一道物理奧賽題的解答剖析及另解

徐鐘鴻+李小杰+王捷

摘要：一道物理奧賽培訓(xùn)試題的原參考解答在計(jì)算電場(chǎng)做功時(shí)存在對(duì)靜電勢(shì)能計(jì)算公式Ep=qφ的應(yīng)用錯(cuò)誤

關(guān)鍵詞：靜電能；作功；表面張力

為了方便讀者，將《國(guó)際物理奧賽的培訓(xùn)與選拔》一書(shū)中的熱學(xué)題220的原題及參考解答轉(zhuǎn)述于下

題目已知一半徑為R的球形肥皂膜上帶有電量Q，肥皂液的表面張力系數(shù)為σ試求：膜內(nèi)外的壓強(qiáng)差

參考解答設(shè)球形肥皂膜的半徑為R，帶電量Q，則膜表面的電勢(shì)φ為

φ=Q4πε0R，

設(shè)想肥皂膜經(jīng)一等溫過(guò)程，半徑由R變成R+dR，則外界對(duì)膜所作的功dW為

dW=dW1+dW2=（pi-p0）·dV-Qdφ

式中dW1=（pi-p0）dV為內(nèi)外氣體所作的功，dW2=-Qdφ為電場(chǎng)所作的功

由于在等溫過(guò)程中外界對(duì)液體（這里為肥皂液膜）所作的功等于液體自由能的增量

即dW=dF=σdA，所以

（pi-p0）dV-Qdφ=σdA，

因?yàn)?/p>

V=43πR3，dV=4πR2dR，dφ=-Q4πε0R2·dR，

A=2×4πR2，dA=16πRdR

所以（pi-p0）4πR2dR+Q24πε0R2dR=16πσRdR，

即Δp=（pi-p0）=4σR-Q2ε0（4πR2）2

筆者認(rèn)為該題中在求解dW2即電場(chǎng)所作的功的過(guò)程中存在錯(cuò)誤本文就出現(xiàn)這一問(wèn)題的原因進(jìn)行分析，并對(duì)原解答進(jìn)行修正，再?gòu)牧Φ钠胶饨嵌葘?duì)該題給出另一解答，從而驗(yàn)證修正后的解答

原解答利用的是功能原理，即在等溫過(guò)程中外界對(duì)肥皂液膜所作的功等于液體自由能的增量而外界對(duì)肥皂液膜所作的功又等于肥皂液膜在膨脹過(guò)程中內(nèi)外氣體對(duì)膜作的功（dW1）與帶電肥皂膜膨脹時(shí)抵抗靜電力所作的功（dW2）之和，即原解答中的dW=dW1+dW2但從電場(chǎng)作功dW2=-Qdφ看，原解答出現(xiàn)了錯(cuò)誤從原解答用表達(dá)式Qdφ計(jì)算靜電能的變化量來(lái)看，原解答考慮到了由于球的膨脹，電勢(shì)將會(huì)發(fā)生變化，但是原解答對(duì)一個(gè)不可分割的帶電球形肥皂膜的靜電能的理解是不對(duì)的對(duì)孤立帶電體而言，其靜電能就是它的自能，靜電能的改變量就是自能的改變量在帶電肥皂膜膨脹的過(guò)程中，總電荷量Q不會(huì)發(fā)生改變根據(jù)靜電能公式We=12σeφdS（φ為球面電勢(shì)，σe為電荷面密度，下同）可得dW2=dWe=12Qdφ，而非原解答中的Qdφ，兩者出現(xiàn)了12倍的差別究竟什么原因?qū)е略獯鸪霈F(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，筆者不去妄加推測(cè)，但筆者在這里需要強(qiáng)調(diào)的是對(duì)中學(xué)物理十分重要的電勢(shì)能公式Ep=qφ的理解在中學(xué)物理中，該公式計(jì)算的是一個(gè)點(diǎn)電荷在靜電場(chǎng)中所具有的電勢(shì)能在這里說(shuō)的電勢(shì)能實(shí)際上就是這個(gè)電荷與產(chǎn)生靜電場(chǎng)的電荷系統(tǒng)間的互能，而將其稱(chēng)為點(diǎn)電荷所具有的電勢(shì)能是一個(gè)并非準(zhǔn)確、但考慮到中學(xué)教學(xué)情況的一個(gè)妥協(xié)的說(shuō)法而此時(shí)的帶電球形肥皂膜是一個(gè)電荷連續(xù)分布的孤立帶電體，此時(shí)它的靜電能就是它的自能，應(yīng)用公式We=12σeφdS進(jìn)行計(jì)算因此原解中電場(chǎng)所作的功應(yīng)為dW2=12Qdφ

故正確解答為

dW=dW1+dW2=（pi-p0）·dV-12Qdφ

其中φ=Q4πε0R

故（pi-p0）dV-12Qdφ=σdA，

Δp=pi-p0=4σR-Q232π2R4ε0

下面從力的平衡角度入手給出該題的另一解答：

帶電肥皂膜表面的電場(chǎng)強(qiáng)度大小由文獻(xiàn)[2][3]可得知為E=σe2ε0，所以電場(chǎng)力對(duì)肥皂膜產(chǎn)生的向外的靜電壓強(qiáng)為σeE = σe·σe2ε0 = σ2e2ε0

肥皂膜內(nèi)、外兩表面張力形成的向內(nèi)的總附加壓強(qiáng)為4σR

考慮肥皂膜內(nèi)、外氣體壓強(qiáng)pi、p0和上述壓強(qiáng)平衡，有

pi + σ2e2ε0 = p0 + 4σR

因此，肥皂膜內(nèi)、外氣體壓強(qiáng)差為

Δ p = pi-p0 = 4σR-σ2e2ε0

將σe=Q4πR2代入，得到

Δp=4σR-Q232π2R4ε0

這與前文根據(jù)功能關(guān)系所做的修正解答得到的結(jié)果是相同的

注釋?zhuān)?/p>

①鄭永令國(guó)際物理奧賽的培訓(xùn)與選拔[M].廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社，2006（第1版）18.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱華，陳熙謀電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006，57-59

[2]蔡莉莉，張曉燕關(guān)于均勻帶電球面上電場(chǎng)強(qiáng)度的求解[J].物理與工程，2015，25：65-67

[3]牛慶林，王曉麗均勻帶電球面電場(chǎng)強(qiáng)度的再討論[J].臨沂大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，38（01）：142-144endprint