構造直角三角形，巧用性質破難題

孟慧

[摘? 要] 直角三角形的性質定理對于問題變換、條件轉化、思路獲取有著極為重要的作用，因此在求解幾何難題時可以合理添加輔助線、構造直角三角形，利用其特殊性質求解問題. 本文將以一道幾何題為例探究利用直角三角形性質解題的策略，并對其進行深入研究，與讀者交流學習.

[關鍵詞] 直角三角形;幾何;性質;定理;思想

考題突破，解題評析

1. 考題呈現

3. 試題評析

上述以探究的形式開展幾何問題探討，涉及了直角三角形證明和面積求解，雖然圖形中含有圓和三角形兩種圖形，但主要是對直角三角形的性質定理進行利用.

第（1）問證明直角三角形面積的定值表達形式，利用勾股定理對其表達式進行了轉化變形.

第（2）問則利用勾股定理的逆定理來完成直角三角形的證明.

第（3）問研究的圖形雖然為一般三角形，但通過作輔助線構造出了直角三角形，然后利用直角三角形的邊角關系、勾股定理和面積關系來完成求解.

從整體來看，直角三角形的性質定理是建立等量關系的基礎，是問題探究的關鍵，對于問題的思路突破有著至關重要的作用.

鞏固提高，構建直角

直角三角形是一類較為基礎的幾何圖形，其中的一些重要性質對于思路構建有著積極的作用，上述考題的破解就是利用其性質進行的問題探究. 因此在實際解題中對于一般的三角形可以嘗試通過添加輔助線的方式構造直角三角形，在直角三角形中構建幾何關系，利用直角三角形的性質定理來轉化條件問題，實現問題的巧妙解答.

1. 構建直角，勾股巧用

直角三角形的勾股定理是幾何上較為特殊的一個定理，是建立三角形邊長關系的重要方式. 對于該定理的使用可以從兩方面來完成，一是正用定理，由直角求邊長;二是逆用定理，由三邊長的平方關系逆推直角. 求解時需合理選擇，巧妙利用.

2. 構造直角，互余推導

在直角三角形中的兩個銳角存在互余關系，即∠A+∠B=90°，其互余的關系來源于三角形內角和為180°. 在研究幾何問題時可以構造出直角三角形，利用其銳角互余來進行等角轉化或內角推導.

上述三道考題的求解過程均通過輔助線添加構造了直角三角形，然后利用直角三角形的性質定理進行求解. 其中勾股定理是對直角三角形三邊關系的體現，兩銳角的互余可以用于內角的等量轉換，而直角三角形的邊角關系則直接建立起三角形邊長和內角之間的聯系，實現了邊、角之間的轉化，也建立起了代數與幾何之間的聯系. 合理利用直角三角形的性質定理對于幾何的定性、定量研究有著積極的作用.

解后反思，學習思考

1. 歸納幾何性質，深刻理解定理

直角三角形是幾何領域的基本圖形，也是一類較為特殊的圖形，其特殊性主要體現在其邊長、角度、公式定理上. 在學習直角三角形時需要采用數形結合的方式來理解其性質，理解其定理的應用條件和技巧. 在學習中，有必要對其性質定理進行系統的整理，可以從關系、定理、半長、接圓等方面進行歸納，從而加深對直角三角形的認識.

另外，也可以從幾何與代數層面對直角三角形的定理進行總結，區分定理中哪些涉及直角三角形的幾何關系，哪些是進行代數轉化的定理，尤其要注意對勾股定理的學習，不僅要理解其淺層的對三角形邊長關系的體現，還需要結合方程思想，理解其構建代數方程的深層價值.

2. 構造直角三角形，學習模型思想

直角三角形對于幾何的證明求解有著極為重要的作用，是實現問題轉化、條件獲取的關鍵工具，但從上述考題中可以發現并不是所有的復合圖形中都存在明顯的直角三角形，因此我們在求解問題時要充分利用問題的條件，如90°角、相切性質、內接性質等，構造出合理的直角三角形.

需要注意的是，直角三角形的構造并不是隨意的，應是建立在串聯問題條件的基礎之上，如上述例3的直角三角形構建使得條件cosB=3/5拓展到所有的直角三角形中.

另外，構建圖形是一種重要的解題策略，是模型思想指導下的解題方法，不僅適用于直角三角形，同樣可以將其拓展到其他基本圖形中. 學習和使用構造思想對于拓展解題思維，提升解題能力有著極其重要的作用.

寫在最后

直角三角形的性質定理在幾何求解中有著極為重要的作用，在學習時除了需要注意對其性質定理進行歸納外，還需要關注輔助線的添加、直角三角形的構建方式.

圖形構造本身就是一項重要的技能，如何快速合理地構造出合理的圖形需要深入的研究和探索，掌握方法、多加練習，才能真正做到利用知識高效解題.