巧用定義解決圓錐曲線最值問題

■河南省溫縣第一高級中學(xué) 李賀偉

在高考中,以圓錐曲線為背景的最值問題,是解析幾何中的一類常見問題。當(dāng)一道題目涉及線段距離、圓錐曲線位置關(guān)系等,而且又與焦點(diǎn)有關(guān)時,通常可考慮利用定義來求解。利用圓錐曲線定義求解的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡單,規(guī)律性較強(qiáng)。而圓錐曲線的定義是由曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離來刻畫的,由此可對一些距離進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化,因此在解題中凡涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時,應(yīng)先想到利用定義進(jìn)行求解,這樣會有事半功倍之效。下面舉例說明如何巧用圓錐曲線的定義來求這類最值問題。

一、拋物線定義在最值中的巧用

拋物線定義:平面內(nèi),到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線。其中定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn),定直線叫拋物線的準(zhǔn)線。

例1 已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,P是拋物線上的動點(diǎn),點(diǎn)A(3,2),求|P A|+|P F|的最小值,并求出取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析:將x=3代入拋物線方程y2=2x,得。因?yàn)?所以A點(diǎn)在拋物線內(nèi)部,如圖1,設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,由定義知|P A|+|P F|=|P A|+d。

圖1

點(diǎn)評:本題利用拋物線的定義,將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,從而構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”,使問題獲解。

二、橢圓定義在最值問題中的巧用

橢圓定義:平面內(nèi),到兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的動點(diǎn)P的軌跡叫作橢圓。其中F1,F2稱為橢圓的兩個焦點(diǎn)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為|P F1|+|P F2|=2a(2a＞|F1F2|)。

(2)求|MA|+|MF|的最值。

分析:本題涉及橢圓的焦點(diǎn)、橢圓上的點(diǎn),這些都是橢圓定義的特征,所以結(jié)合定義及平面幾何知識即可解決。

解:根據(jù)題意知F(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn),橢圓的離心率為

圖2

(2)如圖3,根據(jù)橢圓的定義知|MF1|+|MF|=1 0。

圖3

故當(dāng)M0在A F1的延長線上時|MA|+|MF|取得最大值為

當(dāng)M0在F1A的延長線上時|MA|+|MF|取得最小值為

三、雙曲線定義在最值問題中的巧用

雙曲線定義:把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線。其中這兩個定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn),兩定點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距。

分析:目標(biāo)函數(shù)為|P F2|+|P B|,從一般方法來解比較困難,則我們可以從定義入手,利用雙曲線第一定義,把|P F2|轉(zhuǎn)化為|P F1|-8,而|P B|+|P F1|為平面內(nèi)三點(diǎn)距離之和,當(dāng)B,P,F1點(diǎn)共線時有最小值。

解:由題意得F1(-5,0)、F2(5,0),由雙曲線的第一定義得|P F1|-|P F2|=8,所以|P F2|+|P B|=|P F2|=|P F1|-8,當(dāng)P點(diǎn)在如圖4所示的位置時有最小值,即|P F1|+|P B|≥|B F1|=,所以|P F2|+|P B|的最小值為

圖4

此題巧用雙曲線的第一定義把|P F2|轉(zhuǎn)化為|P F1|-8,再結(jié)合平面幾何知識進(jìn)行分析,從而問題得解。