剖析考題解法，拓展探究思考

劉海兵

[摘? 要] “函數”是初中數學的重點內容，中考在考查時常從知識綜合的角度進行，即融合代數、幾何等知識構建相關的綜合問題. 本文以一道函數綜合題為例，開展解法探究，提出相應的學習建議，與讀者交流、探討.

[關鍵詞] 函數;不等式;鉛垂法;解法;拓展

試題再現

試題簡析

本題為考卷最后幾道壓軸題之一，屬于“函數與幾何”內容的綜合性考題，涉及一次函數、反比例函數、圖形的翻折、不等式等內容，綜合性較強，對解題的思維要求較高，下面探究該考題的常規解法.

對于問題（1），要求k₂，n的值，需充分結合函數解析式和圖像的特征進行求解. 求k₂的值只需將反比例函數圖像上點A的坐標代入即可，于是可求得k₂=-2×4=-8. 而點B也在反比例函數的圖像上，所以必然滿足解析式y=-8/x，于是可求得B（-2，4），所以n的值為4.

對于問題（2），要求不等式k₁x+b<k²/x的解集，考慮到y₁=k₁x+b，y₂=k₂/x，因此此題實際是求x取何值時，y₁<y₂，表現在圖像上則是一次函數的圖像位于反比例函數圖像的下方. 結合圖像可知，分界點就是點A、點B和點O. 顯然，當xB<x<xO或x>xA時滿足條件，即不等式k₁x+b<k₂/x的解集為-2<x<0或x>4.

問題（3）要求△A′BC的面積，首先需要理解三角形的構建過程. 根據題干條件繪制圖像，由圖像翻折規律可知點A′的坐標為（4，2）. 求解時可以采用圖形割補的方式，分別過點B和點A′作x軸的垂線，垂足分別為點D和點E，如圖2. △A′BC可以看作梯形BDEA′的一部分，則S_△A′BC=S_{梯形BDEA′}-S_△BDC-S_△A′EC. 根據點B，C，A′的坐標可求出相應邊的長，代入面積公式即可求得△A′BC的面積為8.

解法探討

上述一次函數與反比例函數綜合題的三個小問屬于該類問題的典型代表，求解過程也是從知識聯系性角度出發構建的解題思路. 其中問題（2）求不等式的解集，采用了分析函數圖像的方法;而問題（3）求一般三角形的面積則采用了常規的圖形割補方法，即通過梯形和三角形的面積拼湊，間接求得三角形的面積. 下面將對這兩問的解法進行拓展探究.

1. 函數圖像法的剖析

函數圖像法實際上是利用函數的單調性來進行函數值比較的一種方法. 如對于一次函數y=kx+b，當k>0時，函數為單調遞增函數，若設函數與x軸交點的坐標為（x0，0），如圖3，則由圖像可知在點（x0，0）的左半部分，一次函數的圖像位于x軸下方;而在點（x0，0）的右半部分，一次函數的圖像位于x軸上方. 考慮到函數圖像的上下位置是由y值的大小決定的，因此可以根據圖像的位置關系來比較函數值的大小，此時對應的表格如表1.

如果將表1中函數值的大小關系看作一個不等式，則對應的區間就是不等式的解集，也就構成了函數法解不等式的基本原理. 進一步，將不等式中的y看作另一個函數，就可以通過分析兩個函數圖像的位置關系來求不等式的解集，這就是上述試題的解題思路. 下面通過分析兩個一次函數的圖像關系來進一步剖析圖像法的使用過程.

圖4是一次函數y1=k1x+b1與y2=k2 x+b2在同一直角坐標系中的圖像. 設兩圖像的交點為點（x0，y0），則在交點的左側，即x<x0時，y1=k1x+b1的圖像位于y2=k2 x+b2圖像的上方，此時y1>y2始終成立;而在交點的右側，即x>x0時，y1=k1x+b1的圖像位于y2=k2x+b2圖像的下方，此時y1<y2始終成立. 若替換其中的y1和y2，則可以描述為當x<x0時，k1x+b1>k2x+b2;當x>x0時，k1x+b1<k2 x+b2，從而完成不等式與x取值對應關系的構建. 因此，利用函數法求解不等式問題時，首先需要在同一直角坐標系中繪制出兩個函數的圖像，并結合函數表達式確定兩函數圖像的交點，然后參照圖像的交點坐標，根據圖像的上下關系進行分段，進而確定每一段內x的取值，如下面的例題.

2. 面積問題的解法拓展

“試題再現”中的問題（3）采用了面積割補法，對于該類問題，我們可以采用三角形面積的鉛垂線模型來直接求解. 如圖6，在△ABC中，分別過點A，B，C作與水平線垂直的三條線，設點B和點C之間的水平距離為a，則a就是△ABC的水平寬，h為頂點A作鉛垂線到底邊上的距離，視為三角形內部的鉛垂高，則△ABC的面積就等于水平寬a與鉛垂高h乘積的一半，即S△ABC=1/2ah.

解后反思

開展考題探究是一種重要的學習方式，通過對各地優秀考題的命題形式和解題方法進行分析，不僅可以充分了解中考數學的命題方向，還可以學習其中的解題策略，提升解題能力. 下面圍繞上述試題進行進一步思考.

1. 關注方法的本質內容

中考壓軸題的解題方法一般具有代表性，是眾多知識內容的綜合，相對而言，在理解上存在一定的難度，但充分理解、靈活運用卻可以大大提高解題效率. 如上述所呈現的函數圖像法和求三角形面積的鉛垂線法，都是基于一定的性質、定理所構建的，對于特定的問題有良好的解題效果. 而在學習方法的同時，不應忽視對方法本質的探究，不應忽略方法的證明過程. 學習方法，不僅要學習使用過程，還要學習方法的本質內涵. 因此，學習解法時，首先應關注方法的證明，在此基礎上適當地對方法進行推廣、拓展，從而深刻理解方法并掌握方法.

2. 重視考題的解題拓展

開展中考壓軸題的解題探究，其中較為重要的一個環節是考題的多解剖析，即在常規解法的基礎上探究考題的另類解，通過另類解的探究分析來強化對考題的認識，促進解題思維的發展，從而將考題的價值最大化. 如上述求面積所使用的鉛垂線法，其依然以面積公式為基礎，但考慮到其模型構建的過程更為簡潔，因此具有極大的使用價值. 同時，對該方法進行適度拓展可以求解一類問題. 因此，在平時的解題學習中，需要重視考題的多解探究，注重總結考題的分析思路和解題方法，逐步提升解題思維，形成系統的分析策略.

寫在最后

函數綜合題是中考數學的重點考查題型之一，涉及眾多的函數知識，具有較多的聯系拓展點，雖然解題突破的難度較大，但掌握相應的分析思路和解題方法，卻可以快速地找到解題突破口. 需要注意的是，在學習過程中，應注重深化理解基礎知識和剖析解法本質，逐步將解題方法內化、吸收，從而從思想上提升解題能力.