“三位數(shù)乘法”中學(xué)生系統(tǒng)錯(cuò)誤及其教學(xué)策略分析
——基于中國—加拿大互惠學(xué)習(xí)項(xiàng)目姊妹學(xué)校案例研究

解 書，馬云鵬，Douglas McDougall

（1.東北師范大學(xué)教育學(xué)部，吉林 長春 130024；2.多倫多大學(xué)安大略教育學(xué)院，加拿大多倫多）

深度學(xué)習(xí)是提升關(guān)鍵能力的著力點(diǎn)。學(xué)習(xí)是教學(xué)的核心元素，是課程改革最應(yīng)改變的方面，教育和課程改革的核心問題是改變對(duì)學(xué)習(xí)的觀念，只有掌握學(xué)習(xí)本質(zhì)才能生發(fā)出持續(xù)動(dòng)力進(jìn)行課程改革，怎樣讓學(xué)習(xí)者“明白/理解”和“投入”是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)必須建基于理解，教學(xué)也應(yīng)以“理解”為目標(biāo)。[1]教師需要深刻掌握學(xué)生在理解知識(shí)、解決問題時(shí)的認(rèn)知過程與特征，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)與關(guān)鍵能力。

教師的學(xué)科教學(xué)知識(shí)影響教學(xué)成效。學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge,以下簡稱PCK）是指教師在特定教學(xué)情境里，基于對(duì)學(xué)生和特定學(xué)科內(nèi)容的綜合理解，選擇教學(xué)策略表征，將學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生理解的知識(shí)過程中所使用的知識(shí)。[2]教師的教學(xué)表現(xiàn)及成效均與PCK有關(guān)，擁有良好PCK的教師能彈性運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略和表征將學(xué)科知識(shí)的意義傳送給學(xué)生并使其理解，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。

學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤分析是教師重要的專業(yè)能力之一。教師最大的能力之一是能從學(xué)生內(nèi)在錯(cuò)誤的不足證據(jù)中對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行建模，學(xué)生知識(shí)的詳細(xì)模型，包括他們的錯(cuò)誤，是進(jìn)行成功糾正的前提。[3]教師要深入了解學(xué)生真實(shí)的思維活動(dòng)，高度重視對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的糾正。[4]對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤分析有助于在教學(xué)設(shè)計(jì)中預(yù)估學(xué)生的錯(cuò)誤并診斷，尋找恰當(dāng)教學(xué)策略，更好地理解個(gè)體學(xué)習(xí)并預(yù)防（或解決）學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)效率。

一、問題提出

1904年起，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)錯(cuò)誤研究主要從社會(huì)—文化視角、認(rèn)知心理學(xué)視角、數(shù)學(xué)教學(xué)視角和學(xué)生學(xué)習(xí)的視角展開，多集中在特定領(lǐng)域（加減法、變量、方程、等式、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等），基于特定內(nèi)容描述學(xué)生學(xué)習(xí)困難和錯(cuò)誤表現(xiàn)，概況總結(jié)歸納錯(cuò)誤的類型或表現(xiàn)。關(guān)于學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的研究多采用大樣本紙筆測試，分析錯(cuò)誤類型和原因。

Cox基于加法的錯(cuò)誤研究將學(xué)習(xí)錯(cuò)誤分成系統(tǒng)錯(cuò)誤、隨機(jī)錯(cuò)誤、粗心錯(cuò)誤。[5]其中后兩者主要源于急躁、思考的少、太多記憶導(dǎo)致提取障礙等，更多是沒辦法說出原因或給出證據(jù)。系統(tǒng)錯(cuò)誤(Systematic Errors)是指由于使用錯(cuò)誤的算法或規(guī)則所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，會(huì)反復(fù)出現(xiàn)且能說明內(nèi)在原因的錯(cuò)誤。該類型錯(cuò)誤主要由學(xué)生的迷思概念或者學(xué)習(xí)困難所引起，對(duì)其研究更能深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)、理解與過程。

