懸掛系統易損件跌落破損評價

李 輝，陳安軍,2

(1.江南大學 包裝工程系，江蘇 無錫 214122；2.國家輕工業包裝制品質量監督檢測中心，江蘇 無錫 214122)

Mindlin首次提出產品易損度概念，奠定了包裝動力學的基礎，但產品的易損度難以準確地確定[1]。在產品防護中，為更好地描述產品的損傷規律，Newton提出單自由度線性系統的破損邊界理論[2]，Schell、Goff和 Pierce 嘗試使用后鋒鋸齒加速度脈沖和半正弦脈沖測定產品破損邊界[3–4]。Burgess發現產品受到的損害可以累加，提出疲勞破損邊界概念[5–6]，為將破損理論進一步運用到實際工程，王振林提出位移易損度概念，建立位移破損邊界曲線[7–8]。實際緩沖材料多為非線性，王志偉使用統一的方法研究線性和非線性系統在典型脈沖激勵下的沖擊響應譜和破損邊界曲線[9–10]。由于跌落沖擊是產品破損的主要原因之一，王志偉提出跌落破損邊界概念，研究了線性和典型非線性系統的跌落破損邊界曲線[11]。考慮到產品破損最先出現在易損件，文獻[12–15]將包裝系統的跌落破損邊界擴展到考慮易損件的兩自由度非線性系統，豐富了產品跌落破損邊界理論。

緩沖包裝研究中，人們注意到懸掛系統的幾何非線性表現出良好的緩沖性能，徐筱分析了彈簧吊裝系統跌落沖擊響應特性[16]，吳曉研究了懸掛彈簧非線性減振系統的自振特性及基礎位移激勵下系統固有振動特性[17–18]，王蕾等研究了懸掛系統在典型脈沖激勵下的沖擊特性和破損評價[19–23]，在跌落工況下，宋爽等應用變分迭代法獲得系統一階近似解，探討系統參數對跌落破損影響[24–27]；以上研究模型均未考慮易損件，因而懸掛系統的跌落破損評價需在考慮易損件的基礎上進一步研究。

本文基于單自由度懸掛系統模型，建立考慮易損件懸掛系統動力學模型，引入無量綱參數，獲得系統無量綱動力學方程，以系統參數和無量綱沖擊速度為基本評價量，取頻率比、阻尼比或懸掛角為第三評價量，構建易損件跌落破損邊界曲面，探討系統頻率比，系統阻尼比以及懸掛角等參數對易損件跌落破損邊界曲面的影響。

1 動力學模型

考慮易損件懸掛緩沖系統模型如圖1（a）所示，其中m1為系統易損件質量，m2為產品主體質量，c1為易損件與產品連接處阻尼，c2為產品與基礎連接處阻尼，k、k1分別為產品與基礎連接和易損件與產品之間的彈性系數，φ0為懸掛角，l0為懸掛彈簧原長。

考慮系統跌落沖擊動力學評價，假設系統從高度為H跌落，以易損件和主體靜平衡位置為原點，垂直向下為正，易損件、主體受力分析如圖1(b)所示，則易損件的動力學方程為

由文獻[17–27]知，小變形條件下運用泰勒級數簡化處理后，懸掛彈簧在垂直方向對主體的作用力

結合主體的受力分析，產品主體的動力學方程為

其中a0=sin2φ0，b0=(1-6sin2φ0+5sin4φ0)/2 。聯立方程（1）和（3）可得考慮易損件懸掛系統動力學方程為

跌落沖擊初始條件為

其中x1、x2為易損件及產品位移 ；為易損件及主體速度 ；為易損件及主體加速度；t為時間參數；H為系統跌落高度。

引入無量綱參數：易損件及主體的無量綱位移y1=x1/l0和y2=x2/l0，無量綱時間τ=t/T,易損件及主體的頻率參數，主體周期參數T=1/ω2，系統無量綱動力學方程為

初始條件變為

其中y′1=dy1/dτ、y″1=d2y1/dτ2分別為易損件的無量綱速度和加速度，y′2=dy2/dτ、y″2=d2y2/dτ2分別為產品無量綱速度和加速度，分別為易損件與產品間和產品與基礎連接處的阻尼比，λ1=m1/m2為系統質量比，λ2=ω1/ω2為頻率比。

圖1 考慮易損件懸掛系統模型及受力分析圖

2 易損件跌落破損評價

引入產品脆值Ac和系統參數β=l0/T2=8kl0/m2，由 d2x1/dt2=β(d2y1/dτ2)注意到當易損件加速度響應峰值達到其脆值時，即(d2x1/dt2)m=Acg，可獲得易損件跌落破損評價方程

