方程與不等式的“雙劍合璧”

初中階段，我們學習的數學分為代數、幾何和概率統計這三大部分.其中代數又分為數、式、方程、不等式和函數這五個部分.那么，這五個部分之間又是什么關系呢？是不是彼此獨立，互不相干呢？下面我們就來談談方程和不等式之間的關系.

我們先從它們的定義入手：方程是含有未知數的等式，而等式是用等號連接的式子；那自然，不等式就是用不等號連接的式子.

根據定義，我們覺得方程和不等式簡直是水火不相容：你是等式，我是不等式，我是對你的否定.這是典型的“對著干”啊！

我們看一個例題，或許能改變一些看法.

例1 解方程和不等式：

（1）[x+93]=[x+22]+1；

（2）[x+93]>[x+22]+1.

分別解兩個式子，然后觀察解答過程和所得結果，你一定會恍然大悟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，這些步驟完全一致.最后結果的數值是6，也完全一樣！不同的是，系數化為1時不等式需要考慮不等號的方向，而解方程不用；最后結果x=6和x<6也只是連接的符號不同罷了.

看來，方程和不等式是有關系的！

仔細觀察“=”和“<”，我們能夠直觀地發現，原來不等號就是等號的向一邊傾斜的變形；我們再從數軸這個角度來看x=6和x<6的關系：

原來方程只是不等式的“邊界”啊！換言之，不等式是“方程+方向”的組合體.

當方程與不等式“雙劍合璧”時，它們產生的威力就不可小覷.

一、解一元二次不等式

相信我們都能熟練解決一元一次不等式，但是一元二次不等式能不能玩得轉呢？

例2 解不等式：x2≥9.

【分析】解不等式的時候，可以將不等式看成是方程，解得方程的解，也就是得到了不等式的“邊界”，然后再根據題意，選取不同的區間就可以了.

本題解方程x2=9可得x1=3，x2=-3，再將數軸上以-3和3表示的點為“邊界”，可得x≤-3、

-3

二、求取值范圍問題

近幾年中考，我們經常遇到求參數取值范圍的問題.解答這些題型時，如果能夠將不等式問題轉化為方程問題，往往會有出奇制勝的效果.

例3 如圖1，拋物線y=ax2與四條直線x=1、x=2、y=1、y=2圍成的正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是 .

【分析】本題的題型是求參數的取值范圍，即答案是關于a的不等式.考慮到不等式的“邊界”是方程，因此只需要考查兩個極端情形：拋物線的開口變大時，有公共點和沒有公共點的“邊界”是點B（2，1）；當拋物線的開口變小時，有公共點和沒有公共點的“邊界”是點D（1，2）.分別代入拋物線的解析式可得a1=[14]，a2=2，考慮到題目只關注有公共點，因此本題的答案是[14]≤a≤2.

例4 直線y=x+1與y=-2x+a的交點在第二象限，則a的取值范圍是 .

【分析】結合函數圖像可以發現，直線y=x+1為定直線，而y=-2x+a為平行直線束，設直線y=x+1分別交兩坐標軸于點A（-1，0）、B（0，1），則交點在第二象限的“邊界”為直線y=-2x+a經過點A、B，將兩個坐標分別代入得：a1=-2，a2=1，最后根據函數的圖像判斷不等號的方向，最終得到答案為-2

本題若運用常規解法則較為煩瑣：先解含參方程組，用a的代數式表示交點，然后再根據點在第二象限列出不等式組，最后解不等式組.因此，巧用方程和不等式的關系可以簡化解題過程.

例5 如圖2，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D（3，0）和點E（0，4），動點C從點M（5，0）出發，以1個單位長度每秒的速度沿x軸向左做勻速運動，以點C為圓心、[12t]個單位長度為半徑作⊙C，設運動時間為t秒.當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍.

【分析】在⊙C的運動過程中，與射線DE的公共點個數分別是0個、1個、2個、1個、0個，因此，若要求t的取值范圍，只要解決圓剛剛接觸到射線的“邊界”位置和圓即將脫離射線的另一個“邊界”（如圖3中⊙C1、⊙C2）即可，分別解得t1=[43]，t2=[163]，因此，本題的答案是：[43]≤t≤[163].

三、分類討論問題

分類討論問題綜合性強，難度較大，在歷年中考試題中多以壓軸題出現，對考生的能力要求較高，具有較強的選拔性.在分類討論問題的各個難點中，最關鍵的是如何分類，確保不遺漏、不重復.

利用方程和不等式的關系，借助數軸可以很好地解決這一難點.

例6 化簡：[x+2]+[x-4].

【分析】化簡含絕對值的式子，需要去掉絕對值，因此對絕對值內代數式的符號需要進行討論.但是討論x+2>0、x+2<0、x-4>0、x-4<0等情況較復雜，可以觀察不等式的“邊界”，即方程x+2=0、x-4=0的值，得x=-2和x=4，在數軸上以表示-2和4的點為“邊界”，“截斷”數軸為三段：

即可得分類討論的三個范圍：x≤-2，-24.

我們從方程和不等式的關系入手，發現橫向打通知識之后可以帶來解題的新思路、新方法.如果按這個思路，將方程、不等式、函數進行橫向打通，又會有什么美妙的結論和方法呢？

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪第一中學）