現(xiàn)有研究較少基于特定內(nèi)容深入了解學(xué)生系統(tǒng)錯(cuò)誤，分析其教學(xué)表征和PCK。“數(shù)的運(yùn)算”是小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，是中國和加拿大兩國課程內(nèi)容相同較多的領(lǐng)域，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法系列中最后一次乘法筆算學(xué)習(xí)，該內(nèi)容的學(xué)習(xí)情況能折射出關(guān)于整數(shù)乘法學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，更具分析價(jià)值。因此，本研究通過“三位數(shù)乘兩位數(shù)”解決如下問題：

1.學(xué)生在學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘法”中系統(tǒng)錯(cuò)誤的表現(xiàn)類型、特征及原因；

2.教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的知識(shí)儲(chǔ)備、識(shí)別及分析；

3.教師基于學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的教學(xué)表征和PCK水平。

二、研究方法

通過方便取樣選取中國大陸E小學(xué)四年級(jí)T-m教師（女，教齡13年），F(xiàn)小學(xué)四年級(jí)T-g教師（男，教齡10年）、T-s教師（女，教齡7年），加拿大G小學(xué)五年級(jí)T-k教師（女，教齡14年），以及任課班級(jí)的全部學(xué)生。通過如下方法搜集數(shù)據(jù)。

1.訪談法。課前訪談搜集教師對(duì)授課內(nèi)容本質(zhì)、重難點(diǎn)、學(xué)生的理解、常見錯(cuò)誤的預(yù)設(shè)及原因分析，以及針對(duì)錯(cuò)誤所采用的教學(xué)表征。課后訪談搜集預(yù)設(shè)與真實(shí)教學(xué)中的差別及原因等問題。專家訪談評(píng)價(jià)任課教師在學(xué)科內(nèi)容、學(xué)生知識(shí)、學(xué)習(xí)錯(cuò)誤分析、教學(xué)表征等方面的適切度。通過出聲思維（think aloud）搜集學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的思考過程。

2.課堂觀察法。旨在搜集教師教學(xué)設(shè)計(jì)的落實(shí)情況，對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的覺知、態(tài)度和教學(xué)表征；搜集學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤。

3.文本搜集法。搜集作業(yè)、練習(xí)、測試卷等，篩選學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具體表現(xiàn)；搜集教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，分析其教學(xué)思路。

通過文本數(shù)據(jù)歸因分類學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤表現(xiàn)分布。通過專家維度（數(shù)學(xué)教育專家E-m、小學(xué)數(shù)學(xué)教研員E-w）評(píng)價(jià)分析教師教學(xué)，根據(jù)學(xué)科教學(xué)知識(shí)水平評(píng)價(jià)量表[6]判斷教師PCK水平。

三、結(jié)果分析

中國大陸“三位數(shù)乘兩位數(shù)”在四年級(jí)上學(xué)期教授（2學(xué)時(shí)）。要求學(xué)生根據(jù)規(guī)律法則正確運(yùn)算、理解算理、尋求簡潔合理運(yùn)算途徑外，還能應(yīng)用該知識(shí)解決生活中的問題，并能對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義做出解釋、能在具體情境下選擇合適方法進(jìn)行估算。

加拿大安大略省1—8年級(jí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求：到五年級(jí)末學(xué)生能使用多種策略解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)問題，能總結(jié)出算法特別是標(biāo)準(zhǔn)算法，能在解決問題時(shí)使用估算來判斷和檢驗(yàn)結(jié)果；到六年級(jí)末學(xué)生能計(jì)算四位數(shù)乘兩位數(shù)。現(xiàn)行教材中在六年級(jí)上冊(cè)中出現(xiàn)了三位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容，但課程標(biāo)準(zhǔn)并未做明確要求，教師可在授課時(shí)彈性處理。本研究中T-k教師在五年級(jí)末教授，使用3—5次課完成（每次課約2小時(shí)）。

（一）加拿大學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤比率明顯高于中國大陸學(xué)生

本研究基于作業(yè)、練習(xí)中的錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)，通過教師、專家、學(xué)生的訪談，計(jì)算題目中出現(xiàn)錯(cuò)誤的頻次和比例并分析原因。統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，加拿大學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤率比中國大陸學(xué)生高24.7%（參見表1）。

表1 三位數(shù)乘兩位數(shù)中加學(xué)生學(xué)習(xí)錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)總表

