優(yōu)化教學(xué)問題，助推學(xué)生思維起航

杜永溪

摘 要：思維過程的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，學(xué)生的思維過程往往從問題開始。在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)設(shè)計(jì)略高于學(xué)生智力和知識(shí)發(fā)展水平、富有啟發(fā)性的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引起學(xué)生思考，并有意識(shí)地為學(xué)生發(fā)現(xiàn)疑難問題、解決疑難問題提供橋梁和階梯，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計(jì)；教學(xué)問題；思維能力

問題是數(shù)學(xué)的心臟。學(xué)生的思維過程往往從問題開始。在教學(xué)過程中，教師會(huì)設(shè)置許多問題，有意識(shí)地為學(xué)生發(fā)現(xiàn)疑難問題、解決疑難問題提供橋梁和階梯，但由于問題單調(diào)、陳舊、零敲碎打、毫無聯(lián)系，激發(fā)不起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引不起學(xué)生思考，與培養(yǎng)學(xué)生思維能力的宗旨背道而馳。如何設(shè)計(jì)略高于學(xué)生智力和知識(shí)發(fā)展水平、富有啟發(fā)性的問題，是值得我們數(shù)學(xué)老師認(rèn)真思考的課題。本文將以“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)為依托，闡述如何設(shè)計(jì)教學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、要真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教學(xué)過程應(yīng)設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的問題

例如，在三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)、猜想、證明過程中，教師一般會(huì)采取以下教學(xué)方式：

（1）讓學(xué)生做一張三角形紙片，撕下三個(gè)角按要求拼接，觀察、猜想拼得的角的度數(shù)。

（2）學(xué)生猜想是180°。

（3）教師引導(dǎo)，這只是猜想，還要求數(shù)學(xué)的證明。

（4）給出證明：如圖，延長(zhǎng)BC到F，過C點(diǎn)作CE∥AB，有∠ECF=∠ABC，∠ACE=∠BAC，則∠ACB+∠ACE+∠ECF=180°，即∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°。

以上教學(xué)方式，看似讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明的知識(shí)探索過程，實(shí)際是限制了學(xué)生的思維發(fā)展。尤其是對(duì)定理的證明：為什么如此添加輔助線？為什么要“搬動(dòng)”∠A和∠B，為什么要“搬動(dòng)”到頂點(diǎn)C的位置？其他位置可以嗎？搬動(dòng)兩個(gè)角或三個(gè)角可以嗎？這些問題如果都沒有思考，學(xué)生就體會(huì)不到定理的證明方法滲透了怎樣的數(shù)學(xué)思想，思維能力就沒有得到鍛煉。

事實(shí)上，可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)問題：

（1）在猜想的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考問題：在已有的知識(shí)中，哪些知識(shí)涉及180°？學(xué)生不難想到“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”或者“平角是180°”。

（2）再讓學(xué)生思考問題：能將“三角形的內(nèi)角和”的問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識(shí)解決嗎？學(xué)生會(huì)很積極地思考，一般情況下學(xué)生能想到以下不同方法：

① ② ③

④ ⑤ ⑥

（3）老師提出問題：以上這么多的方法，分別運(yùn)用了哪些已學(xué)的知識(shí)？你可以把這些方法歸類嗎？學(xué)生經(jīng)過思考分析后，不難發(fā)現(xiàn)其中①至③是運(yùn)用平行線移動(dòng)一個(gè)角到一個(gè)頂點(diǎn)處，向兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化，④至⑥是運(yùn)用平行線移動(dòng)兩個(gè)角到一個(gè)頂點(diǎn)處，向180°的平角轉(zhuǎn)化。

（4）繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考問題：是否可以“移動(dòng)”三個(gè)角，公共頂點(diǎn)不在三角形頂點(diǎn)？學(xué)生可以很自然地想到運(yùn)用平行線把三個(gè)角移動(dòng)到三角形的某條邊上，或者三角形內(nèi)部一點(diǎn)上，或者三角形外部一點(diǎn)上。

經(jīng)過以上的探究，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生逐步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)——將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為同旁內(nèi)角互補(bǔ)或平角即可，至于“移動(dòng)”幾個(gè)角，公共頂點(diǎn)在哪兒并不重要。這就使學(xué)生真正理解“三角形內(nèi)角和定理”的證明方法，有效地啟發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、要真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)認(rèn)真挖掘知識(shí)內(nèi)涵

“三角形內(nèi)角和定理”揭示的就是三角形中三個(gè)內(nèi)角的一種數(shù)量關(guān)系，是我們把握三角形的一種重要工具。當(dāng)學(xué)生抓住了這一知識(shí)內(nèi)涵，就能靈活運(yùn)用它解決許多有關(guān)三角形的角的計(jì)算和推理問題。我在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”之后設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)問題：

1.已知△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，則∠C= °；

2.已知△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，則∠B= °；

3.適合條件∠A= ∠B= ∠C的△ABC的形狀為 ；

4.在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，則∠B= °；

5.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是整數(shù)，且∠A<∠B<∠C，4∠C=7∠A，求三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

