數學模擬實驗教學的內容與要求

摘 要現代的數學實驗也稱計算機模擬實驗，是以計算機數學軟件的應用為平臺，模擬實驗環境，結合數學模型進行教學的新型教學方法。采用計算機模擬實驗能較好地解決需要大數據支持的“統計與概率”問題、需要“精準”實驗的“綜合與實踐”問題等。

關鍵詞數學實驗教學 模擬實驗 內容

數學實驗是為了獲得某種數學理論、檢驗某個數學猜想、解決某類數學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數學思維活動的參與下，在典型的實驗環境中或特定的實驗條件下所進行的一種數學探索活動。根據實驗手段的不同及產生的先后順序，數學實驗可以分成兩大類：傳統的數學實驗和現代的數學實驗。傳統的數學實驗是指用手工的方法，利用實物模型或數學教具進行實驗，從中發現或解決數學問題的一種教學方法。現代的數學實驗也稱計算機模擬實驗，是指以計算機數學軟件的應用為平臺，模擬實驗環境，結合數學模型進行教學的新型教學方法。在義務教育階段，大部分實驗內容都可以采用傳統的實驗手段，但有些特殊內容，比如數學中需要“動態”呈現的“圖形與幾何”問題、需要大數據支持的“統計與概率”問題、需要“圖像”表達的“代數函數”問題、需要“精準”實驗的“綜合與實踐”問題等利用傳統實驗手段難以實現，但對于計算機模擬實驗來說卻輕而易舉。下面以義務教育階段蘇教版數學教科書及其配套的《數學實驗手冊》為例，梳理其中宜采用計算機模擬實驗的內容。

一、需要“動態”呈現的“圖形與幾何”問題

1.“運動過程的展現”問題

點、線、面、體是圖形與幾何知識的基礎，“點動成線”“線動成面”“面動成體”不僅是學習幾何知識的路徑，也是幫助學生理解圖形之間關聯的重要線索。蘇教版教科書中與“運動過程展現”有關聯且宜采用模擬實驗的“圖形和幾何”內容主要有：六年級下冊第二單元“圓柱和圓錐”第18頁第7題、第23頁第9題；七年級上冊第五章第二節“圖形的運動”、第127頁第2題、第128頁第1題等。《數學實驗手冊》中與該知識點有關聯且宜采用模擬實驗的“圖形和幾何”內容主要有：七年級上冊“實驗11：圖形的形成”等。

以七年級上冊第五章第二節“圖形的運動”教學為例，可以利用計算機完成以下三個模擬實驗：一是點動成線，通過點動成線（直線），感受線是由點運動而形成；二是線動成面，通過線動成面（平面），感受面是由線運動而形成；三是面動成體，通過面動成體（圓柱、圓錐、球），感受體是由面運動而形成。三次實驗結束后，讓學生談談實驗感受，旨在讓學生通過模擬實驗的操作，體驗三維立體圖形與二維平面圖形之間、二維平面圖形與一維圖形之間、一維圖形與點之間的關系，進而發展學生的空間觀念。

2.“動點軌跡的追蹤”問題

動點軌跡的追蹤是根據動點的運動求出動點的軌跡，其實質就是將“形”轉化為“數”，動點軌跡追蹤問題研究有助于學生體悟數形轉化的思想、方法以及技巧。蘇教版教科書中與“動點軌跡追蹤”有關聯且宜采用模擬實驗的“圖形和幾何”內容主要有：六年級下冊第二單元“圓柱和圓錐”第123頁思考題；九年級上冊第四章第二節第60頁練習“圓內接四邊形的性質”。《數學實驗手冊》中與該知識點有關聯且宜采用模擬實驗的“圖形和幾何”內容主要有：七年級上冊“實驗4：垂線段最短”；九年級全一冊“實驗4：探究圓周角和圓心角之間的關系”等。

以《數學實驗手冊》九年級全一冊“實驗4：探究圓周角和圓心角之間的關系”為例，該實驗是為教學蘇教版教科書九年級上冊第二章第四節“圓周角”而專門設計，本課以“測量——說理”為主線，主要包括三個計算機模擬實驗：一是探究角度的變化。通過度量、比較兩邊都和圓相交且頂點分別在圓上、圓內、圓外三種情況角的度數，發現三種情況的角之間的大小關系。二是探究同弧所對圓周角與圓心角的關系。改變圓周角頂點的位置，發現同弧所對圓周角和圓心角的關系，在拖動頂點的過程中發現特殊位置和一般位置，并說明結論的正確性。三是探究圓內接四邊形內角的關系。度量圓內接四邊形的每一個內角，并拖動頂點，改變四邊形的形狀，發現圓內四邊形內角的關系，并通過說理證明結論。