圖1 “三位數(shù)乘兩位數(shù)”三種典型錯(cuò)誤類型分布比例圖

（二）中加學(xué)生的系統(tǒng)錯(cuò)誤呈現(xiàn)三種類型且分布比例相似

在中加學(xué)生學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)均呈現(xiàn)三種典型錯(cuò)誤類型：計(jì)算過程錯(cuò)誤、數(shù)位錯(cuò)誤、算理迷思錯(cuò)誤。錯(cuò)誤類型分布比例參見圖1。

中加兩國各類型錯(cuò)誤比例分布較為相似，錯(cuò)誤均集中在計(jì)算過程錯(cuò)誤：首先表現(xiàn)在乘法乘錯(cuò)、加法加錯(cuò)、進(jìn)位錯(cuò)誤；其次是數(shù)位錯(cuò)誤，學(xué)生沒有明確“十位的數(shù)字與上面乘，得出結(jié)果的意義”而導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)位上出現(xiàn)迷思。加拿大學(xué)生算理迷思錯(cuò)誤僅5%，在課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，T-k教師非常重視算理的講授，且用相當(dāng)長時(shí)間溫習(xí)乘法算理；通過對(duì)“未完成”數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，其中部分是由于學(xué)生沒有理解乘法算理“個(gè)位與上面的數(shù)依次乘得出結(jié)果，然后十位與上面的數(shù)依次乘得出結(jié)果，將兩次結(jié)果相加”（E-m），導(dǎo)致不知如何計(jì)算而擱置。具體樣例及原因分析如表2。

分析發(fā)現(xiàn)，T-g教師班級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤多為算理迷思和拆分錯(cuò)誤；T-s教師班級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤多為計(jì)算過程的錯(cuò)誤；T-m教師班級(jí)學(xué)生的錯(cuò)誤多為算理迷思和計(jì)算錯(cuò)誤，且比重較大，數(shù)位錯(cuò)誤中與“0”相關(guān)的錯(cuò)誤較多，這與教師在教學(xué)中未充分幫助學(xué)生理解數(shù)位中十位“0”和個(gè)位“0”的意義有關(guān)。T-k教師多為計(jì)算過程錯(cuò)誤，與T-s教師班級(jí)結(jié)果相似，且學(xué)生未完成的比例較大。而學(xué)習(xí)錯(cuò)誤分布比例與教師教學(xué)側(cè)重點(diǎn)關(guān)系很大。如，T-g教師在算理講授中未很好地給學(xué)生搭建“腳手架”，將拆分法與豎式建立起聯(lián)系，T-s教師重算理講授多于算法，T-m教師在學(xué)生未充分理解算理和熟悉算法時(shí)關(guān)注高難題目練習(xí)，導(dǎo)致錯(cuò)誤比例較高。T-k教師較注重算法講授和常見錯(cuò)誤“預(yù)警”，給學(xué)生充分自主選擇權(quán)。

（三）中加教師能夠預(yù)設(shè)并分析學(xué)習(xí)錯(cuò)誤且有一定覺知和行動(dòng)

1.教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤有一定預(yù)設(shè)及理解分析

教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有一定的理解與經(jīng)驗(yàn)積累。中加兩國教師均能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行學(xué)情分析，對(duì)學(xué)生的先在知識(shí)和能力的把握處于“熟練”水平，中國大陸教師在訪談中指出學(xué)生已有掌握表內(nèi)乘法、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)，學(xué)習(xí)過列表、拆分等多種計(jì)算方法；加拿大T-k教師指出學(xué)生已知道個(gè)位數(shù)乘法計(jì)算以及計(jì)算過程中進(jìn)位問題。T-m教師對(duì)于本課要求的算法多樣化中預(yù)設(shè)到學(xué)生多數(shù)會(huì)采用熟悉的拆分方法，認(rèn)為“列表法運(yùn)用得特別少，學(xué)生可能想不起來”。T-s、T-k教師“能對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤類型進(jìn)行較有條理的分類及歸因”；T-m教師對(duì)學(xué)生存在的常見錯(cuò)誤列舉不夠豐富，T-g在學(xué)習(xí)錯(cuò)誤方面預(yù)設(shè)不夠全面。盡管他們均有多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，但在課后的訪談中，教師均提到實(shí)際教學(xué)中仍存在未預(yù)測到的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并能對(duì)此做出相應(yīng)的反思和分析。

