粒子群優化改進小波閾值函數的去噪研究

黃名鈿+高偉

摘要：小波閾值去噪在信號處理領域應用非常廣泛。針對傳統軟、硬閾值函數算法存在的缺陷，許多學者提出了介于軟、硬閾值之間改進型閾值函數算法。但這些閾值函數在整個小波空間域內高階不可導，存在臨界閾值處不能平滑過渡的現象。因此提出一個帶參數的閾值函數，可以實現臨界閾值處的平滑過渡。同時，采用粒子群優化算法，針對信號含噪情況，自動優化閾值函數參數，實現去噪過程的自動尋優。采用基準信號仿真結果表明，提出的算法可以獲得更小的均方誤差和更高的信噪比，達到了去噪實用化的效果。

關鍵詞：小波變換；粒子群優化；算法；閾值函數

O 引言

相關法、模極大值法和閾值法是小波去噪的三種常見方法，其中，閾值法最實用，已廣泛應用于信號去噪中。閾值法有硬閾值和軟閾值兩種基本的去噪算法，但是這兩種基本方法各有一定缺陷：一是硬閾值函數整體不連續，容易造成經小波去噪后的信號不平滑；二是軟閾值函數整體上雖然連續，但是小波估計系數與含噪聲信號的小波系數之間總是存在著恒定的偏差，這直接影響重構信號和原始信號的逼近程度。

針對軟、硬閾值法存在的缺點，學者提Jq』了許多改進的閾值函數算法，這些算法介于軟、硬閾值之間，通過改變閾值函數的參數可以有效避免傳統閾值函數的缺陷，在整個小波空間域內，閾值函數雖然連續，但高階不可導，在臨界閾值九處曲線連續但不是平滑過渡。這種缺陷就可能導致在閾值去噪處理時會出現細節系數的過扼殺和信號振蕩現象。

同時，對于改進的帶參數的閾值函數算法，針對變化的實際信號，為了實現最佳的去噪效果，需要手動調節參數來處理新的含噪信號，限制了去噪算法對處理信號的適應性。針對這些問題，本文提出一個改進的閾值函數算法，可以解決閾值函數在臨界閾值λ處不平滑過渡的問題，同時引用粒子群優化算法，實現閾值函數參數的自動尋優，讓去噪算法自動適應處理信號的變化。

1 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪的過程分為對含噪信號進行小波分解，高頻系數的閾值量化處理和用小波逆變換實現信號重構三個步驟。其基本原理如圖1所示：。

含噪信號經小波分解后，通常信號的系數要大于噪聲的系數，選擇一個合適的數九作為臨界閾值，將小于該閾值的分解系數認為是由噪聲引起的，予以舍棄；而大于該閾值的分解系數認為主要是由信號引起的，加以保留，這就是閾值去噪。在閾值去噪中，傳統的硬閾值函數去噪之后存在著偽吉布斯（ Pseudo-Gibbs）現象，軟閾值去噪則會造成恒定偏差問題，而其它的改進閾值函數算法存在著不平滑過渡等問題。為此，本文將對原有的閾值函數進行改進，以避免以上存在的問題。

2 新閾值函數的構造

針對硬閾值的不連續性、軟閾值造成的恒定偏差、其他改進閾值函數的不平滑過渡現象，本文提出一種新的閾值函數：

新閾值函數：

其中k和cc為調節因子，且k和Cc為正數。

新閾值函數在小波域內和軟閾值函數有著相同的連續性，克服了硬閾值函數在閾值處的不連續性，同時也避免了因不連續而導致的偽吉布斯（ Pseudo-Gibbs）現象；隨著小波系數的增加，新閾值函數漸漸接近硬閾值函數曲線，這克服了軟閾值函數中ω_j，k與ω_j，k之間總是存在著恒定的偏差的缺點；在/ω_j，k/>λ和/ω_j，k/<λ 范圍內，新閾值函數高階可導，這種特性可以消除振蕩現象，使重構信號顯得平滑。

當k→∞時，新閾值函數就為閾值函數：

在此條件下，當α→O時，新閾值函數為軟閾值函數，當a→∞時，新閾值函數為硬閾值函數；因此通過改變α值，新閾值函數可以在硬軟閾值之間靈活變化。新閾值函數在硬軟閾值之間，其參數k必須大于等于1，參數k決定了小波閾值的逼近程度，調節k使新閾值函數在閾值處理時能夠保留一部分有用信號的高頻部分，較好地抑制細節系數的過扼殺和信號振蕩現象。

