淺談微積分的認識在物理教學中的應用

摘 要：微積分納入數學高考，強化了數學思維，豐富了物理問題解決的途徑.本文闡釋了對微積分的認識，并結合生活實例和高考真題，例析了在物理學中的應用.這有益于高三復習效率的提升，有益于用好數學工具解決物理問題能力的培養.

關鍵詞：微積分；認識；應用

作者簡介：唐克明（1974-），男，湖北武漢，大學本科，高級職稱，研究方向：中學物理教學研究.2017年高考數學《考試大綱》[1]中明確指出：“導數及其應用（微積分的應用）作為高考必考的二十一個章節之一；考綱中將其列為第十七章，系人教版教材選修2-2的第一章.”2017年的《考試說明》[2]強調“考查導數的概念、幾何意義、運算及應用，重點考查利用導數的方法研究函數的單調性、極值，研究方程和不等式.”查閱2016年高考數學理科三套全國卷，微積分的考查約占10%，凸顯了微積分在數學高考中的應用.這是新課改的一大亮點，強化了數學知識能力的培養，為解決物理問題增添了新的工具.使很多原本只能定性而無法量化的物理問題，有了數學知識作為理性支撐.如何用好這一數學工具，使學生主動將之與物理問題進行關聯，提升學生解題的綜合能力，引導學生深入生活從而激發理論緊密聯系實際的學習興趣，是廣大教育工作者響應新課改要求所需要考慮的重要問題.

1 微積分起源發展的簡述

恩格斯（1820-1895）[3]說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了！”由此可見，微積分成為一門學科大約是在17世紀.

然而，微積分的起源最早可追溯到公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念.但是，公元前最為有影響力的是“公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想.”[4]

國內最有影響力的是三國時期（公元263年）魏人劉徽[5]提出的“割圓術”思想，它在分割的過程中運用的是基礎的幾何與代數，優點在于直觀且形象的表達，并且提出了一種極限思想：可以通過趨近的手段得到一個任意精確度的結果.

到了十七世紀，哥倫布發現新大陸，哥白尼創立日心說，伽利略出版《力學對話》，開普勒發現行星運動規律——航海的需要，礦山的開發，火松制造提出了一系列的力學和數學的問題，這些問題也就成了促使微積分產生的因素，微積分在這樣的條件下誕生是必然的.[4]

微積分的萌芽、發生與發展經歷了漫長的時期.正如人教版教材[6]所述“終于，在17世紀牛頓和萊布尼茨在前人探索與研究的基礎上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨立地創立了微積分.”

2 微積分本質的簡述

什么是微積分呢？它是一種數學思想，無限細分就是微分，無限求和就是積分.無限就是極限，極限的思想就是微積分的基礎.[7]

其實縱觀微積分的發展可知，微積分是關于運動和變化的數學，本質上說微積分是為了滿足力學發展的需要而發明的，它使人們能夠從物體現在的位置和作用在物體上力來計算該物體將來的位置，求平面上不規則區域的面積，度量曲線的長度，以及求任意空間物體的體積和質量[8]. 后來，牛頓一萊布尼茲公式又解決了求變速運動、變力做功等問題，進一步完善了經典力學結構.從幾何意義的角度看，微分就是求導，探討曲線的切線的斜率；積分就是探討曲邊形面積.

3 微積分應用的優點

（1）微積分能夠形象、生動地描繪出整個物理解題過程[9]，有助于學生對題目的記憶和理解，能夠使學生更快掌握物理題目中包含的本質，有效提高物理規律的嚴謹性、科學性[10].如應用中的例1.

（2）大部分物理規律都比較抽象，雖然能夠應用精準的語言來描述，但仍無法進一步具體化.通過運用微積分思想來構建物理模型，則能巧妙表現出物理規律的本質，使其變得具體化，便于學生接受和理解[10].

（3）在物理解題過程中合理運用微積分，會顯著加快物理解題的速度，同時能夠快速找到一些新的解題途徑，不但發散了物理解題思維，而且有助于學生對物理知識的鞏固和理解[10].endprint