基于區間攝動法的不確定結構高頻動響應預示

宋海洋，張文正，張豐收，呂 稀，馮志鵬

（中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術重點實驗室，成都 610213）

新型工程產品和項目在研制初期一般都需要獲得相應的聲振環境預示數據，在低頻段可以采用傳統的有限元法或邊界元法，但在高頻段由于模態十分密集，重疊率高使得傳統的有限元法應用起來十分困難。20世紀60年代發展起來的統計能量分析方法可以克服傳統模態分析方法所遇到的這些困難，為解決復雜系統的高頻振動及噪聲問題提供了有力工具。

利用統計能量分析方法對工程結構的高頻振動和噪聲進行預示時，內損耗因子和耦合損耗因子等參數的測量精度對響應預示結果的精確性有著很大的影響。目前大部分都采用實驗測量的方法來獲得結構的內損耗因子和耦合損耗因子[1–3]，但是根據前人所做的大量實驗和所獲得的工程經驗可知，對于大部分工程結構來說，內損耗因子和耦合損耗因子一般都是10-2～10-4量級的小數，在實際工作中想要對這些小數進行精確運算和測量是比較困難的[4–5]，最終的測量數據通常存在誤差，而參數測量誤差的積累會導致預示出的高頻響應和響應的真實值之間存在偏差，目前尚未有相關文獻報道關于參數的測量誤差對預示結果影響的研究。

本文在考慮參數以及外載荷測量誤差的前提下，結合區間攝動方法推導出了統計能量分析子系統的模態能量區間，利用模態能量區間可進一步獲得不同頻率點處的總能量區間。總能量區間的均值代表不考慮參數和外載荷測量誤差時預示的動響應，而總能量區間上下界則反映了參數以及外載荷的測量誤差對響應預示結果的影響程度。

1 區間的定義和運算

在區間分析中，不確定性變量可以用一個封閉的和有限的區間來表示。一個區間變量xI可以由它的區間下限xl和區間上限xu來定義，具體的表達形式可以寫為[6]

本文使用上標“l”代表區間變量的下限，使用上標“u”代表區間變量的上限，同時使用上標“c”代表區間變量的均值，區間xI的均值定義為

區間xI的離差定義為

兩個區間變量xI和yI之間的運算規則如下[7]

2 統計能量分析功率流平衡方程

2.1 子系統間功率流

在統計能量分析理論中，子系統所儲存的能量通過兩種方式流出，一是子系統本身的能量耗散，能量被轉化成熱能等其它形式，二是能量從一個子系統傳遞到了另一個子系統。第i個統計能量分析子系統的損耗功率pid可用下式進行計算

其中f代表分析帶寬Δf內的中心頻率，Ei代表子系統i在頻率點f處的總能量，ηi是子系統i的內損耗因子，它表示子系統i自身耗散能量的能力大小。

子系統i到子系統j的功率流為

其中ηij和ηji是子系統間的耦合損耗因子，它們代表能量在子系統i和子系統j之間的傳遞效率。

統計能量分析中的耦合損耗因子和模態密度存在一個互易關系

其中di表示子系統i的模態密度。

2.2 功率流平衡方程

假設一個統計能量分析系統被劃分為k個相互耦合的子系統，如圖1所示

圖1 k個相互耦合的統計能量分析子系統

由式(5)和式(6)可得子系統i的功率流平衡方程

其中pi代表子系統i的外部激勵源對子系統i的輸入功率。為子系統i的能量Ei的變化率。本文研究的是穩態振動情況所以即子系統能量不隨時間而變化。

利用式(7)給出的互易原理，將所有子系統的功率流平衡方程寫成矩陣形式如下

其中N是一個包含模態密度di(i=1,2,…,k) 、內損耗因子ηi(i=1,2,…,k)和耦合損耗因子ηij(i,j=1,2,…,k)的k×k階系統矩陣，f是分析帶寬Δf內的中心頻率，為計算方便令Pi=pi/πp f，ei(i=1,2,…,k)稱為模態能量指的是在分析帶寬內每階模態所具有的能量。統計能量分析功率平衡方程是在分析帶寬內各階模態所具有的能量相等的假設下建立的，子系統i在各頻率點處總能量Ei和模態能量關系為

3 基于區間攝動法的穩態響應區間計算

3.1 子系統模態能量攝動分析

利用式(9)，子系統的模態能量向量可以通過系統矩陣N的逆陣和功率向量P的乘積來獲得

根據攝動理論，當系統矩陣N存在一個攝動量ΔN，功率向量P存在一個攝動量ΔP時，攝動法的平衡方程可以表示為

e+Δe能被進一步寫為

當矩陣范數 ‖N-1+ΔN‖小于1時，可以利用紐曼級數將(N+ΔN)-1展開如下

將式(14)代入到式(13)中得到

忽略式(15)的高階微量，可以得到模態能量向量的攝動量為

3.2 帶有測量誤差參數的區間表示

用實驗測量的方式來獲取結構的內損耗因子、耦合損耗因子和輸入功率時，測量結果通常存在一定量的誤差，下面采用式(1)的區間形式來表示帶有測量誤差的參數和輸入功率

內損耗因子、耦合損耗因子和輸入功率的測量值是式(17)的區間均值即，假設測量誤差不超過±s%，則式(17)可以進一步寫成

相比于內損耗因子和耦合損耗因子的測量精確性，模態密度的測量結果相對精確很多。再者任何區間分析方法都存在區間擴張問題，即過多的區間相乘或相除運算會導致最終的計算結果不精確。綜合以上兩方面原因，將子系統的模態密度處理成常數而不是區間變量。