靈活調節k、α，新閾值函數曲線在硬、軟閾值之間變化，如圖2所示。對于不同的含噪信號，新閾值函數可以通過調節參數k、α，實現最佳的去噪效果。

3 粒子群優化算法

采用帶參數閾值函數去噪過程中，針對具體含噪信號，可以靈活調節閾值函數的k和cc參數，滿足不同信號處理的去噪要求。然而，在實際應用中，待處理信號的含噪情況是不可預測或不可知的。對于這種隨機變化的含噪信號進行去噪，閾值函數的參數k、α應該也不可能是固定值。因此對于隨機含噪信號的閾值處理，選擇適用的優化算法來對閾值函數的參數k、α進行優化，以期能夠適應信號的變化是去噪走向實用化的關鍵。

閾值函數有兩個參數k、α，函數優化時參數較少，同時對于變化信號的處理則需較短時間內完成優化目標，因此，需要收斂速度相對高的優化算法。對比模擬退火算法、遺傳算法、神經網絡算法、蟻群算法等優化算法，選取收斂速度快、精度高及易實現且無需過多參數調整的粒子群優化算法。

3.1 PSO算法

粒子群優化算法實現簡單有效，收斂速度快，算法中每個粒子代表一個待優化問題的可能解，并且分別由速度向量和位置向量來表征粒子當前的飛行速度和所在的位置。在每次迭代過程中，粒子通過個體極值和全局極值更新自身的速度和位置，即：

苴中為慣性權重，cl和c2的加速度系數，t是當前迭代次數，d是當前D維解空間，和訂和r2是兩個隨機常數

3.2 適應度函數

利用重構信號的質量評價去噪算法的性能，采用PSO最小化原始信號和重構信號之間的均方誤差。因此，對于改進的參數小波閾值去噪算法的適應度函數即為：

其中，f（i）是原始信號，f_m（i）是去噪后的信號，N是信號長度。

從式子（4）可以看出 ，適應度函數是由原始信號和去噪后的信號組成的，其中，去噪后的信號是由小波閾值系數進行重構的。根據式子（1），我們可以獲得由閾值九和改變形狀參數k、α 組成的新閾值函數。一旦閾值x和k、α 確定，閾值方案可以固定。根據閾值函數，可以獲得閾值的小波系數，去噪后的重構信號可以確定。因此由x和k、α 組成的矢量可以看作該PSO算法的粒子位置。通過最大限度的減小適應度函數值獲得相對應的適應度值。endprint

4 利用PSO算法進行小波閾值信號去噪

以下是基于粒子群優化算法的改進小波閾值函數的信號去噪步驟。

步驟1：根據相應參數設置，初始化PSO的搜索空間和位置。本文采用以下例子進行說明：小波變換中，例如在db系列（db3～db6）中選取小波，分解層數設為n（ 1～10）。根據信號和噪聲的特性采用分層閾值法，不同分解層數應設置不同閾值。粒子位置由閾值和形狀調整參數組成。算法選取小波基函數和分解層數，粒子位置是進行（n+2）維空間的初始化，即（λ₁，λ₂，λ₃…λ，α，k）。閾值（λ₁，λ₂，λ₃…λ，α，k）初始化為1～160，α和k初始化為0～100。一般群體大小應為搜索維數的兩倍或兩倍以上，因此由本文中的問題，考慮群體大小為20。

步驟2：根據式（4）計算每個粒子的適應度值F。第i個粒子的適應度值表示為Fid；

步驟3：使用（2）和（3）更新粒子的速度和位置；這兩個方程的不同常數和變量應該初始化為如下：

（1）常數rl，r2獨立地均勻分布在[0，1]的范圍內。

（2）慣性權重ω，調整權重系數的大小，可以使粒子群跳出局部極小值，ω取值在0.1至0.9之間。

（3）X tid和Vtid分別是第i個粒子的第d維位置和速度；其中Xtid如步驟l中所述被隨機初始化，并且Vtid在搜索空間中被隨機初始化。

（4） Fib和Fgb分別是第i個粒子的個體最佳適應度值和全局最佳適應度值。如步驟2中所討論的初始化值Fib，Fib的最佳值被當作全局最佳初始化值Fgb。

步驟4：限制更新的速度和位置。如果在（-Vmax，+Vmax）范圍外發現新速度，則將其限制為邊界值。同樣的，對于位置的更新，使用相同的方法來處理新位置。

步驟5：計算新位置的適應度Fid。如果當前Fid優于先前的Fib，則Fib由當前Fid替代；否則，保留以前的Fib。如果當前Fib比先前的Fgb更好，則Fgb由當前Fib替代；否則，保留先前的Fgb。類似地，個體最佳位置Pid和全局最佳位置Pgd被相應地更新。

