基于蟻群算法的項目型制造企業定價方法研究

徐靜

(大連理工大學管理與經濟學部，遼寧 大連 116024)

0 引言

項目型制造企業為國民經濟各部門的生產提供了根本保證[1]。隨著市場競爭的加劇及客戶定制化服務的普及，項目型制造企業面臨著前所未有的挑戰。客戶需求波動增大、質量要求較高、對交貨期和價格更為敏感，這些在很大程度上增加了項目型制造企業定價的難度。而項目管理方法即是在有限的時間和成本內，設計生產產品以滿足客戶需求[2]。在以客戶個性化為主導的今天，如何有效地組織企業生產資源、制定合理的定價方法，滿足客戶的交貨期和質量要求并保證企業的盈利水平，成為每個項目型制造企業面臨的重要問題。

在需求不確定的定價方法研究方面：Granot[3]在乘法式、加和式需求假設下，對比分析了報童模型的定價和訂購延遲問題。Mardaneh[4]在生產能力受限約束下假設需求依賴于價格，建立兩階段優化定價模型，采用半隨機算法求解最優價格及產量。Chaharsooghi[5]在隨機需求、產能受限條件下建立兩階段隨機規劃定價模型，分析了價格、提前期及交付期柔性對價格和提前期決策的影響。Palaka等[6]在M/M/1服務系統中假設需求是價格和提前期的線性函數且對提前期敏感，研究不同敏感客戶的交貨期設置、產能利用和定價決策。Deng等[7]針對離散時間框架下的生產和定價協同決策問題，分析了不同產能、庫存和生產準備成本組合下的最優解。上述定價方法主要考慮需求和生產能力約束，忽略了對質量問題的研究。

在聯合定價方面：Zhang等[8]在MTO環境中以期望利潤最大為目標，重點分析了客戶不同偏好信息對目標值的影響；戴道明等[9]研究了允許需求延遲情形下產品的動態定價和訂貨批量的聯合決策問題。柏慶國等[10]通過分析最優解的相關性質，設計算法求解聯合庫存與定價策略問題，并以實例驗證了相關參數變化對聯合策略的影響。Li等[11]設計多階段算法求解允許延遲交貨的聯合批量和定價模型，但只考慮了單一產品的問題。Heuvel[12]針對需求是價格的確定性函數且產能不限的經濟批量模型，設計多項式時間算法協同優化定價和庫存決策，但假設不同階段價格相同，使得模型過于簡單。

上述文獻側重于研究聯合決策的定價方法，但未考慮生產能力；在研究聯合定價決策時多考慮需求因素、批量及庫存等問題，對客戶所關心的質量問題鮮有研究。針對上述問題，本文以項目型制造企業為研究對象，考慮客戶對產品交貨期和質量的要求，以需求隨機、生產能力受限為約束，產品總利潤最大、平均質量最高為目標，建立多產品動態定價模型。并設計螞蟻的尋優啟發式規則，使雙目標問題達到帕累托(Pareto)最優。

1 問題描述

本文考慮某項目型制造企業在單臺機器上加工多種產品的情形。生產共需n(i=1,2,…,n)種原材料，產品序列為p=1,2,…,j,…,J， 以利潤最大、平均質量最高為目標，考慮需求和生產能力約束的多產品動態定價問題可描述為：

(1)在任一周期t(t=1,2,…,T)， 企業在期初為第j種產品設置價格、承諾交貨期區間[5]。

(2)企業根據新訂單的產品價格、承諾交貨期以及產品質量確定訂貨量，再根據訂單需求設計和生產，產品j在各階段的生產量不大于需求量。

(3)任一周期企業內部的生產能力是固定的，但可通過工人加班、業務外包等措施擴大生產能力。

(4)開始或切換產品生產前需要一定的準備時間，且準備時間與產品序列有關，故考慮生產準備成本。

(5)客戶不接受提前交貨且對延遲敏感。

(6)任一周期任一產品的需求與其他周期無關。

為更深入地研究此類問題，本文做出以下假設：

(1)所有產品初始庫存為0。

(2)需求是價格、承諾交貨期和產品質量的函數[13]。

(3)若訂單在承諾交貨期之前完成生產，則產生庫存持有成本；若在承諾交貨期之后、周期t期末交貨，則產生拖期成本[5]。

(4)某周期生產時間截止時，若有未滿足需求，則發生缺貨成本[14]。

(5)在產品初始投入一定時，假設此項目型制造企業能夠提供的產品質量m與承諾交貨期線性相關[6]；另外，受生產能力的限制，企業提供的產品質量存在上限。

2 多產品動態定價模型

2.1 變量定義

cjt： 產品j在t階段的單位生產成本；

ajt： 產品j在t階段的生產準備成本，與產品排序有關；

hjt，rjt： 產品j在t周期內的單位時間持有成本、單位拖期成本，rjt≥hjt[15]；

Ijt： 產品j在t周期的庫存持有時間；

wj： 產品j的缺貨懲罰因子；

Kt： 周期t內企業的生產能力；

vj： 生產單位j消耗的生產能力；

Uj： 產品j的總生產量；

Yjt： 二元變量，可取值為0，1；

mjt： 周期t內產品j的質量水平。

2.2 模型設計

為使項目型制造企業獲得最優價格，考慮客戶對交貨期和質量的要求，以需求、生產能力為約束，以利潤最大、產品平均質量最高為目標，構建數學模型如下。

2.2.1 目標函數

(1)企業總利潤最大。式(1)中的各項依次表示收入、生產成本、生產準備成本、庫存持有成本、拖期成本和缺貨成本。最后一項表示所有周期內、所有產品的缺貨量乘以對應的缺貨懲罰因子之和，即為總缺貨成本