二、需要大數據支持的“統計與概率”問題

統計與概率是研究隨機事件發生的可能性大小及其呈現出來的規律，統計與概率教學的有效途徑是通過學生親自實踐、動手進行實驗來體會統計思想和概率的意義。有的隨機實驗比較簡單，傳統的手工實驗即可解決問題。但是，有的隨機試驗需要大量隨機數，采用傳統的手工方法不僅費時費力，而且如果重復次數過多，學生也會失去興趣。因此，可以借助隨機模擬實驗代替重復操作，節約時間，提高興趣。蘇教版數學教科書中宜采用模擬實驗的“統計與概率”內容主要有：三年級下冊第九單元“數據的收集與整理（二）”第97頁想想做做第1題“拋正方體游戲”與第100頁練習十二第2題摸球游戲、四年級上冊第六單元“可能性”、八年級下冊第八章第三節“頻率與概率”。《數學實驗手冊》中宜采用模擬實驗的“統計與概率”內容主要有：二年級下冊“實驗12：擲骰子游戲”、四年級上冊“實驗9：拋硬幣游戲”、八年級下冊“實驗2：骰子游戲”。

以八年級下冊第八章第三節“頻率與概率”為例，教學內容是通過拋一枚質地均勻的硬幣，感知正面朝上的頻率在0.5左右。為了讓每一位學生都經歷實驗并通過大數據驗證結論的可靠性，本課可以采用傳統實驗與模擬實驗相結合的方式進行以下三個實驗。實驗一：手工拋硬幣實驗。學生親自動手拋硬幣，每人10次，然后匯總小組與全班學生的試驗結果，并計算正面朝上的頻率，繪制出折線統計圖。實驗二：課中計算機模擬拋硬幣實驗。利用計算機編程設計模擬拋硬幣的實驗，學生可以模擬真實情景設置拋硬幣的次數（如100次、200次甚至1000次等），每次拋硬幣隨機出現正面朝上或背面朝上，模擬實驗完成后，學生匯總數據并繪制折線統計圖，通過大數據統計發現，當實驗數據越大時，拋硬幣正面朝上的頻率越接近0.5。實驗三：課后計算機模擬拋硬幣實驗。出示教材第46頁表1“統計學家歷次做‘拋質地均勻的硬幣試驗的結果”，讓學生通過觀察，再次感知當試驗次數很大時，“正面朝上”的頻率在0.5附近擺動，同時要求學生課后可以利用計算機模擬實驗驗證統計學家研究結果的準確性。endprint

三、需要“圖像”表達的“代數函數”問題

函數是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型，《義務教育數學課程標準（2011年版）》要求“函數教學內容與呈現方式，應有利于學生掌握函數知識，有利于學生領會函數思想”，要為今后進一步研究一般函數和非代數函數（如三角函數、指數函數、對數函數等）積累方法和經驗。代數函數（即函數表達式中只涉及加、減、乘、除、乘方、開方等代數運算的函數）是義務教育初中階段重要的數學問題，主要包括一次函數、反比例函數、二次函數。蘇教版數學教科書中宜采用模擬實驗的“代數函數”內容主要有：八年級上冊第六章第三節“一次函數的圖像”、八年級下冊第十一章第二節“反例函數的圖像與性質”、九年級下冊第五章第三節“二次函數的圖像和性質”等。《數學實驗手冊》中宜采用模擬實驗的“統計與概率”內容主要有：八年級上冊“實驗19：一次函數的圖像”、八年級下冊“實驗13：驗證反比例函數圖像的對稱性”、九年級全一冊“實驗8：二次函數圖像的平移”等。

以《數學實驗手冊》九年級全一冊“實驗8：二次函數圖像的平移”為例，為了讓學生深刻理解二次函數圖像平移的規律，可以利用計算機進行以下三個模擬實驗。實驗一：探究函數y=ax2和y=ax2+k的圖像之間的關系。畫出二次函數y=ax2、y=ax2+k的圖像，通過改變a、k的值，動態研究二次函數y=ax2+k的圖像與y=ax2的圖像之間的上、下平移關系。實驗二：探究函數y=ax2和y=a（x-h）2的圖像之間的關系。畫出二次函數y=a（x-h）2的圖像，通過改變a、h的值，動態研究二次函數y=a（x-h）2的圖像與y=ax2的圖像之間的左、右平移關系。實驗三：探究函數y=ax2和y=a（x-h）2+k的圖像之間的關系。在實驗一、二的基礎上，畫出二次函數y=a（x-h）2+k的圖像，探究二次函數y=a（x-h）2+k的圖像與y=ax2的圖像之間的關系，進而得出這些二次函數的圖像之間的平移規律。