3.3 子系統模態能量區間

本節將帶有測量誤差的內損耗因子、耦合損耗因子和輸入功率(即式(17))代入到統計能量分析的功率流平衡方程，最終可以得到子系統模態能量區間，區間均值是不考慮參數和輸入功率誤差時預示的模態能量，而模態能量區間的上下限反映了參數和輸入功率的測量誤差對預示結果的影響程度和大小。將式(17)代入到式(9)中得區間形式的功率平衡方程為

這里NI稱作區間系統矩陣，它是一個包含模態密 度di(i=1,2,…,k)，內損耗因子區間和耦合損耗因子區間的矩陣，是子系統i的模態能量區間。

用區間均值和不確定區間來表示式(19)中的區間系統矩陣和區間輸入功率向量

將式(20)和式(21)代入到式(19)中得到

ΔNI可以看作是圍繞Nc的一個攝動，而ΔPI可以看作是圍繞Pc的一個攝動，這樣就可以將式(26)看作是一個攝動形式的方程即

將式(30)代入到式(26)中得到

根據式(31)可以獲得子系統模態能量的區間向量為

基于式(19)的區間功率流平衡方程，式(32)中的Nc和ΔNI可以表示為

假設Nc的逆矩陣為

將式(34)和式(35)代入到式(32)中得

將式(36)和式(37)相加，最終可以得到任意一個子系統t(t=1,2,…,k)模態能量區間的上界和下界的計算公式

4 實驗驗證

圖2是兩塊垂直相連的復合板結構，本節引用文獻[8]針對圖2典型板結構的振動實驗結果，并將該振動實驗結果與利用區間方法預示得到的響應結果進行對比。

圖2 實驗現場圖[8]

右側板1的長度為400 mm，寬度為500 mm，左側板2的長度為600 mm，寬度為500 mm，復合板整體厚度為1.2 mm。兩塊復合板被劃分為兩個統計能量分析子系統，板1為子系統1，板2為子系統2。兩個板分別布置了10和15個加速度傳感器，每個板布置5個激振點。依次對各個激振點激勵并測量激振力和激振點的加速度響應，對于穩態實驗數據，由阻抗頭測量的加速度信號的互譜密度函數計算穩態輸入功率，由各板加速度信號的自譜密度函數的平均計算子系統的總能量，然后將子系統總能量和輸入功率的比值作為歸一化的總能量。

表1 兩塊板的內損耗因子和耦合損耗因子

假設表1中數據的測量誤差不超過±8%，那么根據式(17)和式(18)的定義，可以將所有帶有測量誤差的參數都寫成區間形式，其中區間的均值就是實際的參數測量值。

表2 用區間形式表示帶有測量誤差(不超過±8%)的參數

當統計能量分析的參數區間確定以后，需要驗證一下是否滿足式(30)的收斂條件，即矩陣范數小于1。

當分析帶寬的中心頻率為640 Hz時，可得

經計算可得兩板的總能量區間如圖3和圖4所示。

圖3和圖4給出了由三種方式得到的板振動總能量：

(1)在考慮所有內損耗因子測量誤差、耦合損耗因子測量誤差以及外載荷測量誤差的情況下，由本文提出的區間方法從理論上預示出的板總能量區間值；

(2)在不考慮任何內損耗因子測量誤差、耦合損耗因子測量誤差以及外載荷測量誤差的情況下，由非區間的傳統方法從理論上預示出的板總能量確定值(即區間均值)；

圖3 板1在各頻率點上的總能量區間

圖4 板2在各頻率點上的總能量區間

(3)由實驗測量得到的板總能量。

圖3和圖4中的橫坐標選取的是統計能量分析理論1/3倍頻程的幾個中心頻率點，在統計能量分析理論中用中心頻率點處的能量來代表分析帶寬內能量的一個平均值，比如中心頻率640 Hz的下限和上限頻率分別是596 Hz和716 Hz，那么在統計能量分析中以640 Hz點處的能量代表從596 Hz到716 Hz帶寬內的一個平均能量。由圖3和圖4可見板結構的總能量區間包含著總能量的真實值(即實驗測量值)。

為了更具體地衡量參數和外載荷的測量誤差對穩態響應預示結果的影響程度，定義

基于圖3和圖4給出的考慮參數和載荷測量誤差時預示得到的板總能量區間上下限以及不考慮任何參數和載荷測量誤差時預示得到的板總能量的確定值(即區間均值)，現給出由參數和外載荷的測量誤差所導致的穩態響應的誤差值如表3。

表3 由參數和載荷的±8%測量誤差所導致的穩態響應誤差

5 結語

對于復雜的工程結構在應用穩態統計能量分析方法預示高頻段動響應時，往往并沒有考慮到參數和外載荷的測量誤差，導致最終的動響應預示結果不夠精確，給后續的結構設計帶來不準確的信息，所設計出來的結構也會存在一定的安全隱患，在實際惡劣的聲振環境下破壞或者失效，因此在進行動響應預示時有必要考慮到參數以及外載荷的測量誤差對預示結果的影響。本文考慮到穩態統計能量分析模型中損耗因子和外載荷的不確定性，將帶有測量誤差的內損耗因子和耦合損耗因子等參數以區間變量形式表示。通過求解統計能量分析區間功率流平衡方程獲得了每個子系統的總能量區間，通過這個總能量區間可以得到參數和外載荷的測量誤差對預示響應的影響程度和大小，為后續的結構安全和可靠性設計提供參考。

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