一道物理競賽題的多解探討

談姝 陳珂

摘要：靜力學是高中物理競賽中重點考察的內容之一，筆者通過一道競賽題，從不同的角度進行求解，運用多種物理思想，如微元法、巴普斯定理、虛功原理，加深學生對物理基本概念、基本原理的理解，對促進學生的物理思維品質有很好的啟發作用.

關鍵詞：微元法；質心；巴普斯定理；虛功原理

靜力學是高中物理競賽中重點考察的內容之一，筆者通過一道競賽題，從不同的角度進行求解，運用多種物理思想，加深學生對物理基本概念、基本原理的理解，對促進學生的物理思維品質有很好的啟發作用.

題目如圖1所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質量為ρ，試求鐵鏈A端受到的拉力T.

力觀點解法1“微元法”.微元思想是物理競賽中考察的一種重要思想.

在鐵鏈上任取長為ΔL的一小段（微元）為研究對象，其質量為Δm=ρΔL.如圖2，切向受力關系為：

Ti+1=Ti+Δmgcosθ即

ΔT=Δmgcosθ

由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大ΔT，所以整個鐵鏈對A端的拉力是各段上ΔT的和，即

T=∑ΔT=∑ρΔLgcosθ=ρg∑ΔLcosθ

其中，∑ΔLcosθ是鐵鏈長在豎直方向上的投影ΔR，即：T=ρg∑ΔR=ρgR.

力觀點解法2利用巴普斯定理的推論，確定鐵鏈的質心，再根據共點力原理求出拉力T.

根據巴普斯定理可以得到如下推論：一條質量均勻分布的平面曲線，其上各點沿垂直于曲線平面方向運動，在空間掃過一曲面，則此曲面的面積等于質心在運動中所經路程和曲線長度的乘積.

如圖3，設鐵鏈的質心為Oc（x，y），以y軸為中心，旋轉一周，掃過一半球面，其面積為S=2πR2，質心所經路程為L=2πx，根據巴普斯定理得到：S=2πR4L

因此質心橫坐標x=2Rπ，對鐵鏈受力分析如圖4，根據共點力的平衡可知：

T=mgtanα

其中α=xR=2π ，m=ρ2πR2

代入得：T=ρgR

能量觀點解法3假想在A端用拉力T使鐵鏈緩慢發生很小一段虛位移ΔL，由功能關系可知，拉力做功等于弧長為ΔL的鐵鏈增加的重力勢能，即：TΔL=ΔmgR=ρΔLgR.

整理得：T=ρgR

雖然前兩種方法比較繁瑣，但“微元法”的思想、質心概念、共點力平衡原理都是高中物理競賽中的重要思想及原理，解法3從能量觀點出發利用了“虛功”原理，達到了相同的效果，此法最為簡便.這種一題多解的體驗對學生對基本概念和基本原理的理解是不無裨益的、同時促進學生物理思維的廣度和靈活性.

參考文獻：

[1]舒幼生高中物理競賽培優教材[M].浙江大學出版社，2012，7.

[2]鐘小平高中物理競賽培優教程習題全解[M].浙江大學出版社，2014，11.endprint