6.如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是兩組對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，EG、FG分別平分∠BEC、∠DFC，若∠ADC=60°，∠ABC=80°，求∠EGF的大小。

以上六個(gè)問題都是涉及三角形內(nèi)角的問題，都是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解，問題1體現(xiàn)了三角形中已知兩角求第三個(gè)角，利用三角形三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系可以直接求解；問題3、4、5，則需要根據(jù)定理中的三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系建立方程（組）或不等式，才能較好地解決問題。問題6更是需要多次運(yùn)用這個(gè)數(shù)量關(guān)系，才能找到求角的思路，從而使學(xué)生更深刻地感受和理解定理的本質(zhì)內(nèi)涵，就是反映三角形中三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系。利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系可以建立方程，把三角形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的方程問題，通過解方程求出有關(guān)角的大小。

三、要真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，設(shè)計(jì)教學(xué)問題應(yīng)加強(qiáng)知識(shí)的推廣與拓展

在學(xué)習(xí)了“三角形的內(nèi)角和定理及其推論”后，有一個(gè)常規(guī)的問題值得探究：

問題1：已知，如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)I，求∠AIB的度數(shù)。

本題難度不大，學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余和角平分線的定義推出∠IAB+∠IBA=45°，再由△AIB的三個(gè)內(nèi)角和等于180°，求得∠AIB=135°。

但是，我們不應(yīng)該滿足此問題的解決，還可以有更進(jìn)一步的聯(lián)想和探究：有同學(xué)發(fā)現(xiàn)所求的∠AIB的度數(shù)正好是∠C的一半，進(jìn)而引發(fā)猜想。

問題2：若問題1中的∠C不是直角，而是一個(gè)一般的角，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)I，∠AIB的度數(shù)還是∠C的一半嗎？請(qǐng)?zhí)骄俊螦IB與∠C的數(shù)量關(guān)系。

這是一個(gè)從特殊到一般的問題，學(xué)生通過問題1特殊情形下的思考，可以探究出∠AIB與∠C的一般數(shù)量關(guān)系。老師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：這個(gè)結(jié)論反映的是三角形兩條內(nèi)角平分線的夾角與三角形中第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系。

那我們還能做出哪些聯(lián)想呢？可以聯(lián)系三角形的外角平分線，于是就有了下面兩個(gè)類似的問題：

問題3：如圖，AE、BE是△ABC的外角平分線，交于點(diǎn)E，請(qǐng)?zhí)骄俊螮與∠C的數(shù)量關(guān)系。

問題4：如圖，AE、BE分別為△ABC的內(nèi)角∠BAC和外角∠CBD的平分線，交于點(diǎn)E，請(qǐng)?zhí)骄俊螮和∠C的數(shù)量關(guān)系。

這兩個(gè)問題的難度都不小。如果學(xué)生遇到困難，可以引導(dǎo)學(xué)生先假定∠C的度數(shù)，如∠C=50°，然后求∠E的度數(shù)；再參照求解方法，過渡到設(shè)∠C=x°，得到一般情形下兩角的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生經(jīng)過這三個(gè)類似背景的問題的探究，可以很好地體會(huì)到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，也能感受到數(shù)學(xué)探究的樂趣和成就感，進(jìn)而鍛煉了思維能力。（注：以上三個(gè)題目的答案依次為∠AIB=90°+ ∠C，∠E=90°- ∠C，∠E= ∠C。）

四、要真正培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，應(yīng)該注意習(xí)題的通法教學(xué)的設(shè)計(jì)

例如這樣一個(gè)常規(guī)題目：如圖，求五角星的五個(gè)角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和。

一般情況下，教師會(huì)利用三角形外角性質(zhì)把∠A、∠B、∠D和∠E轉(zhuǎn)化集中到△CFG中，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求出角度和為180°。

此種解法就此題而言，無可挑剔，但是從培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生的頭腦真正動(dòng)起來的角度來看，就沒有達(dá)到理想的效果。因?yàn)榇朔N解法不是通法，本題也還有挖掘拓展的空間：求類似的七角星、九角星……的各角的和。

上面講的方法就行不通了。而求和的通法是：

如圖，連接CD，在△BGE和△CGD中，

因?yàn)椤螩GD=∠BGE

所以∠B+∠E=∠GCD+∠GDC

在△ACD中，

所以∠A+∠ACE+∠ADB+∠GCD+∠GDC=180°

所以∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=180°。

五角星的問題解決了，可以適當(dāng)總結(jié)：連接線段，構(gòu)造基本圖形，把各角轉(zhuǎn)化集中到一個(gè)三角形中，運(yùn)用內(nèi)角和定理求解。進(jìn)而可求七角星、九角星的各角和。只是連接輔助線的條數(shù)分別增加為2條和3條，轉(zhuǎn)化的次數(shù)也分別增加為2次和3次。

“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。”而思維過程的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，必須設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)問題，讓每一個(gè)學(xué)生都能參與到思考和探究活動(dòng)中來，通過各種探究活動(dòng)，調(diào)動(dòng)思維運(yùn)轉(zhuǎn)，體會(huì)“做數(shù)學(xué)”的樂趣和成就感，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 郭小琴