(1)

(2)平均質量最高。以所有產品的質量之和除以總產品數計算。即

(2)

2.2.2 約束條件

(1)生產量約束。任一周期t內產品j的生產量不大于需求量。即

?j∈J；i=1,2,…,nj

(2)生產能力約束。某一周期t內生產所有產品消耗的產能不大于同周期的生產能力Kt。 即

?j,?t

(3)持有成本和拖期成本約束。在任一周期內不同時出現持有成本和拖期成本。即

IjtVjkt=0 ?j,?t

(4)總生產量約束。產品j總生產量的計算公式。即

?j

(5)質量影響因子約束。交貨期對質量的影響因子具有一定的范圍限制，δmax,δmin分別表示其上下限。即

δmin≤δ≤δmax

(6)生產準備約束。產品j一旦被生產，則產生生產準備成本。即

?j,?t

(7)變量非負約束。價格、產量、持有時間、延遲交貨時間為非負值。即

此雙目標問題是混合整數非線性組合優化問題，且含有隨機變量，解的規模較大；另外，當項目型制造企業追逐利潤最大時往往不能兼顧質量，質量最優時企業不一定獲得最大利潤，因此兩目標之間存在悖反關系，本文采用基于非支配排序的混合蟻群算法來獲取非劣解。

3 算法設計

蟻群算法在求解組合優化問題上表現出良好的性能[16]。根據項目型制造企業客戶需求難以預測的特點，對需求函數的隨機變量進行情景描述，并設計基于各目標的螞蟻尋優啟發式規則，使螞蟻能夠找到非劣解。

3.1 隨機變量的情景設計

需求函數中的隨機變量ξj用于描述客戶需求的不確定性。采用情景樹[14]的思想設計了隨機變量的處理方法，具體步驟如下(以下情景設計只針對單個產品，多產品分別進行設計即可)：

步驟1：假設ξj服從期望為E、 方差為D的指數分布[15]，根據產品種數、周期及統計指標i(如期望、方差等)設置隨機變量的情景個數。

步驟2：記錄隨機變量不同情景下的值xi及其生成概率pi， 按照式(3)計算目標值fi(x,p)為

(3)

∑pi=1pi≥0

(4)

式(3)是求統計值與標準值之間誤差最小，式(4)保證所有情景的概率之和為1。目標值越趨近于0，表明不同情境下的數據對隨機變量的趨近效果越好。

步驟3：重復n次步驟2，逐次記錄按式(3)計算出的最優目標值及其對應的隨機變量的情景值及其概率。

步驟4：計算步驟3中不同情景之間的歐氏距離，并乘以對應的條件概率(每個周期的pi相乘)，得到不同情景的權重距離weight_distance。

步驟5：記錄所有的權重距離，其中最小的權重距離對應的情景scenario即為隨機變量的最優取值。

3.2 蟻群參數設計

3.2.1 啟發式信息計算

針對不同目標yi(i=1,2)分別設計啟發式信息：

3.2.2 信息素更新規則

為獲得Optimal最優解，分別針對各目標對信息素進行全局更新。計算公式如下

式中，φ是信息素揮發系數，φ∈(0,1)；PNC是第NC次迭代中允許更新信息素的螞蟻集合；Δτa(NC)表示螞蟻a在第NC次迭代中對應于目標yi的信息素增量；Qi表示針對目標值f(yi)設定的調整系數，即

Δτa=Qi/f(yi)

3.3 算法步驟

步驟1：初始化矩陣、參數設置，螞蟻數為m，最大運行時間t0。

步驟2：建立非劣解集fzp， 設置t=0， 將螞蟻均分至各子空間。

步驟3：按照3.1中的策略，對需求函數中的隨機變量ξj進行模擬計算。

步驟4：將螞蟻隨機放在各變量節點之上并進行尋優。

步驟5：計算在第yi(i=1,2)個目標下，選擇下一變量節點的轉移概率Ps0s， 設置閾值q0，q0∈(0,1)， 若隨機數q>q0， 則螞蟻選擇轉移概率中最大的節點轉移；若q≤q0，則螞蟻按照輪盤賭的方式選擇下一個節點。

