含有兩個非線性電阻電路的圖解法探析

方洪+金燦

摘要：在含有非線性電阻的電路中， 由于非線性電阻的U-I圖是一條曲線，不便列方程進行代數運算，只能用作圖法求解當電路中含有兩個或兩個以上的不相同的非線性電阻時，需采用適當的方法處理和變換，才能利用作圖法求解.

關鍵詞：非線性電阻；伏安特性曲線；圖解法；等效法

非線性電阻的阻值會隨其電壓或電流的變化而改變，其伏安特性曲線是一條過坐標原點的曲線.在含有非線性電阻的電路中，因非線性電阻的U-I關系不便用函數方程描述，作圖法成為求解非線性電阻電路最有效的方法，這類試題對學生的能力要求較高，考查學生物理思維能力、物理實驗能力、科學探究能力和綜合應用能力雖然作圖法在求解非線性電阻電路問題時具有突出的優越性，但是，當電路中同時含有兩個或兩個以上的不同的非線性電阻時，必須采取適當的處理或變換，才能利用作圖法求解，本文以幾種典型電路為例，探討求解兩個非線性電阻實際工作功率的方法.

例題額定電壓均為220 V的燈泡“L1和L2，對應的伏安特性曲線如圖1所示，現有一220V的穩壓電源，內阻可忽略不計，一個滑動變阻器Rp，兩個阻值為440Ω的定值電阻R0，其阻值不隨溫度的改變而改變，若將這些元件連接成以下幾種電路，求此時燈泡L1和L2各自的實際功率.

1平移法

11等電流線平移法

問題1若將兩燈泡L1和L2串聯后直接在220V的電源上，電路如圖2所示，求此時燈泡L1、L2的實際功率？

解析電路為L1和L2串聯，流過L1和L2的電流及兩燈的電壓滿足I1=I2，U1+U2=220 V，由此可知，兩燈泡的實際工作點必然位于同一條豎直線（等電流線）上，將此等電流線不斷平移，直至與L1、L2的伏安特性曲線的兩交點a、b的電壓坐標之和等于220V，如圖3中虛線1所示，此時兩點坐標為a（022A，153V）和b（022A，67V），a、b兩點坐標值即為此時燈泡L1、L2的工作電流和工作電壓，由公式P=IU可計算得此時L1、L2的功率分別為337W和147W.

12等電壓線平移法

問題2若將兩燈泡L1和L2先并聯，再與滑動變阻器串聯后接在220V電源上，電路如圖4所示，利用滑動變阻器改變燈泡兩端的電壓，并測得其干路電流為045A，求此時燈泡L1、L2的實際功率？

解析電路為L1和L2并聯，流過L1和L2的電流及兩燈的電壓滿足I1+I2=I干=045A，U1=U2，由此可知，兩燈泡的實際工作點必然位于同一條水平直線（等電壓線）上，參考問題1中的平移法，找到虛線2，如圖3所示，使虛線2與兩伏安特性曲線交點c、d的電流坐標之和等于045A，兩點的坐標為c（016A，90V），d（029A，90V），可計算得L1、L2的功率分別為144W和261W.

點評平移法從串并聯電路的基本特性出發，牢牢抓住串聯電路各電阻電流相等和并聯電路的各并聯支路電壓相等這兩個規律，找到兩非線性電阻間電流和電壓的關系，作圖求解，思路自然、清晰，符合學生認知水平和思維習慣，當然，缺點是找到對應工作點的過程可能會花費較長的時間.

2相交法

將非線性電阻接入閉合電路時，電路依舊遵從閉合電路歐姆定律，由此可導出非線性電阻的電壓U和電流I滿足的線性函數關系，在U-I圖象上表現為一條直線；非線性電阻阻值是其本身的屬性，其阻值隨電流或電壓的變化關系體現在該電阻的伏安特性曲線上若將上述直線和曲線畫于同一張U-I圖上，交點即為該非線性電阻在此電路中的實際工作電流和電壓[1]

問題3若將兩燈泡L1和L2分別與一定值電阻R0串聯后，再并聯接在220V的電源上，電路如圖5所示，求此時燈泡L1、L2的實際功率？

解析通過燈泡L1回路所滿足的閉合電路歐姆定律為E=U1+I1R0，其中U1、I1分別為燈泡L1兩端的電壓和通過燈泡L1的電流，代入數值得U1=220-440I1，同理可得燈泡L2回路的閉合電路歐姆定律，U2=220-440I2，其中U2、I2分別為燈泡L2的電壓和電流 將上述兩方程所對應的直線畫在圖6中（兩直線恰好重合），設為直線3，如圖6所示，直線3與兩燈泡的伏安特性曲線分別相交于e、f兩點，對應坐標為e（021A，127V），f（029A，92V），計算得兩燈泡的實際功率均約為267W.

