淺析初中教材中的數學思想

鄭淑花

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確把數學思想方法納入了九年制義務教育基礎知識的范疇。數學基礎知識是指：數學中的概念、性質、法則、公式、公理以及由其內容反映出來的數學思想方法。因此在數學教學中滲透數學思想是全面提高數學教學質量的重要途徑。

初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本、最主要的有：轉化的思想方法，數形結合的思想方法，分類討論的思想方法，方程的思想方法等。

一、轉化思想

轉化思想是指在研究和解決數學問題時由一種數學對象轉化為另一種數學對象時所采用的數學方法的指導思想。運用轉化思想可以把復雜問題簡單化，一般問題特殊化，從而完成數與數、形與形、數與形的轉化。比如，對于多邊形的性質定理的證明以及多邊形的有關計算中，我們都是把多邊形轉化為三角形進行推理論證或計算的。再如，一元一次方程是最簡單的方程，在解二元一次方程組、三元一次方程組、分式方程、一元二次方程時，都是轉化為一元一次方程來解決的，無一例外都滲透著轉化的數學思想。

請看下面兩個簡單的例子，體會其中的數學思想。

例1：已知：2a+3b-6=0求6b+4a的值。

分析：可以用轉化思想將6b+4a轉化為2（2a+3b）

例2：已知a，b為互不相等的實數，且滿足a2+3a=7，b2+3b=7，求 + 的值。

解析：一般的方法是通過解方程a2+3a=7，b2+3b=7，求出a，b的值，再代入求值，但這種解法既繁瑣又易出錯。其實，根據題意，不妨把a，b看成是一元二次方程x2+3x=7的兩個實數根，利用根與系數的關系，這樣問題就迎刃而解了。

二、方程思想

方程思想是指利用方程或方程組解決數學問題的指導思想。如列方程解應用題，求函數解析式，利用根的判別式關系求字母系數的取值等。在教學時，可以有意識地引導學生發現等量關系從而建立方程。如講“用待定系數法確定二次函數解析式”時，可啟發學生發現確定解析式的關鍵是求出各項系數，可把各項系數看成三個“未知量”，利用方程思想來解決，學生就會自覺地去找三個等量關系建立方程組。

方程思想的應用非常廣泛，在眾多的數學思想中顯得十分重要。請看下面的例子：

某年太原市生產運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產運營用水和家庭用水各多少立方米？

分析：這是中考試題中一道簡單通俗的題目。本題中所涉及的是等量關系，可以運用方程的思想來解答，本題的設置旨在培養學生方程的思想。

從以上這些簡單的小例子可以觀察出，方程的思想在初中數學中占據著極其重要的地位，但是只要我們弄清楚數量之間的關系，靈活運用，問題就會迎刃而解。

三、數形結合思想

數形結合思想是通過數與形的結合來研究和解決數學問題的指導思想，它可以使抽象問題具體化、形象化，使幾何的圖形問題數量化。例如數軸的使用，數軸是體現數形結合思想的一個重要工具。在學習“正、負數大小比較”時，由于學生在之前只是初步認識了負數，因此在總結比較的方法時比較困難，而利用數軸能很好地解決這一問題。因為實數與數軸上的點是一一對應的，因此，兩個數的大小比較，可以通過這兩個數在數軸上的對應點的位置關系進行。再如，在求一元一次不等式組的解集時，把求出的每個不等式的解集在數軸上表示出來，進而很形象地得到不等式組的解集。

常用的數學思想方法有很多，而數形結合思想可以將抽象的數量關系形象化，直觀性強、易理解、易接受。將直觀圖形數量化，轉化成數學運算，常會降低難度，并且使知識的理解更加深刻明了。

四、分類思想

分類思想是根據要求確定分類標準，然后將數學對象劃分為不同種類加以研究的指導思想。對數學對象分類時應遵循兩個原則：（1）在同一問題中分類按同一標準進行；（2）分類要做到不重、不漏。分類有利于對問題深入研究，發現解題思路，這對培養學生分析問題和解決問題的能力大有幫助。

初中數學中有許多體現“分類討論”思想的知識和技能，無論在代數還是幾何中都能找到。如：有理數的定義；絕對值的定義等；證明圓周角定理；一元一次不等式（組）的解法；一元二次方程根的判別式等；點、直線、圓之間的位置關系；函數圖象的性質等。

看下面例題：

例1：“五一”期間，某超市推出如下購物優惠方案：

（1）一次性購物在100元（不含100元）以內時，不享受優惠；

（2）一次性購物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以內時一律享受九折的優惠；

（3）一次性購物在300元（含300元）以上時，一律享受八折的優惠。

在此期間某顧客一次性購物付款252元，那么該顧客比平時購買總價相同的商品（沒有優惠的時候）優惠了多少元？

解析：此題中有一個不明確的地方是：顧客付款252元，那么他所購買的商品的實際價格是在300元以下，還是多于300元呢？因此應分兩種情況討論：若是享受了優惠方案（2），則商品實價為252÷0.9=280元；若是享受了優惠方案（3），則商品實價為252÷0.8=315元.

像這樣的問題，一定要按可能出現的情境來分類，教學中發現學生往往會漏解。

例2：解不等式（k-1）x>k2-1

很多學生會得到x>k+1，這是錯誤的，應充分考慮到k-1的取值有三種不同的情況。正確的解法是：

解：當k-1>0 即k>1時，則x>k+1；

當k-1=0 即k=1時，原不等式為0·x>0，不等式無解；

當k-1<0 即k<1時，則x

綜上所述：當k>1時，x>k+1；當k=1時，不等式無解；當k<1時，x

數學中的分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性。教師在教學過程中，都應有意識地突出分類討論思想，并應用在具體情境中，讓學生更好地掌握好初中數學中的分類討論思想。

在數學教學過程中，對教材內容所反映出的數學思想，要結合教學實際予以滲透、解釋和總結歸納，以提高學生的認識，逐步培養學生運用數學思想解決問題的能力。因此，我們要認真鉆研教材，充分發掘提煉在教材中的數學思想和方法，并弄清每一章節主要體現的數學思想，做到心中有數。總之，數學思想、方法的教學研究是中學數學教研的一個重要課題，是提高教學質量的關鍵，因此必須予以重視。

編輯 郭小琴