運動皮帶受帶輪跳動激勵的橫向振動分析

朱玉田，鄭昌隆，劉 釗，張攀登

（同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804）

軸向運動連續體應用在各種各樣不同的機械系統中，例如高速磁帶和紙帶、空中纜車索道、含有流動流體的管道以及動力傳遞鏈條和動力傳遞皮帶[1]。由于傳輸速度的存在，這些系統會沿橫向產生復雜的動力學行為，引起有害的振動[2]。同時，考慮支點處帶輪跳動激勵影響下的運動皮帶系統，具有重要的工程應用背景。例如，在發動機前端帶裝置中，帶的橫向振動會增加發動機前端的噪聲，降低帶的壽命，影響發動機可靠性和乘坐舒適性[3]。運動皮帶橫向振動特性分析以及對一般激勵的響應求解，可用于許多技術裝置的特性分析和優化設計。

帶輪跳動激勵下軸向運動皮帶的橫向振動穩態響應，目前多采用近似解法，基于Galerkin截斷對軸向運動弦模型或軸向運動梁模型作離散化處理，得到運動微分方程的數值解[4]，尚未有理論推導解析解的方法。但數值解法即使在很簡單的情況下也不能求得閉合形式的解，只能在對應階數給出一個近似解，且這種解法相當繁瑣。

通過復振幅方法，將運動微分方程表達為復數形式，利用復數的性質和簡諧激勵穩態響應的規律，可以分析帶輪跳動激勵下運動皮帶的橫向受迫振動，求得受迫振動穩態響應的解析解。對穩態響應結果做頻域分析，可了解響應的幅頻、相頻特性，得到其與激勵頻率的特性曲線，并可求出系統共振頻率。

1 橫向振動運動方程

帶傳動是工程中應用十分廣泛的傳動裝置，雖然結構簡單、造價低廉，但是傳送帶工作時會產生人們不期望的橫向振動。以前對帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動模型的研究集中在自由振動方面，受迫振動穩態響應解析解方面的研究在公開報道中沒有見到過。

弦和梁是最常見的皮帶簡化模型，當皮帶軸向尺寸較長時，可忽略彎曲剛度。皮帶工作時都是有軸向運動的，軸向運動速度不可忽視，需要考慮其對橫向振動的影響。皮帶在運轉過程中產生的橫向振動主要由帶輪垂直于皮帶的跳動引起。在大多數運動皮帶受迫振動的工程問題，如動力傳動皮帶或動力傳遞鏈條中，主要關心系統穩態響應，受迫振動的過渡過程不是主要研究內容。將運動皮帶系統近似為兩端簡支的軸向運動弦線模型。兩端的皮帶輪均存在跳動激勵，將其作近似簡化處理，將一端帶輪視為固定，其跳動疊加到另一端帶輪處，即運動皮帶只在右端運動簡支處受到帶輪跳動激勵，帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動模型如圖1所示。

圖1 帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動模型

圖1中，v為弦線沿軸心線方向的軸向運動速度，l為皮帶總長度。設皮帶單位長度的質量為ρ，張力為P，運動皮帶在坐標軸面內作平面振動，皮帶的橫向位移用w=w(x,t)表示，它是軸向坐標x和時間t的函數。

利用Hamilton原理，參考Wickert和Mote建立軸向運動弦線橫向振動運動微分方程的方法[1]，建立帶輪跳動激勵下運動皮帶系統的微分方程如下

由上面分析可知，帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動穩態響應問題歸結為方程式(1)的穩態響應求解。

2 單頻激勵穩態響應求解

受迫振動穩態響應一般可以通過頻域分析的疊加原理進行求解。當周期性的支點跳動激勵wl(t)包含多個諧波成分時，可以通過疊加原理將每個諧波的響應疊加起來得到總的響應。所以單頻激勵下的穩態響應求解是頻域分析的基礎。

設支點跳動激勵為以下單頻簡諧激勵時

由連續體振動系統的簡諧激勵穩態響應規律，設運動皮帶橫向振動穩態響應的表達式為

式(3)中wu(x)為皮帶橫向振動的振幅或其相反數，θ(x)為相應的振動相位差。把式(3)代入式(1)的運動微分方程并表達為復數形式，得到

其中i為虛數單位，W(x)為復數，是皮帶橫向振動位移w(x,t)的復振幅，W(x)=wu(x)eθ(x)i。把式(2)代入式(1)的邊界條件并表達為復數形式，得到

將式(4)、式(5)整理后合并得

根據式(6)的特征方程，解出上述復系數2階線性微分方程的對應特征值為[5]

通解為

由式(8)通解形式，根據邊界條件，求得對應特解為

根據復指數的恒等關系

將式(9)表達為

定義基準參考圓頻率ω0為

由后面分析可知，ω0即帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動的一階共振頻率。將其代入式(11)得