應用4階龍格庫塔法求解無量綱動力學方程（6），獲得易損件無量綱最大加速度y′1m，當產品脆值Ac確定后，通過方程（8）轉化為系統參數，構建易損件跌落破損評價。由于影響系統跌落沖擊響應因素較多，構建跌落破損三維邊界曲面可更直觀反映相關參數對系統跌落沖擊性能的影響。取系統參數作為第一評價參數；考慮到無量綱跌落沖擊速度V與跌落高度H有關系，而H非常直觀且易把握，因此將無量綱跌落沖擊速度作為破損曲面的第二評價參數；頻率比、阻尼比或系統懸掛角（幾何參數）均為系統敏感參數，可作為破損邊界曲面的第三評價參數。

2.1 頻率比對易損件跌落破損的影響

取λ1=0.01，ζ1=0，φ0=60°，Ac=30，以系統參數β、無量綱沖擊速度V和頻率比λ2為評價量，不同阻尼比ζ2下，易損件跌落破損邊界曲面如圖3所示。

由圖2知，小阻尼條件下（ζ2=0,0.05,0.07,0.1），較低頻率比時，不僅安全區域小且存在波動現象；當系統頻率比λ2＞5時，易損件跌落破損邊界較為穩定，且安全區域較大。

2.2 阻尼比ζ2對易損件跌落破損的影響

取λ1=0.01，ζ1=0，φ0=60°,Ac=30；以系統參數β，無量綱沖擊速度V和阻尼比ζ2為評價量，不同頻率比λ2=5,6,7,9時,易損件跌落破損邊界曲面如圖3所示。

由圖3分析知，一定質量比、頻率比和系統懸掛角條件下，系統具有最佳阻尼比，但最佳阻尼比隨其他參數的變化（本例為頻率比參數）又表現出不同值。當系統阻尼比小于最佳阻尼比時，隨阻尼比增加系統安全區域增大，當系統阻尼比大于最佳阻尼比時，隨阻尼比增加，系統安全區域減小。

2.3 懸掛角對易損件跌落破損的影響

取λ1=0.01，ζ1=0，ζ2=0.05，Ac=30；以系統參數β，無量綱跌落沖擊速度V和頻率比λ2為評價量，φ0=60°,70°,80°,90°時，系統跌落破損邊界曲面如圖4所示。由圖4知，相對線性系統（懸掛角為90°）降低懸掛角，破損邊界曲面上移，產品安全區域增大，較低的懸掛角對提高產品的抗沖擊性能有利。

為進一步研究懸掛角的影響，取λ1=0.01，λ2=5，ζ1=0，ζ2=0.05，Ac=30；以懸掛角為第三評價量，構建跌落破損評價曲面如圖5，由圖5可知，減少懸掛角，易損件安全區域增加。

3 結語

圖2 考慮頻率比λ2時易損件跌落破損邊界曲面

圖3 考慮阻尼比ζ2時易損件跌落破損邊界曲面

圖4 懸掛角φ0對易損件跌落破損邊界曲面的影響

基于單自由度懸掛系統模型，構建考慮易損件的兩自由度系統力學模型，采用4階龍格庫塔數值分析方法求得易損件響應，并構建易損件跌落破損邊界曲面。在跌落沖擊條件下，影響易損件跌落破損邊界面的重要參數包括系統的懸掛角、系統的頻率比及阻尼比等，分析各參數對跌落破損邊界曲面的影響。數值分析表明：

(1)易損件跌落破損邊界曲面對系統的頻率比敏感，相對于較低頻率比條件下（λ2＜5）的系統安全區域，較高頻率比（λ2＞5）條件下，系統的安全區域較大且較為穩定。因此，系統設計應遠離低頻率比區，選擇較高的頻率比值。

(2)易損件跌落破損邊界曲面對系統的阻尼比同樣敏感，系統存在最佳阻尼匹配，進一步分析表明，阻尼比在一定范圍內，可對產品具有較好的保護作用。該范圍在小阻尼條件下成立，同時注意到，阻尼比并非越大越好。

圖5 考慮懸掛角φ0時易損件跌落破損邊界曲面

(3)與線性系統相比，較小的懸掛角條件下，易損件更安全，但同時也應關注當懸掛角較小時，系統的位移響應增加，可能出現觸底問題。

(4)系統的特征參數和無量綱跌落沖擊速度對產品的保護具有重要的意義。較低的系統參數可使系統承受較大的無量綱沖擊速度，由系統參數β=8kl0/m2知,較低的系統參數可以選擇較小的彈性系數和懸掛彈簧的長度，但同時注意無量綱沖擊速度增加，且可能產生較大的位移，出現觸底問題。因此，懸掛系統的設計為更好地保護產品，需綜合系統相關參數的選擇。

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