淺談中學數學中數形結合的思想

江敏娟

摘 要：數學教學重在培養學生的思想和數學思維，運用一定的教學和學習策略，讓學生首先掌握基本的數學知識、概念和定理，然后再結合抽象邏輯思維和具體圖形進行分析，從而相對透徹地理解數學的內涵，以達到增強學生數學思維能力的目的。中學數學學習的基本方法是數形結合思想，這就要求學生把抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，讓數與形的信息相互滲透，由此可以開拓學生的解題思路，使數學問題簡單化。淺析了中學數學中數形結合的思想，希望能指導教學，從而提高學生學習數學的能力。

關鍵詞：數形結合；中學數學；數學概念

中學數學大綱指出：“通過對數形結合思想的教學，對學生進行對立統一觀點的教育。”學生對數形結合思想的認識、理解、掌握和熟練運用是一個有序的進程。這跟一個數學題型和一個數學知識點是不同的，不是通過幾節課的學習就可以掌握和運用的。因此要讓學生熟練掌握數形結合思想，就必須在數學教學的每一個環節當中都有所突出，例如，從最初的對數學概念的理解，到數學課堂中的講解，再到解決數學問題時的運用和練習，都滲透著這一思想。只有這樣，學生才能在潛移默化中熟悉并靈活使用數形結合思想。

一、什么是數形結合思想

偉大的數學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉化成一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”由此可見，圖象對數學問題的解決有著很大的幫助作用。整個中學數學的學習中始終貫穿著數形結合的思想，數軸與實數的對應關系、反比例及一次、二次函數、指數函數以及三角函數等都體現了數形結合的思想。只有認識了數學思想，才能認識數學知識的本質，只有在培養學生對數學思想的認識上花大功夫，才能讓其學會活用知識，達到知識正遷移的效果。數學知識反過來是數學思想的載體，知識要通過思想去理解、去建構，缺乏思想，知識就是空洞的，便失去了意義。然而，在實際的數學教學活動中，在傳統的教學思想框架下，很多教師并不重視對數學思想方法的理解和傳授，還是注重對知識的教授，從而忽略了講解知識的過程在對其相應數學思想的滲透，導致學生無法做到對知識的舉一反三。由此，數學思想的滲透，可以使學生帶著輕松愉悅的心情學習數學，提高學生學習數學的能力，培養其創新精神。由于數形結合問題可供選擇的范圍較大，對知識的覆蓋面廣，綜合性和邏輯性較強，因此必須培養學生獨立探索的能力和創新精神。

二、中學數學中數形結合思想的應用

（一）數學概念教學中的數形結合思想

人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的反映形式就是數學概念，即一種數學思維模式。在教授數學概念時，教師要突出數形結合思想的教學目標，創設相應的數學情境，讓學生對所學概念理解透徹。通常教材上給出的概念是比較抽象的，不利于學生進行理解，例如，在講解圓與圓的位置關系時，外切、相離、相交、內含和內切等五種關系，就是“形”，而教材上給出的以d、r1、r2之間的數量關系來判斷兩圓的位置關系，就是“數”。對比之下，教材上的講解就相當抽象，不利于學生理解，也不利于激發其數學學習的興趣。因此，在上課前，教師可以讓學生制作數學知識的模型，上課時，以實物作參照來講解知識，這樣學生就能借助“形”的直觀性來研究“數”的特征。

（二）數形結合思想在函數中的應用

函數是中學數學的一個重要部分，很多學生在學習函數時都覺得難度較大，在高考中所占比重也較大。在學習函數時，教師運用數形結合的思想進行教學，能有效地幫助學生理解函數性質定理的相關內容，清晰地分析函數的基本條件，從而讓學生明白解題的關鍵，增強其數學學習的自信心。二次函數的抽象性很強，為此很多學生覺得疑惑不解，做題比較困難。采用圖象的方式題目就變得直觀易懂多了，二次函數圖象能將抽象的函數關系用比較直觀的圖象表達出來，有助于學生正確寫出函數中各點的坐標，從而求出函數的解析式。中學生不太能完全理解數形結合的思想，所以應用起來也不夠熟練，大多數情況下，學生選擇用數形結合思想來解題，都是因為他們無法理解題目中的函數內容，對于學生來說，用代數法來解決函數問題是他們的習慣。因此，在進行數學函數的教學時，要突出數形結合思想，運用函數直觀圖象幫助學生深入理解函數概念，強化學生轉換函數表達方式的能力。

（三）數形結合思想對學生積極性的培養

數學概念、公式等知識都明顯地被寫在教材中，學生可以看得見，是為有形的，但是數學思想作為一種隱含在數學知識體系中的東西，是無形的，并且零散地分散在教材內容當中。所以，教師作為教學活動的主要執行者，必須要更新教學理念，要從思想上認識到在數學課堂中滲透數學思想方法的重要性，將掌握數學知識和滲透數學思想方法都作為教學目標，在教學設計中突出數學思想方法。同時教師要認真鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數形結合思想方法的滲透方式，在實際教學活動中展開實施。如此一來，學生在學習過程中，受到教師潛移默化的影響，有助于學生明白數形結合思想的重要性，并提高自主學習的意識，養成良好的學習習慣。

