基于單向LOCC的正交兩體態區分算法

司萌萌,李志慧,劉成基

(陜西師范大學 數學與信息科學學院,西安 710119)

0 概述

隨著量子信息理論的發展,量子密碼學相比經典密碼學越來越體現出更多優勢的同時,也提出了許多挑戰性的課題[1-3],其中量子態的局域區分就是量子通信領域一個基本問題。在局域操作和經典通信(Local Operation and Classical Communication,LOCC)的限制下,正交態并不是總可以精確區分的[4-6]。一組正交量子態不一定可局域區分,是量子非局域性的一個表現。研究區域區分的規律不僅有利于理解量子非局域性,還可使人們能從新的角度去研究其他的量子信息理論問題[7-9]。兩體正交量子態的局域區分方案如下:在許多可能的正交兩體量子態中選出一個分發給Alice和Bob,他們只利用LOCC就可以找出他們共享的是哪一個態。文獻[10]構造了一組乘積純態,獲得的結論是來自于不可擴張乘積基的成員之間是不能通過LOCC被完全區分的;文獻[11]證明了任意2個多體正交純態可以精確局域區分,此結果說明了在LOCC下量子態的糾纏與否與其精確區分的關系不大,也說明了此問題的復雜性;文獻[12]的結果是得出了類Holevo上界對于局部的可訪問的信息來自于一個兩體系統的量子態系綜;文獻[13]的結果表明了幾乎所有來自于N個d維多體系統的d+1個正交量子態集合通過LOCC是不可以完全被區分的。

近期,文獻[14]提出了一個利用單向LOCC(one-way LOCC,1-LOCC)來區分兩體正交態的框架,并在理論上給出了兩體正交態的集合通過單向LOCC可區分性的判定,但文獻[5]并沒有給出區分兩體正交態的一般性算法。本文給出基于單向LOCC的一類正交兩體態區分算法,并在此算法的基礎上,對4?4上的廣義正交Bell態給出其可單向區分的一個充分條件,此充分條件可作為一個快速算法判斷正交態是否可單向LOCC區分,最后對此結論給予實例驗證。

1 文獻[14]主要結論回顧

文獻[14]得到了如下結果:在一個dA?dB的兩體系統中,其中,dA、dB是子系統A和B的維數,如果第i部分(其中i=A或B)開始一個單向LOCC協議以完全區分一個正交兩體態的集合,那么這樣的一個單向LOCC協議存在的信息取決于一個di×di階的Heimitian矩陣組成的子空間是否包含一個最大交換子空間。根據這一結論,對于dA?dB中的所有正交兩體態集合,其單向LOCC的可區分性便可以得到判定[15]。

1.1 密度矩陣的譜分解

(1)

1.2 標準正交基和復矩陣

(2)

1.3 主要符號及說明

1.4 最大交換子空間

定義3如果實向量空間S中一個維數為d的子空間中的任意2個矩陣都可交換,那么這個子空間稱作一個最大交換子空間(Maximally Abelian Subspace,MAS)。

注釋1任意一個MAS和唯一一組共同的特征向量相對應,且這組共同的特征向量可以使得MAS中所有Hermitian矩陣在這組基下對角化。

1.5 d?d上的廣義正交兩體量子態

定義4在d?d中,d2維的廣義的正交兩體量子態可以表示為[6]:

(3)

注釋2設{Ti}d+ti=1是T⊥的一個MAS。令C是由矩陣{i[Tj,Tk]|1≤j

(Γj)kj=iTr(Gj[Tk,Tl])

2 d?d上的糾纏態區分算法

本文主要考慮式(3)中的態在由Alice開始的單向LOCC可區分問題。現給出在d?d中,任意N(2≤N≤d2)個糾纏態的局域區分算法。

2.1 糾纏態區分算法內容

步驟1在d?d上任意選取N(2≤N≤d2)個糾纏態。

步驟3計算dimT⊥,作如下判斷:

1)當dimT⊥≤d-1時,該N個態不能由Alice開始一個單向LOCC協議來區分,算法終止。

2)當dimT⊥=d時,進一步檢查:該T⊥是否為一個MAS。 如果是,則該N個態可以由Alice開始一個單向LOCC協議來區分,轉入步驟4;否則,算法終止。

3)當dimT⊥≥d+1時,進一步檢查:如果T⊥包含一個MAS在S中,那么該N個態可以由Alice開始一個單向LOCC協議來區分,轉入步驟4;否則,算法終止。

步驟4計算MAS中非單位矩陣的特征向量。

注釋3若步驟1中的N個態可單向LOCC區分,則以上算法求得的MAS的特征向量便可作為相應的投影算子對所選的糾纏態進行區分;