步驟6：根據式(1)、式(2)計算目標值。

步驟7：根據本次迭代計算非劣解，更新fzp集合，并保留fzp集合中解的路徑。

步驟8：為fzp集合中每條解的路徑進行信息素的全局更新。

步驟9：NC=NC+1， 記錄運行時間t， 若t=t0則轉至步驟10，否則轉至步驟3。

步驟10：輸出fzp解集。

4 實例應用

4.1 算法結果分析

采用文獻[15]中測試算例的生成規則，考慮產品數量、生產能力、交貨期的影響。產品數量分為四類(J1類:20，J2類:50，J3類:100，J4類：150)；產品交貨期(J1類：服從[5,20]離散均勻分布，J2類：服從[15,30]離散均勻分布，J3類：服從[30,45]離散均勻分布，J4類：服從[45,60]離散均勻分布)，生產能力分兩類(C1: 低生產能力，C2： 高生產能力)。生產時間隨機生成，產品價格從有界整數集P(j)={pj:10≤pj≤60}上選取，hjt=0.5，rjt=1，T=3。

設置最大運行時間t0=60s， 信息素權重α=0.01， 啟發式信息權重β=0.2， 信息素揮發系數φ=0.2， 螞蟻數m=20， 調整系數：Q1=1000,Q2=0.01，θ=1。 在PC機(Intel(R)Core(TM)i7-3770CPU@3.40GHz，8.00GB)上使用Matlab軟件對8組算例各運行10次，各目標的極大值見表1。

表1 各目標極值

如表1所示，根據統計結果可知，隨著產品數量的增加，混合算法對利潤目標的優化程度呈現“∧”型特征，對質量目標的優化程度呈現“∨”型特征，表明該算法在中等規模問題上優化效果更好；在高生產能力水平下，各算例下的質量目標都有所提升，大規模算例下利潤目標有所增加而小規模算例下利潤目標降低，說明擴大生產能力并不一定會給企業帶來更高的利潤，但會在一定程度上提高質量。為了進一步探究在不同交貨期條件下價格和利潤目標隨生產能力的變化而變化的趨勢，進行數值實驗見圖1(以J1算例為例)。

由圖1可知，在不同交貨期影響下，產能的增加導致產品價格的降低，從而吸引了更多的客戶、消耗更多的產能，企業利潤逐漸增加，這與文獻[17]的結論相同。在一定范圍內，產能增加使得企業能夠按時交貨，質量上升；而超出這個范圍后，質量目標受交貨期影響的程度大于產能，交貨期越短，質量目標的滿足率就越低。具體來看，當交貨期為10和11時，價格隨產能增加而下降的速率為先減后增，而利潤上升的速度先增后減，這是由價格下降帶來的收益與增加產能消耗的成本不平衡產生的結果，而質量由于受到交貨期和產能的雙重影響，變化趨勢為先增后減；當交貨期為8時，客戶對交貨期的要求較高，企業必須調動一切生產資源保證交貨，因此價格下降的速度緩慢、質量變化幅度較大。而利潤上升的趨勢為先增后減再增，這是由價格和產能共同作用的結果。

4.2 模型分析

以某項目型制造企業大連分廠某年5～7月的訂單及生產數據為樣本進行仿真實驗，驗證定價方法的適用性和有效性。樣本共包括91種產品，所需原材料情況、產品加工要求等數據見表2和表3。

目前企業采用以成本加成為基礎的產品定價方法，通過成本歷史數據對待加工產品的價格進行估算，其計算步驟如下：

(1)根據完全成本法計算產品i的制造成本C1i， 非制造成本C2i=C1i×ai/(1-ai)。

(2)單位利潤Pi=(C1i+C2i)×bi/(1-bi)。

(3)產品i的單價即為Pi+C1i+C2i。 (ai,bi是一定的計提比率)

表2 大連分廠5～7月生產計劃表

表3 生產材料

圖1 產能對價格和利潤的影響

采用以上兩種定價方法優化價格，結果見表4(其中：①是本文方法，②是企業實際定價方法)。多數產品價格有效降低，整體價格重新優化。對應的，運用②方法時產品總利潤為3 777 255元，平均質量85.1%；利用①方法利潤總額達到4 984 359元，增加了31.96%，平均質量為98%，提高了15.16%；以第35種產品為例，價格降低了84個單位，利潤目標提升了13.09%，質量提高了1.9個單位。表明本文定價方法可以有效優化產品價格，保證提高利潤和產品質量。

表4 改進方法與企業定價方法結果對比

(續)

5 結語

隨著市場競爭愈演愈烈，定價決策是否合理決定著項目型制造企業盈利能力的高低。結合客戶的交貨期和質量要求，按照一定的概率分布對隨機需求進行模擬，在生產能力約束下以產品總利潤最大、平均質量最高為目標，建立了多產品動態定價模型，提高了企業產品定價的準確性和合理性。基于蟻群算法設計螞蟻的尋優啟發式規則，通過數值實驗證明此啟發式規則能夠保證雙目標問題Pareto解的實現。最后通過實例驗證了該定價方法能有效優化價格，提高產品利潤和質量，為企業進行定價決策提供方法支持。

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