三、如何培養學生數形結合思想

（一）例題講解中，突出數形結合思想

數學知識的教學有兩個要點，即明線——數學知識以及暗線——數學思想方法。自新課改以來，數學教材中加入了很多探究活動和討論及思考的內容，探究性學習和創新型學習成了時下教學的熱點話題，新教材更加注重學生學習方式的轉變和數學思想的培養。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。由此可以說明，數形結合思想在數學教學中的重要性，因此，在講解例題時，教師應該先讓學生自己尋找解決方法，學生答題時，教師應該查看其解答情況。對于一頭霧水、無從下手的學生，教師應該進行逐步引導，先讓其畫出圖象，再引導其根據圖象得出題目答案。同時教師應該指出是數形結合的思想，讓題目難度降低，并要求學生掌握這種思想并熟練應用。比如說方程和函數：x2+3x+2=0的解是二次函數y=x2+3x+2，y=0時函數與x軸的交點。在解這個題目時，首先學生會用代數法得出方程的解，然后就需要運用數形結合思想，畫出函數圖像，就能看出函數與x軸的交點，從而寫出交點坐標。由此可得，數形結合思想不僅可以降低題目難度，還能提高解題的準確性。

（二）反復訓練，不斷總結

學生數形結合數學思想的形成，必須經過循序漸進和反復訓練，如此一來，學生才能真正地理解和掌握數形結合思想。在教學活動中，教師對數學思想的提煉和概括是十分重要的，教師要有意識地培養學生自我提煉知識要點和概括數學思想方法的能力，同時要在恰當的時間做總結，讓學生意識到數學思想的重要作用，這樣才能切實落實數學思想方法的滲透。例如，在章節學習結束時，教師應該帶領學生集體復習本章節所學數學知識，在復習的過程中師生共同把其中的數形結合思想方法概括出來，這樣學生獨立分析問題和解決問題的能力都能得到提升。比如在復習二次函數時，在師生共同復習知識點的過程中，教師要讓學生明確地認識到：函數解析式中每個參數的變化都會引起函數圖象的變化，同時圖象的位置也決定著每個參數的大小變化。通過這種復習方式，學生更加了解二次函數中隱含的數形結合思想，在后續學習中，解決數學問題時也會變得更加靈活。

（三）重視數形結合思想在教學中的運用

中學數學不僅僅是讓學生掌握一定的數學知識，更要培養學生的數學意識，鍛煉其數學思維。中學數學教學的核心任務是培養學生的數學思想和現代思維，這是素質教育的根本要求。中學數學教學方法主要是數形結合，這有助于學生把數學抽象概念、理論和直觀的具體圖象相結合，達到具體思維和抽象思維的聯合。數形結合思想能夠引導學生對數學現象進行全面具體的分析，既開拓了學生的視野，同時也讓他們學會從不同的層次和角度觀察和分析事物，進而學會分析問題和思考問題，從而培養其良好的思維模式。數形結合思想把抽象的數學概念、問題和邏輯與較直觀的數學圖象結合起來，從而統一了靜態思維與動態變化，使得學生能直觀地看到問題所在，同時又可以動態地觀察和分析深層次的問題，使其學會用變化、發展的眼光看問題。而且，數形結合思想對培養學生的抽象思維和具體概括能力也有很大幫助，這對學生推斷能力的發展也有巨大的促進作用，有助于其更好地運用數學解決生產和生活中的實際問題，讓數學不再是課本上的知識，而是真正能指導實踐的知識體系。

四、數形結合思想應用的原則及途徑

（一）等價原則

等價原則是指將具有代數性質的“數”轉化成相應的具有幾何性質的“形”，也就是說要解決的問題的形與數之間的對應關系具有一致性。方程或不等式問題經常可以轉化為兩個圖象的交點位置關系的問題，然后借助函數圖象和性質解決相關問題。

例如：方程x3=2sinx的跟實數個數為

A.3個 B.5個 C.7個 D.9個

錯解：作函數y= 與y=-2sinx的草圖。由于兩個函數都是奇函數，所以只需要作x>0或x=0的部分，又因為x>8時， >2≥2sinx。所以圖形只需取[0，3π]就行了。除原點外還有一個交點，再由奇偶性知有7個交點，故選C。

當x= 時，（ ） = >2x>2sin 。由此可得，在（0，2π）內還有一個交點，因此答案為D。

（二）坐標法

中學數學學習的一個轉折點就是建立坐標系，從而使初等數學進入數形結合階段。坐標系主要應用在兩個方面，一是將幾何問題轉化成代數問題，通過得出代數結論從而得到幾何結論；二是將代數問題轉化成幾何問題，通過獲得幾何結論得到代數結論。

例如：若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y-x≥1，則z=y+2x的最大值等于多少？

分析：首先根據題目條件畫出可行域，設z=2x+y，然后利用z的集合意義求最值，則只需要求出直線z=2x+y經過可行域內的點B時，從而得出z的最大值即可。

解：先根據題目條件畫出可行域，設z=2x+y，最大值是y軸上的截距的最大值，當直線z=2x+y經過區域內的點B（1，2）時，z最大，最大值是4.

總之，由于幾何具有直觀性，所以數形結合思想是從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋找解決代數問題的方法。用形象直觀的圖像來幫助教學活動順利進行，把抽象問題變得直觀一些，使復雜問題變得簡單化，從而解決問題，這就是數形結合思想的實質。數形結合思想有其深刻的科學內涵，因此要求教育工作者將其作為中學數學教學中一種必不可少的工具，在日常的教學活動中合理地滲透數形結合思想，借助數軸和坐標系，同時結合教材內容來引導學生解決問題，提升學生解決問題的能力。本文關于中學數學中的數形結合思想做了簡要探討，首先就數形結合思想的含義作一闡述，進而對數形結合思想在中學數學中的應用作一展示，接著提出如何培養中學生的數形結合思想，最后得出培養中學生數形結合思想的原則和途徑。通過本文寫作，以期對數學教學改革和發展有一定的推動作用。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學[M].杭州：浙江教育出版社，2002.

[2]李冬勝.數學思維方法[M].太原：山西人民出版社，2010.

編輯 溫雪蓮