表2 三種典型錯(cuò)誤類型分布樣例及原因分析

2.教師對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的覺知能力不夠全面，個(gè)別錯(cuò)誤專業(yè)判斷失誤

教師們能預(yù)設(shè)到學(xué)生呈現(xiàn)的大部分錯(cuò)誤，且在教學(xué)過程中能夠覺知，但依然不夠全面。中國大陸教師受制于時(shí)空、人力限制無法針對(duì)性地解決每一個(gè)學(xué)生的問題，教師在巡查學(xué)生時(shí)將個(gè)別錯(cuò)誤簡單歸為馬虎、計(jì)算錯(cuò)誤，未進(jìn)一步詳細(xì)幫其分析是計(jì)算的哪個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤及原因，只簡單告之“算錯(cuò)了，再看看”或“認(rèn)真點(diǎn)”。在對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)分析中發(fā)現(xiàn)T-m教師的學(xué)生錯(cuò)誤呈現(xiàn)接續(xù)性特點(diǎn)，相同人的相同類型錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn)，可見教師沒有覺知學(xué)生錯(cuò)誤的“接續(xù)性特點(diǎn)”并予以及時(shí)關(guān)注和解決。T-s教師較為強(qiáng)調(diào)計(jì)算書寫規(guī)范，“沒有按照規(guī)定作答，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔”（T-s），均判為錯(cuò)誤；而研究中發(fā)現(xiàn)加拿大T-k教學(xué)中末尾有“0”的計(jì)算過程中并沒有特別強(qiáng)調(diào)需要省略，T-k教師反思“設(shè)計(jì)的應(yīng)用題沒想到給學(xué)生制造了困難或錯(cuò)誤”，說明學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)有待完善。總之，在教學(xué)中教師應(yīng)讓學(xué)生掌握常規(guī)的計(jì)算方法，但一味強(qiáng)調(diào)“通用”“常見”的方法“不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維和知識(shí)理解，導(dǎo)致機(jī)械記憶”（E-m）。

（四）教師能基于對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的理解預(yù)設(shè)并呈現(xiàn)適切的教學(xué)表征

1.教師能基于對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的理解預(yù)設(shè)教學(xué)表征

教師們對(duì)上述學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的預(yù)設(shè)與分析均有預(yù)案。如T-s教師對(duì)于學(xué)生“乘法數(shù)乘錯(cuò)，加法數(shù)加錯(cuò)”的錯(cuò)誤，可讓學(xué)生“觀察算的那層是什么意思，他仔細(xì)看會(huì)發(fā)現(xiàn)只用第一個(gè)乘數(shù)去乘了第二個(gè)乘數(shù)的個(gè)位，他沒有接著計(jì)算，這時(shí)回歸算理，把第一個(gè)乘數(shù)圈起來，給他指兩個(gè)箭頭，第一個(gè)箭頭指向個(gè)位，第二個(gè)箭頭指向十位。若乘數(shù)不是一位時(shí)，不能一次就算完，若是兩位數(shù)，要算兩次，若是三位，要算三次，這是一種技能的強(qiáng)化”。T-m教師課前設(shè)計(jì)練習(xí)兩位數(shù)乘以兩位數(shù)幫助學(xué)生溫習(xí)算理，為新知識(shí)學(xué)習(xí)做鋪墊，強(qiáng)調(diào)在課堂教學(xué)時(shí)重點(diǎn)講算理，降低學(xué)生的錯(cuò)誤。T-k教師設(shè)計(jì)50個(gè)乘法題目練習(xí)（多為13以下的兩位數(shù)乘一位數(shù)），幫助學(xué)生鞏固乘法的計(jì)算能力。四位教師設(shè)計(jì)了相同的問題解決教學(xué)策略，即“T-P-S”（Think-Pair-Share），先獨(dú)立思考，再與同伴分享，在交流中學(xué)習(xí)他人做法，讓出現(xiàn)錯(cuò)誤的同學(xué)發(fā)現(xiàn)問題并通過比較分析查找原因、更正錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生自己解決問題，解決不了則在組間或有由全班集體解決。

