依據(jù)平面幾何知識(shí)命制帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題實(shí)例

吳華瓊+馮慶

摘要：電磁學(xué)部分的高考計(jì)算題，常常以帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的形式出現(xiàn).掌握幾何基礎(chǔ)知識(shí)與電磁學(xué)知識(shí)，是對(duì)學(xué)生邏輯思維和分析能力的完善和提高.目前國(guó)內(nèi)的學(xué)者對(duì)電磁學(xué)試題有一定的研究，但少有對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題命制的研究.文章總結(jié)出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題的特點(diǎn)及這類(lèi)問(wèn)題的核心，并以此為出發(fā)點(diǎn)，列舉了根據(jù)平面幾何知識(shí)命制帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題的實(shí)例.

關(guān)鍵詞：電磁場(chǎng)；帶電粒子；高考試題；平面幾何

高考物理科要考查的能力主要包括理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?

考試大綱中電學(xué)部分的37個(gè)知識(shí)點(diǎn)近五年沒(méi)有變化.其中，“磁場(chǎng)”、“磁感應(yīng)強(qiáng)度”、“洛倫茲力”、“洛倫茲力的方向”屬于Ⅰ級(jí)要求，即要求了解和認(rèn)識(shí).“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”、“洛倫茲力公式”屬于Ⅱ要求，即要求理解和應(yīng)用.基于此，本文將著重研究高考重點(diǎn)——帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).

1帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題的特點(diǎn)

11通過(guò)幾何關(guān)系找圓心

這類(lèi)問(wèn)題在簡(jiǎn)單試題中最常見(jiàn)，也是很多復(fù)雜題目解題的關(guān)鍵步驟.例如2017年全國(guó)Ⅱ卷選擇題第18題、2016年海南高考卷計(jì)算題第14題.這類(lèi)問(wèn)題找圓心、定半徑是關(guān)鍵.找圓心需要作圖，畫(huà)垂線.求解半徑通常用平面幾何知識(shí)、勾股定理、余弦定理、正弦定理、特殊角的正余弦值等.

12多軌跡問(wèn)題

粒子的電性和磁場(chǎng)的方向的不確定性，運(yùn)動(dòng)的周期性，還有臨界狀態(tài)的不唯一等都會(huì)造成粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的多種可能.多軌跡問(wèn)題一般出現(xiàn)在計(jì)算題中，例如2014年重慶高考卷計(jì)算題第9題、2014年四川高考卷計(jì)算題第11題.

13復(fù)合場(chǎng)問(wèn)題

復(fù)合場(chǎng)包括：磁場(chǎng)和電場(chǎng)共存的場(chǎng)、電場(chǎng)和重力場(chǎng)共存的場(chǎng)、磁場(chǎng)與重力場(chǎng)共存的場(chǎng)、磁場(chǎng)、電場(chǎng)、重力場(chǎng)三者共存的場(chǎng).復(fù)合場(chǎng)的組成主要有組合場(chǎng)、疊加場(chǎng)和變化的復(fù)合場(chǎng)三種類(lèi)型.

組合場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)通常是分開(kāi)的.實(shí)際應(yīng)用如質(zhì)譜儀、速度選擇器、D形盒回旋加速器.也可以是分開(kāi)的不同強(qiáng)度的磁場(chǎng)和磁場(chǎng)，如2017年全國(guó)卷Ⅲ第24題.變化的復(fù)合場(chǎng)問(wèn)題綜合性最強(qiáng)，一般較復(fù)雜，通常出現(xiàn)在高考計(jì)算題中.受力分析時(shí)應(yīng)判定是否存在重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力.通常考查動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、圓周運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng).例如2013年江蘇高考卷計(jì)算題第15題.

14數(shù)列問(wèn)題

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理的能力是高考物理考查的五個(gè)基本能力之一，數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列、等比數(shù)列、特殊數(shù)列求和等經(jīng)常會(huì)應(yīng)用到帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.如果帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題考查到數(shù)列，題目一般都有較大的難度，通常出現(xiàn)在高考最后一道壓軸題上.如2011年重慶高考卷壓軸題第12題考查了等比數(shù)列，2015年天津卷壓軸題第12題考查了等差數(shù)列.

2帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的核心

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)僅受洛倫茲力時(shí)，洛倫茲力的方向與速度方向垂直，不做功，即不改變速度大小.如果僅考慮洛倫茲力，則粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分，高中物理僅研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.所以，只受洛倫茲力的情況下，粒子的軌跡是圓或圓的一部分弧.題目中具體會(huì)考查圓的圓心角、切線、弦、相交、相切等知識(shí)點(diǎn).所以，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類(lèi)試題很多都來(lái)源于平面幾何模型.這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于找圓心、定半徑.常涉及到的幾何關(guān)系有直線與圓的關(guān)系、圓與圓的關(guān)系等.

3命題思路

命制電磁學(xué)試題的方法有很多，可以從復(fù)雜的電磁學(xué)原理簡(jiǎn)化而來(lái)，如2013年上海卷32題.也可以從實(shí)際生活中的應(yīng)用而來(lái)，如2015年江蘇卷13題.但帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題更多來(lái)源于平面幾何模型.這里著重介紹應(yīng)用平面幾何知識(shí)命制高中物理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題的思路.

首先找到涉及直線與圓的求解證明等幾何類(lèi)題目，然后解題，最后根據(jù)幾何題目命制成物理中帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的試題.命制時(shí)應(yīng)考慮如下問(wèn)題：題目中運(yùn)動(dòng)的對(duì)象是帶電粒子，運(yùn)動(dòng)的環(huán)境有磁場(chǎng).基本粒子如電子、質(zhì)子、離子等不考慮重力，但是帶電液滴、帶電小球等物體需要考慮重力.如果僅僅存在磁場(chǎng)，帶電體只能是基本粒子才能做勻速圓周運(yùn)動(dòng).平面幾何中的直線可以看成是粒子滿足合外力為零的情況下的運(yùn)動(dòng)軌跡，或者是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡.平面幾何中的圓或者圓的一部分圓弧，可以看成是粒子僅受洛倫茲力時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡.平面幾何中的組合圖形可以看成是粒子多個(gè)運(yùn)動(dòng)的軌跡.

4命題實(shí)例

41幾何原題

如圖1，⊙C0、⊙C1半徑均為1，互相外切并且均與直線l相切.作⊙C2與⊙C0、⊙C1外切并且與l相切；作⊙C3與⊙C0、⊙C2外切并且與l相切……作⊙Cn與⊙C0、⊙Cn-1外切并且與l相切.求⊙Cn的半徑rn.

解析首先考慮圖2，設(shè)兩圓外切半徑為r、r′，第三個(gè)圓與前兩個(gè)圓外切，半徑為x，這三個(gè)圓又都與直線l相切，那么這時(shí)有

AB=r+x2-r-x2=2rx

BC=2r′x

AC=2rr′

于是rx+r′x=rr

即1x=1r+1r′①

這樣，在開(kāi)始所說(shuō)的問(wèn)題中，有

1rn=1rn-1+1②

由于r1=1，可逐步算出r2=14… 假定已有rn-1=1n-12，那么由②式立即得到rn=1n2.根據(jù)歸類(lèi)法，rn=1n2.

42命制思想

原題中⊙C0、⊙C1和直線l圍成的部分看做粒子運(yùn)動(dòng)的區(qū)域.⊙C2、⊙C3…⊙Cn看做多個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡.軌跡圓與區(qū)域邊界相切即粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑最大，對(duì)應(yīng)的粒子具有最大速度.求解半徑rn，就是物理試題中的定圓心求半徑.

添加帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)試題常考的周期問(wèn)題.⊙C2兩邊都有n個(gè)圓，可看成是粒子的多軌跡問(wèn)題.求半徑rn的過(guò)程考查了勾股定理、類(lèi)比歸類(lèi)和數(shù)列問(wèn)題，命制成物理試題就體現(xiàn)了考試大綱中要求的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理的能力.endprint

43電磁學(xué)試題

如圖3，AP⌒BP⌒分別是以O(shè)aOb為圓心，r為半徑的一段弧，兩圓相切于P點(diǎn)，且分別與OX軸相切于A、B點(diǎn)，O是AB中點(diǎn).在AP⌒BP⌒與OX軸圍成的區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng).零時(shí)刻起，有一束質(zhì)量為m、電荷量為q的離子，以不同速度先后從OX軸射入磁場(chǎng)后不飛出磁場(chǎng).不計(jì)重力和離子間的相互影響.