將式(11)復數形式的解，寫出對應的穩態響應時域表達式

其中

由此，利用復數的性質和簡諧激勵穩態響應的規律，通過復振幅方法得到了帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動穩態響應閉合形式的解，且求解過程比較簡單。對于由式(l)表示的連續體運動微分方程的受迫振動穩態響應問題，采用Galerkin截斷對軸向運動弦線模型或軸向運動梁模型作離散化處理，得到運動微分方程的近似數值解[6]，即使在很簡單的情況下也不能求得閉合形式的解，只能在對應階數給出一個近似解，且這種解法相當繁瑣。得到閉合形式的解析解后，可進一步分析軸向運動系統振動特性、得到系統受迫振動時的共振頻率，指明改進系統性能的方向，并且可方便地作為考核如瑞利-立茲法、伽遼金法等數值方法有效性和可靠性的算例。

3 單頻激勵穩態響應特性

3.1 穩態響應的頻率特性

由橫向振動穩態響應表達式(14)得振幅或其相反數沿軸向坐標x分布wu(x)與激振頻率ω的幅頻特性函數為

對應的相位差沿軸向坐標x分布θ(x)的相頻特性表達形式為

由公式(15)、式(16)，當v=9.63 m/s，c=51.8 m/s，l=0.59 m，wlu=0.005 m時，給出的幅頻特性wu(x,ω)和相頻特性θ(x，ω)圖線如圖2、圖3所示。

圖2 皮帶橫向振動幅頻特性wu(x,ω)圖示

圖3 皮帶橫向振動相頻特性θ(x,ω)圖示

帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動最大振幅wumax(ω)隨頻率ω的變化關系如圖4所示，縱坐標表示wumax(ω)與wlu比值，即振幅放大倍數。

3.2 共振頻率

由圖4知，帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動會出現共振現象。當頻率ω為基準參考圓頻率ω0的整數倍時，運動皮帶發生共振。由此得皮帶共振頻率ωn為

圖4 運動皮帶橫向振動最大振幅頻響特性

4 工程應用實例與試驗驗證

帶輪跳動激勵下運動皮帶的橫向振動分析有重要的工程應用背景。某型客車尾部發動機與空調壓縮機的連接皮帶，在車輛運行過程中存在明顯的共振現象，產生較大的振動與噪聲。皮帶跳動的激勵源是發動機與壓縮機工作過程中產生的激勵力和激勵扭矩，表現為皮帶兩端帶輪的跳動激勵，主要為2階、3階、4階、6階。

在實車上對應位置安裝皮帶，測量皮帶張緊力、皮帶靜態固有頻率。在空調壓縮機正常工作時，利用激光位移傳感器測試帶輪不同轉速下的皮帶橫向振動響應。記錄下對應皮帶張緊力、帶速、靜態固有頻率、實驗結果，并根據式(15)計算得對應共振頻率。皮帶試驗實物圖如圖5所示。

圖5 皮帶試驗實物圖

然后通過改變皮帶張緊力來調整皮帶靜態固有頻率，分別依次做以上試驗步驟。試驗結果整理如表1。

不考慮帶速影響時，理論上最高階（6階）激勵頻率低于試驗測得皮帶靜態固有頻率，運動皮帶不會產生共振現象。但由實際結果可以看出，在某些轉速下，皮帶振動明顯。比較最高階激勵頻率與利用復振幅方法求解得到的共振頻率，則可以得到與實際情況一致的結果。如：皮帶張緊力為900 N，帶速為9.6 m/s時，帶速對皮帶共振頻率的影響較小，最高階激振頻率比1階共振頻率低很多，皮帶無明顯共振現象；當皮帶張緊力為900 N，帶速為21.4 m/s時，帶速對皮帶共振頻率的影響較大，共振頻率與皮帶靜態固有頻率有明顯差異，最高階激振頻率比靜態固有頻率低但大于1階共振頻率，皮帶出現明顯共振現象。

當帶速v量級與靜態弦中波的傳播速度c相當時，其對軸向運動皮帶受迫振動共振頻率的影響不可忽視，使皮帶共振頻率變小。大多數工程應用中激振頻率小于共振頻率，所以共振頻率越小越容易共振，最高階激勵頻率要小于1階共振頻率。可以根據本文共振頻率的計算方法，通過確定合理的張緊力范圍，來避免或減弱系統的共振現象。

表1 實驗結果匯總表

5 結語

軸向運動連續體的穩態響應求解為工程應用中常見的問題，但考慮帶速影響的理論求解方法較少。通過建立帶輪跳動激勵下運動皮帶橫向振動運動微分方程，利用簡諧激勵響應規律與復振幅求解方式結合，得到了橫向振動穩態響應的解析解。根據穩態響應解析解的表達式，分析皮帶橫向振動的幅頻、相頻特性，得到最大振幅頻響特性曲線，并在此基礎上分析系統共振特性，求出帶速影響下系統共振頻率。最后通過工程應用實例，試驗驗證計算結果，證明求解方法的合理性和有效性。

軸向運動連續體受迫振動穩態響應的理論求解，間接揭示系統特性并指明改進性能的方向，可推廣應用于多種軸向運動系統以及進一步設計能有效抑制振動噪聲的結構。同時，這些閉合形式的理論解可方便地作為考核如瑞利-立茲法、伽遼金法等數值求解方法有效性和可靠性的算例。

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