借助直觀圖形平衡算理與算法的關(guān)系

張易 宋佳琪

摘 要：文章以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法”為例，提出了借助直觀圖形來平衡算理與算法的觀點，結(jié)合教學實踐，提煉出“以形解數(shù)，聯(lián)系舊知，探索算法”“數(shù)形結(jié)合，理解算理，形成算法”“以數(shù)闡數(shù)，鞏固算理，提煉算法”的三點策略。

關(guān)鍵詞：算理；算法；直觀圖形；平衡關(guān)系

計算存在于數(shù)學學習的每一個環(huán)節(jié)之中，是小學數(shù)學教學的主要內(nèi)容之一。但正是這重要的一環(huán)，卻是老師最為頭疼、學生最不愿意學習的知識。要上好計算課，最重要的是要平衡好算理和算法的關(guān)系。在計算教學中，算理和算法是必然存在的一對朋友。算理，即計算的道理，主要回答“為什么這樣算”的問題；算法，即計算的方法，主要解決的是“怎樣計算”的問題。算理是計算的依據(jù)，是算法的基礎，而算法則是依據(jù)算理提煉出來的計算方法和法則，二者相輔相成，缺一不可。本文以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法”一課為例，淺談如何利用直觀圖形，促進學生內(nèi)化算理，形成算法，平衡好算理和算法的關(guān)系。

一、以形解數(shù)，聯(lián)系舊知，探索算法

教學片段一：

師：14×12到底是多少呢？老師用這幅點子圖來表示這12套書。下面我們馬上借助點子圖，圈一圈，計算14×12的結(jié)果，完成后和你的同桌交流一下。

師：誰愿意來分享一下你的想法？

生1：14×2=28（本）；14×10=140（本）；140+28=168（本）。

師追問：聯(lián)系點子圖，說一說28求的是什么？140求的又是什么？

生2：先算6套有多少本，再乘2就是12套有多少本了：14×6×2=168（本）。

師追問：為什么要乘2？

師：你們真厲害，想出了這么多的方法，可老師有個疑問，你們?yōu)槭裁匆?2拆成10和2、6和6呢？

師小結(jié)：說得對，這些同學把兩位數(shù)乘兩位數(shù)這個新知識轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)乘一位數(shù)或整十數(shù)的舊知識。在數(shù)學中，轉(zhuǎn)化是一種重要的思想方法，我們在以后的學習中會經(jīng)常用到。

思考：本環(huán)節(jié)的學習是建立在已有舊知的基礎上進行的。口算的算理可以說是學生已有的“舊知”，在算理的基礎上探索口算的算法。學生可以借助點子圖來進行探究。12行點子表示12套書，每行14個點子表示1套14本書，將抽象的數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，根據(jù)點子圖直觀感知12套書的數(shù)量，教師引導學生觀察思考，聯(lián)系舊知，可以將12行進行拆分，分成10行和2行。這樣的回答給其他學生打開了思路，接著就會有人想到12行還有不同的分法，分成2個6行、3個4行等。在思考的過程中，教師要提醒學生計算的簡便性，提倡算法多樣化的同時要考慮算法優(yōu)化。根據(jù)不同的點子圖，列出相應的算式，再聯(lián)系點子圖，說一說算式的含義。