（1）求離子的最大速度.

（2）若以最大速度運(yùn)動(dòng)的離子是在t0時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)的，求該離子距離圓心Ob最近的時(shí)刻.

（3）若I點(diǎn)左右兩側(cè)分別有n個(gè)離子入射，且他們的運(yùn)動(dòng)剛好互不干擾.求這些離子的入射位置xn到B點(diǎn)的距離xnB與入射速度vn的函數(shù)關(guān)系.

解答（1）設(shè)離子的最大速度為v0，對(duì)應(yīng)的軌道半徑為r0.由題意知，以最大速度運(yùn)動(dòng)的離子軌跡同時(shí)與AP⌒BP⌒和OX軸相切，如圖4所示的圓O0.在ΔObO0C中，由勾股定理得

r+r02=r2+r-r02①

由①得r0=r4②

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力：

qv0B0=mv20r0③

由②③得v0=qB0r4m④

（2）在ΔObO0C中，sin∠ObO0C=r-r0r+r0=35，故∠ObO0C=37°.

離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=2πr0v0⑤

聯(lián)立②④⑤得T=2πmB0q⑥

當(dāng)離子做順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)：t=n+90+37360T+t0 n=0，1，2……⑦

由⑥⑦得t=n+1273602πmB0q+t0n=0，1，2……⑧

當(dāng)離子做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)：t=n+270-37360T+t0 n=0，1，2……⑨

由⑥⑨得t=n+2333602πmB0q+t0n=0，1，2⑩

（3）當(dāng)x>0時(shí)，假設(shè)O點(diǎn)右側(cè)第一個(gè)離子的運(yùn)動(dòng)速度為v1，對(duì)應(yīng)的軌道半徑為r1.由題意知，以速度v1運(yùn)動(dòng)的離子軌跡圓O1同時(shí)與BP⌒、圓O0、OX軸相切.如圖5，過(guò)圓O1的圓心作O0O、ObB的垂線，分別交于D點(diǎn)、E點(diǎn).則線段DE=DO1+O1E，由勾股定理得r0+r12-r0-r12+r+r12-r-r12=r+r02-r-r02

化簡(jiǎn)得r0r1+rr1=rr0

即1r+1r0=1r1

同理1r+1rn-1=1rn

當(dāng)n=1時(shí)，r1=r9；當(dāng)n=2時(shí)，r2=r16；當(dāng)n=3時(shí)，r3=r25……

rn=rn+22 n=1，2，3B11

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力：

qvnB0=mv2nrn

vn=qB0rnmB12

由B11B12得

r=n+22mvnB0q n=1，2，3……B13

0點(diǎn)右側(cè)第一個(gè)離子與B點(diǎn)的距離：

x1B=r-r0+r12-r0-r12=r-2r0r1

0點(diǎn)右側(cè)第二個(gè)離子與B點(diǎn)的距離：

x2B=r-2r0r1-2r1r2

0點(diǎn)右側(cè)第n個(gè)離子與B點(diǎn)的距離：

xnB=r-2r0r1-2r1r2-…-2rn-1rn

結(jié)合已知數(shù)據(jù)求得數(shù)列

r0r1+r1r2+…+rn-1rn=12-1n+2

故xnB=2n+2r n=1，2，3……B14

由B13B14得

xnB=2n+2mvnB0q n=1，2，3B15

當(dāng)x>0時(shí)，xnB=r+2r0r1+2r1r2+…+2rn-1rn

化簡(jiǎn)得xnB=2-2n+2r n=1，2，3……B16

由B13B16得

xnB=2n+1n+2mvnB0q n=1，2，3B17

參考文獻(xiàn)：

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