步驟6：重復上述步驟3-5，直到達到終止條件或最大迭代次數。

圖3給出了基于PSO優化帶參數小波閾值函數去噪方法的流程圖。在該圖中，對于待處理的噪聲信號進行小波變換（ SWT）分解，得到小波分解系數SWA和SWD，SWA和SWD分別表示通過小波變換（SWT）獲得的小波近似系數和細節系數。其次，對于細節系數（ SWD）進行粒子群優化。先設置粒子群算法的初始值，粒子個數、常數、慣性權重、最大速度等，在滿足控制變量約束條件下，隨機賦予種群中每個粒子的初始位置和初始速度。根據適應度函數計算并評價每個粒子的適應度值，設定粒子的初始局部最優值和全局最優值。通過比較粒子的當前的最優值和歷史的最優值，更新粒子的局部最優值和全局最優值。根據式子（2）和式子（3）更新粒子的速度和位置，如果粒子的速度大于Vmax，則取Vmax。如果滿足迭代終止條件。由對應于最佳的適應度值的結果參數，對對應的小波系數進行閾值化處理，利用閾值化后小波細節系數和小波近似系數進行小波重構，得到去噪后的信號。

5 數據仿真與結果

可以采用多個指標來評估閾值去噪方案相對于重構信號質量的性能。本文采用的指標是信噪比和均方誤差兩個。信噪比（ SNR）如（5）所示：

其中f（i）是原始信號，f'（i）是去噪后的信號，信噪比SNR提高越大，表示信號去噪效果越好。

5.1 仿真設置

以下對兩種不同噪聲振幅的基準信號進行仿真去噪，實驗結果對比去噪的效果，來驗證整體自動尋優的基于粒子群優化帶參數小波閾值函數的去噪效果優于新閾值函數的去噪效果。這兩種基準信號分別是從眾所周知的Bumps和Doppler信號，含噪信號的信噪比設置為10分貝（ dB）。仿真平臺采用基于Windows7系統的MATLAB R2013a軟件。原始信號的總樣本為2048，最大迭代次數設置為50。

5.2 仿真結果與分析

分別對Bumps和Doppler信號進行仿真，運行算法，生成含噪信號去噪前后的效果圖，同時在workspace查看變量數據，顯示含噪信號去噪前后的信噪比和均方誤差值，對比實驗結果數據，并進行結果分析。實驗仿真結果顯其去噪后的效果圖4和圖5、數據表格表l和表2。

由圖4和圖5可以看出，基于pso優化的帶參數小波閾值函數法對含噪信號去噪獲得的曲線更接近于原始信號，重構的信號更好地反映原始信號的細節信息。因此，所提出的基于pso優化的帶參數小波閾值函數法去噪效果更好。

根據均方誤差（ MSE）和信噪比（SNR）作為評估信號去噪效果的標準，MSE值越小和SNR提高越大表明信號去噪效果越好。

從表l和表2中的數據可以看出，基于pso優化的帶參數小波閾值函數法對含噪的Doppler和Bumps信號進行去噪后，其得到的MSE參數值比新閾值函數法得到的值小，并且，其得到的SNR參數值比新閾值函數法得到的值大，這些數據清楚地表明，所提出的基于pso優化的帶參數小波閾值函數法去噪效果比新閾值函數法更好，基于pso優化的帶參數小波閾值函數法是一種有效的濾波器。

6 結論

本文中，提出一種采用基于pso優化的帶參數小波閾值函數的信號去噪方法。通過仿真實驗，得出以下結論：帶參數的新閾值函數能夠克服小波閾值函數去噪方法存在的缺陷，調節參數使之兼具硬、軟閾值函數優點，并在臨界閾值內添加平滑過渡區，可在閾值處理時保留一部分有用的高頻信號，較好地抑制細節系數的過扼殺和信號振蕩現象。針對隨機含噪的信號，采用基于pso優化的帶參數小波閾值函數法，可以實現閾值函數參數的自動尋優，確定最佳的小波基函數和分解層數，獲得最佳的去噪效果，達到去噪算法自動適應處理信號的變化之目的。endprint