2.教師能基于對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析采取適切的教學(xué)策略

課堂教學(xué)中，中國大陸三位教師均能基于學(xué)生現(xiàn)狀開展教學(xué)，教學(xué)環(huán)節(jié)相似，即在簡單復(fù)習(xí)后利用教材中情境，讓學(xué)生獨(dú)立探索解決三位數(shù)乘兩位數(shù)的問題；教師通常不會(huì)馬上糾正在該環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生，而讓學(xué)生在小組討論時(shí)自省、互助糾正，針對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤在小組匯報(bào)時(shí)教師提出問題或分析闡述。四位教師均重視講解算理，在與學(xué)生共同示范三位乘兩位數(shù)時(shí)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)“數(shù)位”的意義。但在對(duì)待學(xué)生錯(cuò)誤方面，中國大陸教師針對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生采取提示或互相質(zhì)疑的方式，通過不斷地發(fā)問直至澄清結(jié)果；加拿大教師注重維護(hù)學(xué)生的“自尊心”和“自信心”，較少公開討論針對(duì)個(gè)體學(xué)生的錯(cuò)誤。

3.教師的PCK水平介于“基本”和“熟練”之間

就PCK總體水平而言，T-s處于“熟練”水平，T-m、T-g、T-k處于“基本”和“熟練”之間。其中T-s、T-m、T-k教師在基于教學(xué)內(nèi)容、重難點(diǎn)的策略和挑戰(zhàn)學(xué)生的迷思概念、學(xué)習(xí)錯(cuò)誤、學(xué)習(xí)困難等的策略表現(xiàn)“熟練”，說明教師能夠按照預(yù)設(shè)的內(nèi)容開展教學(xué)。四位教師常使用“誰聽懂了？”“你是怎么想的？”的追問來掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度。T-s教師認(rèn)為，“在教學(xué)中不提倡告訴學(xué)生解題思路，主張學(xué)生在觀察、質(zhì)疑和討論中自己發(fā)現(xiàn)問題所在和解題思路，讓學(xué)生自己去體會(huì)。學(xué)生在討論中進(jìn)行矛盾激化，當(dāng)學(xué)生都解決不了時(shí)，我才會(huì)進(jìn)行導(dǎo)向，讓學(xué)生明白其中道理。這樣的問題，我會(huì)處理得比較細(xì)致。”T-m、T-g、T-k教師基于學(xué)生的反饋所做出的教學(xué)決策及調(diào)試稍顯欠缺，處于“基本”水平，且T-g教師課后反思不夠充分，影響其PCK整體水平。

四、研究結(jié)論

1.兩國教師關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)信念有所差別，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成效

加拿大教師重視自由民主，學(xué)生可根據(jù)自身能力完成作業(yè)，看重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的“快樂”“自信”，盡可能避免過度學(xué)習(xí)和高難度題目帶來的挫敗感，教學(xué)中極少直接指出學(xué)習(xí)錯(cuò)誤并立即糾正和鞏固練習(xí)。中國T-g和T-s教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)常采取全體關(guān)注“引以為戒”的教學(xué)方式進(jìn)行糾錯(cuò)和鞏固練習(xí)。教學(xué)理念的差別可能是導(dǎo)致學(xué)習(xí)錯(cuò)誤比率差別的原因之一。

2.中加學(xué)生在“三位數(shù)乘兩位數(shù)”學(xué)習(xí)中呈現(xiàn)三類系統(tǒng)錯(cuò)誤且分布比例相近

該領(lǐng)域?qū)W習(xí)中學(xué)生呈現(xiàn)三類典型的系統(tǒng)錯(cuò)誤，由高到低依次為計(jì)算過程錯(cuò)誤、數(shù)位錯(cuò)誤、算理迷思錯(cuò)誤，分布比例相似，說明在本研究中學(xué)習(xí)錯(cuò)誤類型分布具有一定規(guī)律。計(jì)算過程錯(cuò)誤比例較大，應(yīng)予以關(guān)注，熟練表內(nèi)乘法及進(jìn)位時(shí)規(guī)范標(biāo)記，減少或避免錯(cuò)誤。此外，“數(shù)位”也是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

