對2017年理綜新課標Ⅲ卷第25題多種解法分析

許龍

摘要：對2017年理綜新課標Ⅲ卷的板塊問題分別采用了牛頓運動定律、v-t圖象法和質點系動量定理分別進行分析解答.

關鍵詞：牛頓運動定律；v-t圖象法；質點系動量定理

板塊模型是高中物理學最經典的模型之一，以此可以考察牛頓運動定律、動量守恒和動量定理、相對運動和摩擦生熱等問題，尤其是其中的多過程考察學生的思維分析和運算能力，此類試題備受高考命題專家的青睞.對于2017年的新課標Ⅲ卷的“壓軸”大題就是在板塊模型的基礎上展開的.筆者以此為模型采用多種方法進行分析，以供學生參考.

1真題

如圖1所示，兩個滑塊A和B的質量分別為mA=1kg和mB=5kg，放在靜止于水平地面上的木板的兩端，兩者與木板間的動摩擦因數均為μ1=05；木板的質量為m=4kg，與地面間的動摩擦因數為μ2=01.某時刻A、B兩滑塊開始相向滑動，初速度大小均為v0=3m/s.A、B相遇時，A與木板恰好相對靜止.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2.求：

（1）B與木板相對靜止時，木板的速度；

（2）A、B開始運動時，兩者之間的距離.

這是一道非常經典的板塊模型問題，由于中間過程較多，加速度、速度不斷變化，在解題時需要較強的思維能力，以此作為提高理綜區分度的“壓軸”大題，是再合適不過的了.下面筆者主要對第二問分類分析.

2牛頓第二定律解析法

（1）首先對它們受力分析，如圖2所示

滑塊A和B在木板上滑動時A、B僅受木板的摩擦力大小分別為

fA=μ1mAg=5NfB=μ1mBg=25N

若木板運動需克服地面對其摩擦力f=μ2mA+mB+mg=10N，由受力分析示意圖可知，木板合力f=f′B-f′A-f=10N.

A和B相對地面的加速度大小分別為aA和aB，木板相對于地面的加速度大小為a1.可有牛頓第二定律得

f1 = mAaAf2 = mBaBf = ma1

解得

aA=5m/s2aB=5m/s2a1=25m/s2.

在物塊B與木板達到共同速度v1時，經歷時間t1有

v1=v0-aBt1=a1t1

解得

t1=04sv1=1m/s

（2）在t1=04s時間內，B運動位移

x1=v0t1-12aBt21=08m

在此時B與木板共速，由于A與B有相同大小加速度，初速度相同，故在此時A的速度大小也為v1=1m/s，方向向左.此后B與木板整體運動，其運動合力、加速度亦有所變化，此時二者合力為

f1+f3=mB+ma2

解得

a2=53m/s2

方向向左，整體做勻減速運動.

在此過程中A的運動方向始終與板運動方向相反，所以其摩擦力、加速度大小方向不變，使得A依然向左做勻減速運動，經過一段時間三者以v2共速，經過時間t2，得

v2=v1-a2t2=-v1+aAt2

解得

t2=03s，v2=05m/s

在此過程中B和木板向右滑行位移為x2，有

v22-v21=-2a2x2

解得

x2=0225m

整個過程中A的位移大小為x3，則有

v22-v20=-2aAx3

解得

x3=0875m

所以可得AB最初距離，也為木板長度為

L=x1+x2+x3=19m

3v-t圖象法

對于板塊模型用v-t圖象法會顯得更加方便，這里只需要找到某段過程的加速度和特殊的時間節點就行了.在整個過程中有以下重要信息.

四個加速度：A、B減速運動aA=5m/s2，aB=5m/s2；木板加速加速度a1=25m/s2；B與木板共速后共同減速加速度a2=53m/s2.

兩個時間：B減速和木板加速到共速時間t1=04s；B與木板整體減速和物塊A先減速后加速到共速時間t2=03s.

兩個共速：B減速與木板加速度到共速v1=1m/s；B與木板整體減速和物塊A先減速后加速后共速到v2=05m/s.

若以向右為正方向，得到三個物體的v-t圖象，如圖3所示.

AD為B減速過程，OD為木板加速過程，DE為B和木板共同減速過程，ACE為物塊A運動過程，可得凹四邊形ADEB所圍城的面積為A、B之間的最初距離：梯形ADCB和三角形CDE，有面積公式可得

x=CD+AB2·t1+12CD·t2=19m

該方法相對于牛頓運動定律非常方便，會極大的縮短運算時間.

4質點系動量定理分析法

質點系動量定理：一段時間內質點系動量的增量等于作用于質點系外力矢量和在這段時間內的沖量.采用此方法時要有很好的全局觀，只考慮初末狀態而無須深究其中細節，對學生的要求較高，一般只有參加過物理競賽或者自主招生的考生才會采用該方法.

整個過程中A、B與木板之間的摩擦力為內力，所受外力只有地面給木板的摩擦力f，作用總時間為t，可得

f=μ2mA+mB+mg=10N

若以向右為正方向則有

-ft=mA+mB+mv共-mBv0-mAv0

整個過程中A始終與木板相對滑動，合力為木板對其摩擦力fA，由動量定理可得

fAt=mAv0--mAv0

兩式聯立解得

t=07sv共=05m/s.

B與木板共速t1=04s，后與木板共同減速到與A共速用時t2=t-t1=03s，在整個過程中B運動位移

xB=v0+v12t1+v1+v共2t2

A運動位移

xA=v共+-v02t2

則BA相對位移為

L=xB-xA=19m

5總結

在近幾年的高考試題中板塊模型頻繁出現，如2015年新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷，2011年新課標卷都是對其運動多過程的細節分析，如果有些問題中再結合功能轉化的話，其難度又會進一步加強，對學生的要求會更高.這就要求我們教師在平時的教學中更要對這種模型深化研究和分析.

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英普通物理學教程-力學[M].北京：高等教育出版社，20056：95.endprint