四、需要“精準”實驗的“綜合與實踐”問題

“綜合與實踐”內容設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。義務教育階段安排了大量與實驗有關的“綜合與實踐”活動，如蘇教版數學教科書七年級上冊“設計包裝紙箱”、八年級上冊“確定藏寶地”、九年級下冊“測量建筑物的高度”等。《數學實驗手冊》中三年級上冊“找次品”、四年級上冊“怎樣滾得遠”、五年級下冊“車輪為什么做成圓形”、六年級下冊“有趣的杠桿”等。這些“綜合與實踐”類實驗有的對實驗材料要求特別精密，有的對場地要求十分特別，還有的對實驗過程要求特別嚴苛……這些特定或特殊的要求傳統實驗手段往往難以滿足，我們可以嘗試借助計算機模擬出電子化的實驗材料或實驗場景，確保實驗能夠嚴謹、規范、科學和精準地進行。

1.實驗材料、場地特殊，傳統手段難以提供

《數學實驗手冊》五年級下冊“實驗7：車輪為什么做成圓形”，教材上是用卡紙剪出圓形、正方形、橢圓等不同形狀以代替車輪，再用鉛筆戳在車輪的中心代替車軸，將卡紙做成的車輪放在直尺上滾動，在滾動過程中觀察每個車輪車軸所在的點留下的痕跡。這樣的設計從理論上完全可行，但由于車輪材質軟、易變形，每次實驗總會出現較大誤差，而且因為學生車軸安裝位置有偏差，所以實驗中車軸在運動過程中的軌跡總是難以做到精準和完整。鑒于這種情況，在學生操作圓形車輪滾動平穩的基礎上，首先引導學生思考以下問題：如果車輪做成正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等形狀時，在平路上行駛時車軸運動的軌跡會是什么樣？如果要想讓正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的車輪行駛也很平穩，需要修怎樣的路面？其次，讓學生利用計算機模擬不同形狀的車輪滾動，得到道路的圖形。通過這樣的計算機模擬實驗，學生就會發現隨著車輪邊數的不同，道路圖形也不同，車輪邊數越多，道路越趨于平坦，從而進一步探索現實生活中車輪選擇圓形的原因。

2.實驗過程、方法嚴苛，傳統手段難以滿足

《數學實驗手冊》三年級上冊“實驗4：找次品”，教材上是準備正品和次品若干，讓學生用天平稱一稱。但是，在實際操作中卻經常出現以下幾個困難：一是需要的實驗材料數量較多，不便準備；二是由于教具天平或學具天平本身的精準度不夠，而次品和非次品質量相差較小，用天平秤重時容易產生誤差；三是因為受實驗材料的限制，實驗一般只能放在實驗室或教室里進行，難以滿足學生隨時隨地開展實驗的想法。

為了解決上述實驗困難，最大程度地降低誤差對實驗結果的影響，確保實驗的科學性與精準度，我們采取了計算機模擬實驗輔助教學。具體做法是：首先將次品、正品和天平等實驗材料電子化。實驗材料可以根據需求增加或減少，這樣就能夠有效地避免材料準備帶來的繁瑣與差錯。然后將模擬過程程序化。為了讓學生體驗二分法、三分法在實際生活中的應用，我們將模擬過程分為探索性實驗和驗證性實驗，探索性實驗是在次品隨機分布的基礎上，讓學生自由探尋找次品的方法；驗證性實驗是在次品隨機分布的基礎上，引導學生用二分法或三分法找次品，體驗不同方法之間的差異和優越性。

計算機模擬實驗是對傳統實驗教學的有益補充和發展，不僅可以發揮學生的主體作用，有利于培養學生的創新精神和發現問題的能力，而且可以轉變教師的教育教學觀念，有利于推進數學實驗教學改革。然而，并不是所有的數學實驗內容都適合采用計算機模擬實驗進行教學，在實際教學中，作為教師要善于甄別，學會選擇合適的內容。

參考文獻

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[作者：張明紅（1972-），女，安徽滁州人，江蘇省南京市棲霞區教師發展中心副校長。]

【責任編輯 郭振玲】endprint