點評為使兩圖線的交點有意義，閉合電路歐姆定律方程U=E-Ir中的U和I應設為該非線性電阻上的電壓和電流，與該非線性電阻的伏安特性曲線上U和I的物理意義保持高度一致，只有在此前提條件下，兩圖線的交點才能代表該非線性電阻在此電路中的工作點.

3等效法

31兩非線性電阻串聯時的等效電阻法

問題4若將兩燈泡L1、L2與一個定值電阻R0串聯后接在220V的電源上，電路如圖7所示，求此時燈泡L1、L2的實際功率？

解析由閉合電路歐姆定律可得，E=U1+U2+I1R0，整理得U1+U2=220-440I1，發現方程中含有3個參量，無法直接作圖此時，可將燈泡L1，L2等效合并為一個燈泡L3，由于L1和L2串聯，兩燈的電流時刻相等，故等效燈泡L3的電流I3=I1=I2，L3兩端的電壓U3= U1+ U2，選取圖中所給數據換算后描點作圖，可畫得等效燈泡的伏安特性曲線L3，如圖6所示；閉合電路歐姆定律也可轉變為U3=220-440I3，在圖6中對應直線3，與等效燈泡L3的伏安特性曲線相交于g點，坐標為g（018A，142V），可知燈泡L1，L2的電流均為018A，根據L1、L2的伏安特性曲線可讀得兩燈泡的電壓分別為102V和40V，故兩燈泡的實際功率分別為184W和72W.

32兩非線性電阻并聯時的等效電阻法

問題5若將兩燈泡L1、L2并聯后，再與一定值電阻R0串聯，接在220V的電源上，電路如圖8所示，求此時燈泡L1、L2的實際功率？endprint

解析由閉合電路歐姆定律可得，E= U1+I1R0+I2R0，整理得U1 =220-440（I1+ I2），由于L1和L2并聯，兩燈的電壓時刻相等，將燈泡L1、L2等效合并為一個燈泡L4，等效燈泡L4的電流I4=I1+I2，L4兩端的電壓U4=U1=U2閉合電路歐姆定律可變為U4=220-440I4，描點作圖可畫得直線4和曲線L4，如圖9所示，兩圖線相交于h點，坐標為h（036A，64V），可知燈泡L1和L2的電壓均為64V，其實際工作電流分別為012A和023A，計算得兩燈的功率分別為77W和148W.

33等效電源法

根據戴維南定理，對于由獨立電源和線性電阻組成的單口二端網絡可以用一個電壓源來等效，其電動勢等于二端網絡的開路端電壓，等效內阻就是從此二端網絡的兩端看進去，當網絡內部獨立源的電動勢置零以后的電阻[2]

問題6若將兩燈泡先與R0并聯后，再與另一電阻R0串聯接入電源，電路如圖10所示，求此時兩燈泡的實際功率？

解析將圖10中虛線框內所示的二端網絡電路等效成一個新電源，其等效電源的電動勢等于框外電路斷路時的路端電壓，有E′=R0R0+R0E=12E=110V，等效電源的內阻為兩R0的并聯值，r′=12R0=220Ω，利用閉合電路歐姆定律，得E′=U4+I4r′，得線性方程U4=110-220I4，如圖9中直線5所示，與等效燈泡L4的伏安特性曲線相交于j點，坐標為j（029A，47V），可知兩燈泡此時的電壓均為47V，電流分別為009A和020A，兩燈的功率分別為42W和94W.

點評應用等效電阻法時，只需給定各電阻的伏安特性曲線，根據其串并聯的特點，就可以畫出其等效電阻的伏安特性曲線，從而簡化外電路；根據戴維南定理應用等效電源法時，若等效后的有源二端網絡電路仍為復雜電路，可再次運用戴維南定理，直至變為簡單電路從理論上講，即使遇到結構更為復雜的獨立源純電阻電路時，結合使用等效電阻法和等效電源法，就可以將其轉變為易于處理的簡單電路，而不必再糾結電路中含有幾個非線性電阻了.

參考文獻：

[1]王紅林，張波如何用實驗獲得的U-I圖象求小燈泡實際功率[J]. 物理教學， 2013（5）：26～27.

[2]高潔 戴維南定理在有源電路中的應用[J]. 今日科苑， 2007（02）：50.endprint