，則[S1S2]可化簡為 .

【分析】這是一道以平方差公式為幾何背景的問題，只要根據題意列出分式，并對所列分式進行化簡即可.

【答案】[S1S2]=[a2-1a-12]=[a+1a-1].

【方法指導】對待這樣的問題，只要將問題數學化，得到分式模型即可，余下的事情，就是將分式化簡.

（作者單位：江蘇省南京寧海中學分校）