3.教師對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤有一定預(yù)設(shè)和覺知行動(dòng)，但并未意識(shí)其功能價(jià)值

研究顯示，教師們?cè)趯W(xué)習(xí)錯(cuò)誤類型或具體表現(xiàn)方面有一定經(jīng)驗(yàn)積累，能分析原因、預(yù)設(shè)教學(xué)表征。教學(xué)中能有意識(shí)地觀察并識(shí)別學(xué)習(xí)錯(cuò)誤、解析原因，較多采用引導(dǎo)式系列提問，或?qū)W生間質(zhì)疑、提問，幫助其澄清錯(cuò)誤，得出正確答案。但面對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，教師并未意識(shí)到其功能價(jià)值，未有意識(shí)地去分析錯(cuò)誤規(guī)律、調(diào)試教學(xué)，如各班級(jí)均呈現(xiàn)集中的錯(cuò)誤類型，但教師未搜集或分析學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)存在的問題，處理問題時(shí)多針對(duì)個(gè)人，而非典型群體，個(gè)別學(xué)生的接續(xù)性錯(cuò)誤未得到應(yīng)有的關(guān)注與糾正。

4.教師對(duì)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)和學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的理解影響其教學(xué)實(shí)施

教師們對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解均處于“熟練”水平，能夠把握學(xué)科知識(shí)本質(zhì)。但實(shí)際教學(xué)中，由于教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)（如學(xué)習(xí)困難、水平、錯(cuò)誤等）的理解存在差別，導(dǎo)致其教學(xué)表征水平有所差別。對(duì)于學(xué)習(xí)錯(cuò)誤理解較為全面且能夠基于預(yù)設(shè)和學(xué)生實(shí)際反應(yīng)做出適時(shí)教學(xué)決策的教師其教學(xué)實(shí)施較為順利且有質(zhì)量（如T-s），對(duì)于學(xué)習(xí)錯(cuò)誤預(yù)設(shè)不足（如T-g）、對(duì)于學(xué)生對(duì)特定任務(wù)表現(xiàn)預(yù)估不完全（如T-k），基于學(xué)生的反饋而做出的教學(xué)表征及其調(diào)試欠缺（如T-m、T-g、T-k），均影響其PCK整體水平和在教學(xué)實(shí)施過程中的行為表現(xiàn)。可見，教師對(duì)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)和學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的理解直接影響其教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)成效。

5.教材在中加教學(xué)中發(fā)揮的作用有所差別

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的基本素材，兩國在教材使用上差別較大。中國大陸教學(xué)圍繞特定版本教科書展開，教材編排直接影響教與學(xué)。如本課中“估算”環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)影響了教師對(duì)教學(xué)的理解與教學(xué)時(shí)間比例分配；“列表法”影響學(xué)生對(duì)數(shù)位的理解，導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械列表，對(duì)數(shù)字所在數(shù)位產(chǎn)生迷思，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此教師未引導(dǎo)學(xué)生理解教材中典型例子含義，或?qū)?nèi)容進(jìn)行取舍，會(huì)影響學(xué)生對(duì)特定內(nèi)容的理解，甚至引發(fā)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤。

加拿大教科書雖版本較多，但教師教學(xué)多基于各省“課程標(biāo)準(zhǔn)”及“學(xué)習(xí)期望”開發(fā)課程資源、制定學(xué)習(xí)目標(biāo)，較少依賴教材，因此教師的教學(xué)能力直接影響課程質(zhì)量與學(xué)習(xí)成效。

