含參不等式恒成立問題的解題策略

衛根柱

（安徽省六安第一中學）

近年來全國各地高考數學試題中，含參不等式恒成立問題的考查非常普遍。由于新課標高考對導數應用的加強，含參不等式的恒成立問題往往與導數問題交織在一起，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點。在教授含參不等式恒成立問題時，教師應教會學生掌握解題的關鍵，即讀懂題、懂得把所學的知識靈活地轉化為解決實際問題的能力，唯有此，在遇到一題多解時，才能直接選用最優的解題方法提高解題效率。以下筆者以自己的實際教學為例，談談這類問題的解題策略，希望為高中數學教學發展貢獻一份力量。

含參不等式的恒成立問題是不等式中的重要題型，是各類考試中的常客，也備受高考命題者的青睞，這主要是由于其具有覆蓋知識點多、綜合性強等特點，如何使學生盡快掌握其解題方法成為當下數學教師的重要工作內容之一。

一、分離參數法

分離參數法是近年來頗受教師青睞的一種方法，目標是求取參數的取值范圍，通過分離參數，用一種嶄新的觀點即函數的觀點來研究主變量的變化情況，由此得出參數的變化范圍。這種教學方法具有獨特的優勢，如避免了分類討論的麻煩，使得問題能夠得到有效的解決。含參不等式恒成立是其重要的應用領域之一，想要解決含參不等式恒成立問題，運用此方法勢在必行。

由x≥1，得h（′x）≥0恒成立，所以h（x）在［1，+∞）上單調遞增，所以 h（x）≥h（1）=1＞0，從而，故 g（x）在［1，+∞）上單調遞增，所以 g（x）min=g（1）=2，

因此m≤2。

【小結】對于含參的不等式恒成立問題在能夠判斷出參數的系數正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式，從而轉化為求函數的最值問題。a≥f（x）恒成立等價于a≥f（x）max，a≤f（x）恒成立等價于a≤f（x）min。

二、直接研究函數最值

函數最值一般是指兩個方面，分別是函數最大值和函數最小值。這里的函數最大值和最小值指的是定義域中的函數值。研究函數最值具有幾何意義，即函數圖象最高點的縱坐標是該函數的最大值，反之亦成立。在研究函數最值問題時，應掌握它的基本方法，通過對相關題型的強化訓練，掌握解決該類問題的思想方法，從而為日后學習、工作奠定扎實的基礎。下面，筆者將就這一問題進行舉例說明。

【例2】已知函數f（x）=（x2-mx-m）ex+2m（m∈R）。

（1）若函數f（x）在x=0處取得極值，求m的值和函數f（x）的單調區間；

（2）若關于x的不等式f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍。

【分析】本題第（2）問的含參不等式恒成立問題，若采用分離參數法，難點在于m系數的正負未知。

【解析】（1）過程略。

（2）由已知，只需f（x）min＞0

①當m≤0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以只需f（0）=m≥0，所以m=0；

②當m＞0時，

所以只需f（m）=-mem+2m＞0?m＜ln2，所以m∈（0，ln2）。

由①②，m∈［0，ln2）。

【小結】f（x）＞0恒成立等價于f（x）min＞0，f（x）＜0恒成立等價于f（x）max＜0。

以上兩種方法是我們解決含參不等式恒成立問題的常用方法，到最后都歸結為求函數最值。但在實際解題中，有些函數最值無法用常規方法求出，這給我們解題帶來困難。為此，以下再介紹另外一種解題策略。

三、先找必要條件，再證充分性

【例3】當x＜0時，f（x）=mex-x-m＞0恒成立，求實數m的取值范圍。

方法一：（分離參數法）過程略。

方法二：由已知，f′（x）=mex-1，

由于f（0）=0，所以要使f（x）＞0在（-∞，0）恒成立，則有f′（0）≤0?m≤1。

下證充分性：當 m≤1 時，f′（x）＜0 在（-∞，0）恒成立，

所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，從而f（x）＞f（0）=0。

因此，m≤1。

【例4】設函數f（x）=（x2-2ax）ln x+bx2，a，b∈R。

（1）當a=1，b=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）當b=2時，若對任意x∈［1，+∞），不等式2f（x）＞3x2+a恒成立。求實數a的取值范圍。

【解析】（1）當a=1，b=0時，f（x）=（x2-2x）ln x，則f（1）=0，

f′（x）=（2x-x）ln x+x-2，∵f（1）=-1。

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-（x-1），即 x+y-1=0。

（2）當b=2時，f（x）=（x2-2ax）ln x+2x2，a∈R。

所以不等式2f（x）＞3x2+a等價于（2x2-4ax）ln x+x2-a＞0。

令 p（x）=（2x2-4ax）ln x+x2-a，x∈［1，+∞），

則 p（x）=（2x2-4ax）ln x+x2-a＞0 在［1，+∞）上恒成立，所以 p（1）=1-a＞0，所以 a＜1。

下證充分性：p′（x）=（4x-4a）ln x+（2x-4a）+2x=4（x-a）（ln x+1）（x≥1），

顯然當 a＜1 時，p′（x）＞0，則函數 p（x）在［1，+∞）上單調遞增，

所以 p（x）min=p（1）=1-a＞0，綜上可知 a 的取值范圍為（-∞，1）。

（1）求函數F（x）=f（x）+x-1的最值；

（2）若f（x）≥g（x），求實數a的取值范圍?！窘馕觥浚?）F（x）=（1+x）e-2x+x-1

∵ex≥x+1∴e2x≥2x+1，∴F′（x）≥0 恒成立，F（x）在［0，1］↑

（2）令G（x）=（fx）-g（x）

∵G（0）=0，∴ 要使 G（x）＞0 在［0，1］恒成立，則有 G′（0）≥0，?a≤-3。

下證充分性：

由（1）知：F（x）=（fx）+x-1≥0?（fx）≥1-x

∴G（x）≥-xH（x）≥0，即 （fx）≥g（x）。

綜上可知，a的取值范圍為（-∞，-3］。

【小結】以上的幾個例題是先利用某個特殊點的函數值或導數值的范圍求出參數的范圍，再證明充分性，這個特殊點往往就是所給區間的某個端點。運用該方法解決含參不等式恒成立的問題可以讓學生在學習中體驗數學的魅力，對提升他們的邏輯思維能力具有重要意義。

總之，含參不等式恒成立的問題無論是內容還是形式，都極具變化性。如何在千變萬化中找到其解題方法成為當下數學教師工作的重心。想要實現這一目標，就需要數學教師轉變傳統的教學理念和方法，在教授學生數學知識和方法的同時，要引導他們多總結、反思，通過對各類題型進行系統整理和歸納總結，分析其遇到的問題屬于哪一類，因題而異，選擇適當的解題方法，這將有助于在實際教學中舉一反三、觸類旁通。在具體解題過程中，對于一題多解，要善于總結每種解法的解題思路和思想，從而找到最優的解題方法，提高解題效率，最終實現數學學習能力和數學思維的同步提升。當然，任何一種方法都不會具有無限的“法力”，因此，教師在實際運用中，要根據教材內容和學生特點，把各種解法靈活運用，以提高教學質量，為學生日后高考奠定扎實的基礎。