步驟3中,由dimT⊥=d2-dimT得到T⊥的維數,基于T⊥的維數值,可以將這些正交兩體態分成不同類。

2.2 糾纏態區分算法分析

該算法是判斷正交兩體態是否可單向LOCC的一般性算法,雖與文獻[14]算法性能相似,但卻優于原算法,其原因是本文算法適用于任何一組正交兩體態是否可區分的判定;其次,該算法將判斷正交態是否可區分轉化為判斷正交態組的正交補空間是否包含有一個MAS,區分時只需進行一次投影測量,該算法同時兼顧了算法復雜度和算法性能,因此,更具有實際應用價值。

3 4 ? 4上的糾纏態快速區分算法

3.1 算法原理

利用2.1節算法,對式(3)中d=4的情況,得到快速判斷糾纏態單向LOCC課區分的一個結論。

由式(3),當d=4時,4?4上廣義的正交兩體態為:

(4)

令集合:

定理1對式(4)中的廣義正交兩體態,設其正交補空間為T⊥,若T⊥?Ui(i=1,2,…,6),則這組正交兩體態一定可單向LOCC區分。

考慮集合:

計算i[Ti,Tj](i,j=1,2,…,5)可得,C是由矩陣G1和G2張成的,其中:

R是由矩陣Ω1和Ω2張成的,其中:

矩陣Ω1和Ω2是秩2的且Supp(Ω1)∩Supp(Ω2)是由(0,0,0,0,1)T張成的。

因此,由引理2,U1包含一個MAS,又U1?T⊥,因此T⊥包含一個MAS,從而由引理1可知,對應的這組糾纏態可單向LOCC區分。

其他情況可類似證明。

注釋4實際上,Ui(1,2,…,6)中包含一個MAS,且涵蓋了了由T可能組成的所有含MAS的集合。因此,一組糾纏態對應的T⊥若包含其一,該T⊥就包含一個MAS,這些糾纏態就一定可單向LOCC區分。

當然,利用2.1節算法也可以區分式(4)中的態,但判斷T⊥是否包含一個MAS有時是困難的。

3.2 快速算法內容

步驟1在4?4上任意選取N(2≤N≤16)個糾纏態。

步驟3根據T⊥作如下判斷:

1)若T⊥滿足定理1,則該N個態可以由Alice開始一個單向LOCC協議來區分,轉入步驟4。

2)若T⊥不滿足定理1,則該N個態不可以由Alice開始一個單向LOCC協議來區分,算法結束。

步驟4計算MAS中非單位矩陣的特征向量。

3.3 算法分析

因此本文提出的算法計算復雜度較小,給糾纏態的區分帶來了方便。

基于以上快速算法(3.2節),現給出實例驗證。

例2判斷4?4上的一組糾纏態{|ψ01〉,|ψ10〉,|ψ11〉,|ψ23〉}是否可單向LOCC區分。

因此,T⊥是由:

生成。

符合定理1,因此該4個態一定可單向LOCC區分。

接下來討論如何區分這組態。通過計算[Tj,Tk](j,k=1,2,3,4,5,6,7):

[T1,T2]=0,[T1,T3]=0,[T1,T4]=0

[T1,T5]=0,[T1,T6]=0,[T1,T7]=0

[T2,T3]=0,[T2,T4]=0,[T2,T5]=0

[T2,T6]≠0[T2,T7]≠0

[T3,T4]=0,[T3,T5]≠0,[T3,T6]≠0

[T3,T7]≠0

[T4,T5]≠0,[T4,T6]≠0[T4,T7]≠0

[T5,T6]≠0,[T5,T7]≠0;[T6,T7]=0

故T⊥包含的MAS集合為:

分別記為γ1、γ2、γ3、γ4。

因此:

顯然,{|ψ01〉,|ψ10〉,|ψ11〉,|ψ23〉}可單向LOCC區分。

4 結束語

基于文獻[14]利用單向LOCC區分兩體正交態的框架,本文提出一類d?d上廣義正交兩體態基于單向LOCC的區分算法,并主要研究了4?4上的可分態,得到了一種快速且有效判斷糾纏態是否可單向LOCC區分的算法。但對于dimT⊥=d+t的情況,還有許多與MAS相關的規律需要發現,因此,后期將繼續探索其他維上糾纏態的區分規律,例如量子密碼、量子秘密共享、量子信道的經典容量、量子糾纏的魯棒性以及束縛糾纏態等。

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