五、研究啟示

1.學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是研究教師PCK的新視角

目前國際上關(guān)于PCK的研究較為豐富，通過案例探討不同類型（新手、經(jīng)驗(yàn)、專家）教師的PCK現(xiàn)狀與特征，借助工具間接探討特征和水平，但較少從學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的視域研究教師的PCK。教師的學(xué)科知識(shí)是穩(wěn)定的，PCK卻越來越復(fù)雜，特別是有關(guān)學(xué)生的知識(shí)，PCK構(gòu)架也從簡單的線性呈現(xiàn)方式轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的網(wǎng)狀構(gòu)架，且知識(shí)架構(gòu)中心圍繞學(xué)生，對(duì)學(xué)生的理解可促進(jìn)PCK及其他相關(guān)知識(shí)的整合[7]，影響教學(xué)表征[8]。學(xué)習(xí)錯(cuò)誤又是學(xué)生知識(shí)中的重要方面，受其先在知識(shí)、迷思概念、學(xué)習(xí)困難等影響。教師對(duì)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的理解能體現(xiàn)其對(duì)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)與學(xué)生知識(shí)的把握，反映PCK水平。只有深入理解學(xué)生的學(xué)習(xí)才能實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)教學(xué)，因此需要教師成為反思性實(shí)踐者，以學(xué)生如何學(xué)習(xí)的知識(shí)為基礎(chǔ)，發(fā)展教師改進(jìn)教學(xué)的觸覺。[9]

2.將學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤作為課程資源促進(jìn)“少而深”式教學(xué)

學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤不能簡單地解釋為“突發(fā)事件”，很多錯(cuò)誤也不能機(jī)械地歸因于無意識(shí)、粗心等，一些錯(cuò)誤是規(guī)律的、經(jīng)常性的、持續(xù)性的、技術(shù)性的，可歸因于特定的學(xué)習(xí)困難經(jīng)歷或一些外在干擾。[10]因此，要重視學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值，通過分析、探索其特點(diǎn)、規(guī)律和原因，實(shí)施“基于證據(jù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)和差異化教學(xué)，將錯(cuò)誤作為課程設(shè)計(jì)依據(jù)、從反面思考學(xué)與教，做到少量主題、較廣覆蓋、注重深度的“少而深”式教學(xué)，著眼于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的整體理解，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)和方法的遷移，避免無效或低效的重復(fù)訓(xùn)練。

3.發(fā)揮學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

當(dāng)下的學(xué)習(xí)已不再滿足于掌握知識(shí)和技能、得出正確答案，更要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)本身和思維能力的培養(yǎng)（如美國NCTM、英國課程標(biāo)準(zhǔn)等均對(duì)此做出要求）。利用錯(cuò)誤促進(jìn)師生間“數(shù)學(xué)地交流”，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容或主題，通過精心設(shè)計(jì)問題情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，深度探究，掌握數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，經(jīng)歷有意義的學(xué)習(xí)過程，把握所學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)所學(xué)內(nèi)容的思維方法，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，在解決問題的過程中，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

4.跨文化的比較研究促進(jìn)教學(xué)上的相互理解與互惠學(xué)習(xí)

文化與教育制度永遠(yuǎn)是一個(gè)不可分割的整體，研究者需要了解大量的教育背景信息，摒棄偏見，在跨文化的比較研究中并非比較優(yōu)劣長短，更多的是理解、學(xué)習(xí)和借鑒，促進(jìn)自我反思、提升教學(xué)研究與實(shí)踐。▲

[1][9]黃顯華,霍秉坤,徐慧璇.現(xiàn)代學(xué)習(xí)與教學(xué)論[M].北京：人民教育出版社,2014.

[2]解書,馬云鵬.國外學(xué)科教學(xué)知識(shí)內(nèi)涵研究的分析與思考[J].外國教育研究,2013（6）：59-68.

[3]Brown J S,Burton R R.Diagnostic Models for Procedural Bugs in Basic Mathematics[J].Cognitive Science,1978（2）：155-192.

[4]鄭毓信,梁貫成.認(rèn)知科學(xué),建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].上海：上海教育出版社,1998.

[5]Cox L S.Systematic errors in the four vertical algorithms in normal and handicapped populations[J].Journal for Research in Mathematics Education,1975，6（4）：202-220.

[6][8]解書.小學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)及特征分析[D].長春：東北師范大學(xué),2013.

[7]Van Driel J H,Verloop N,de Vos W.Developing science teachers'pedagogical content knowledge[J].Journal of Research in Science Teaching,1998,35（6）：673-695.

[10]Radatz H.Students’errors in the mathematical learning process：a survey[J].For the Learning of Mathematics,1980，1（1）：18.