二、數(shù)形結(jié)合，理解算理，形成算法

教學片段二：

師：剛剛我們用口算的方法得到了14×12的積，現(xiàn)在能不能試著用豎式計算的方法得到答案呢？馬上嘗試一下。

師：我們再來看看這位同學的想法，他是用豎式計算的方法得到了答案，你看懂他是怎么算的嗎？誰來介紹一下。

生1：用個位的2去乘14得到28，用十位的1去乘14也就是10乘14得到140，個位的0省略不寫。最后28加140等于168。

師：你聽明白了嗎？誰再來說一說。

師：我們一起把這個計算過程再來梳理一下。首先在寫兩個乘數(shù)的時候相同數(shù)位要對齊。

師：第一步應該怎么算

生2：用個位的2乘14，得到28。

師：28在點子圖中指的是哪部分？是幾套書的本數(shù)？表示什么含義？可以用哪個算式來表示？

生3：28表示的是2套書的本數(shù)，表示2個14是多少，可以用算式14×2來表示。

師：然后怎么算？

生4：用10乘14，得到140，個位的0省略不寫。

師：為什么這個“4”要寫在十位上？為什么這個十位上的“1”和1相乘得到的1寫在百位上？14在這里表示什么含義？

師：140指的又是指點子圖的哪部分？是幾套書的本數(shù)？表示什么含義？可以用哪個算式表示？

生5：140表示的是10套書的本數(shù)，表示10個14是多少，可以用算式14×10來表示。

師：繼續(xù)往下計算，28+140=168，168在題目中表示什么含義？

師完善書寫：所以14×12等于168本，答：一共買了168本

師：現(xiàn)在誰能把計算過程再完整地來說一說？誰愿意再來說一說？

師：豎式計算的過程與我們之前的口算有什么相同的地方嗎？

思考：14×12的筆算過程和口算雖然寫法不同，但其思路是一致的。教師在分析筆算算法時，可以聯(lián)系口算來理解，能使學生更清楚地看到豎式計算的過程，促使學生在豎式上進行形式化的演算。學生在理解豎式的含義是，教師適時提問：“28在點子圖中指的是哪部分？是幾套書的本數(shù)？表示什么含義？可以用哪個算式來表示？”又將學生的視線從豎式拉回到了點子圖，筆算和口算中的28均表示圖中2套書的本數(shù)，由14×2得到，及時溝通豎式、點子圖、算式三者的關(guān)系，架起溝通口算和筆算的強梁，讓算理的感悟和算法的形成順其自然。有了理解豎式第一層積的經(jīng)驗，理解豎式中第二層積的含義就水到渠成了。14×10=140和豎式計算中的第二層積指的都是10套書的本數(shù)。這里是理解算理過程中的一道坎，教師要引導學生從點子圖出發(fā)，理解筆算算理，加深學生的直觀感知，化繁為簡，合理分配教學算理和算法的時間。

三、以數(shù)闡數(shù)，鞏固算理，提煉算法

教學片段三：

■

師：完成后同桌相互說一說計算過程。

師：請他自己來介紹一下第一題是怎么算的？3為什么寫在十位上，這里的23表示什么含義？（介紹第二題）

師：現(xiàn)在誰能來總結(jié)一下像這樣兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法是怎樣的？先和同桌討論一下。

師小結(jié)：先用第二個乘數(shù)個位上的數(shù)與第一個數(shù)相乘，再用第二個乘數(shù)十位上的數(shù)和第一個數(shù)相乘，最后把兩次乘得的積加起來。

思考：前兩個教學片段均利用了點子圖作為感悟算理、形成算法的學習工具。片段一，學生借助點子圖這一直觀模型自主探究口算過程。學生通過在點子圖上圈一圈，溝通圖和算式，直觀理解每個算式的含義。片段二，借助點子圖溝通口算和豎式每一步的計算過程，感悟算理和算法。有了前期的知識積累，脫離直觀圖形，直接抽象出“數(shù)”，引導學生以“數(shù)”闡“數(shù)”。經(jīng)歷完整的計算過程，掌握豎式中每一步結(jié)果的含義，鞏固算理，“3為什么寫在十位上？這里的23表示什么含義”？在多次的練習中形成經(jīng)驗，總結(jié)出兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的算法，將抽象化的算法具體化，更具現(xiàn)實意義。

借助直觀圖形，經(jīng)歷從“抽象數(shù)”到“具象模型”，再到“抽象數(shù)”的過程，將復雜的算理可視化、簡單化，使學生能夠直觀感知，促進算理的理解，依據(jù)算理總結(jié)提煉出算法。算理和算法在計算教學中相輔相成，一路同行。

參考文獻：

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[2]夏利波.以“筆算除法”為例談算理與算法的平衡[J].寧波教育學院學報，2014.

[3]舒孝翠.數(shù)形結(jié)合 內(nèi)化算理[J].小學數(shù)學研究，2013.

編輯 李琴芳