位相突變情況下的反射定律和折射定律

田徐騰越 高華 許玲玲 ??

摘要：前不久，世界頂級科學(xué)期刊《Science》報道了一種新穎的位相突變界面并通過實驗得以實現(xiàn).當(dāng)光波入射到這種界面上時，光波的位相不是連續(xù)積累的，而是由于界面上分布著的微型光學(xué)振蕩器的作用使得光波的位相發(fā)生突變.因此，光波在這種光學(xué)界面上的行為將與常規(guī)的反射、折射大不相同.本文以此為出發(fā)點推導(dǎo)了在引入位相突變情況下的反射定律、折射定律所具有的新形式，并與傳統(tǒng)的反射定律、折射定律進行了比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在引入位相突變時，反射角不再等于入射角，折射角、入射角的正弦值也不再與折射率成反比關(guān)系，二者均可根據(jù)位相突變的情形進行隨意的調(diào)節(jié).這一突出特性在現(xiàn)代光學(xué)設(shè)計等各個方面有著巨大的運用潛能，文章最后以新的反射定律為例，利用反射角與入射角不再相等的特性成功設(shè)計并實現(xiàn)了光的單向傳播.

關(guān)鍵詞：反射定律；折射定律；位相突變；單向通光

光波具有三個信息，振幅、頻率和位相，因此一個光束的物理特性與它在傳播過程中所累積位相的是息息相關(guān)的.在自由空間（或均勻介質(zhì)中）光波的位相是連續(xù)變化的，那么如果有這么一種材料或者界面，使得光波在通過它時能夠獲得一個位相突變，光的傳播行為將與均勻介質(zhì)中的情況大大不同.這種傳播過程中的相位不連續(xù)性，或者說相位突變已經(jīng)被科學(xué)家研究出來并且通過實驗實現(xiàn)，其報道發(fā)表在自然科學(xué)的頂尖期刊《Science》上[1].

報道中的位相突變界面是由一系列亞波長尺度的微型光學(xué)振蕩器在一個二維界面上有規(guī)律地排列而成，振蕩器對入射波的共振響應(yīng)導(dǎo)致其位相發(fā)生突變.由于各個光學(xué)振蕩器可以隨意設(shè)置，所以位相突變的大小也可以隨著入射位置隨意設(shè)定隨意變化.這樣當(dāng)光波入射時，比如平面波入射，經(jīng)過位相突變界面，其等相面上各點的位相將不再相同，相鄰兩點之間可能產(chǎn)生一個位相差.

位相突變給光波的傳播行為引入了一個新的自由度，我們最常規(guī)的光學(xué)傳播規(guī)律，比如反射定律、折射定律都將重新改寫.

本文中，我們不研究這種位相突變界面的相關(guān)情況，而是假設(shè)獲得這種界面后，光波的基本傳播規(guī)律將如何改變，通過推導(dǎo)給出位相突變情況下的反射定律和折射定律的新形式，比較其與均勻介質(zhì)中的反射、折射定律的區(qū)別，并進一步拓展這種位相突變界面在現(xiàn)代光學(xué)中的應(yīng)用.

1反射定律和折射定律的一般表述和物理根源

光波入射到不同介質(zhì)的界面上會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象.光的反射定律和折射定律是幾何光學(xué)知識體系中兩個非常重要的基本定律.由于光波屬于電磁波，本文依據(jù)電動力學(xué)的知識從電磁波的邊界條件出發(fā)進行推導(dǎo)，給出反射定律和折射定律的物理根源.

電磁波入射到介質(zhì)界面時，發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象均屬于電磁學(xué)的邊值關(guān)系問題，它由電磁波的基本物理量在邊界上的行為來確定.

下面我們就應(yīng)用電磁場邊值關(guān)系來分析反射、折射規(guī)律.

如圖1所示，介質(zhì)1和介質(zhì)2 的分界面為無窮大平面（z=0面），平面電磁波從介質(zhì)1入射到界面上（入射面為xz面），在界面上產(chǎn)生反射和折射，反射波和折射波也為平面波， θi、θr、θt分別表示入射角、反射角和折射角.設(shè)入射波、反射波和折射波的電場強度分別為E1、Er、Et，波矢量分別為Ki、Kr、Kt，為了簡單起見，設(shè)入射電磁場為時諧場，它們的平面波表示式分別為：

Ei=Ei0ei（ki ·r-ωt）

Er=Er0ei（kr·r-ωt）

Et=Et0ei（kt·t-ωt）（1）

其界面上電場強度的切向分量相等，對應(yīng)的邊值關(guān)系為[2]：

n×（E2-E1）=0（2）

介質(zhì)1中的總場為入射波和反射波場強的疊加，而介質(zhì)2中只有折射波，因此由邊界條件

n×（Ei+Er）=n×Et

將（1）式代入，得

n×（Ei0eiki·r+Er0eikr·r）=n×Et0eikt·r（3）

（3）式對整個介質(zhì)分界面均成立，即對z=0和任意x，y成立，因此三個指數(shù)因子必須在分界面上完全相等，即

ki·r=kr·r=kt·r（4）

又因為x和y是任意的，所以它們的系數(shù)應(yīng)該各自相等，即

kix=krx=ktx（5）

kiy=kry=kty（6）

由于入射光線在xz平面內(nèi)，即kiy=0，所以

kry=kty=0（7）

由此可知入射光線、反射光線、折射光線均在入射面（xz面）內(nèi)，這就是反射定律和折射定律中的“反射光線（折射光線）、入射光線和法線在同一平面內(nèi)”的物理來源.

另外由波矢的x分量相等得：

kisinθi=krsinθr=ktsinθt（8）

其中ki=kr=2n1π/λ0、kt=2n2π/λ0，于是有：

θi=θr（9）

n1sinθi=n2sinθt （10）

此即反射定律和折射定律中的反射角等于入射角，折射角與入射角正弦的比值等于折射率的反比.獲得此結(jié)論的前提是光波在整個傳播過程其位相是逐漸積累的，是漸變的.那么，如果傳輸過程中遇到位相突變，其結(jié)果又將如何呢？下面我們將詳細(xì)推導(dǎo).

2引入位相突變后，反射定律和折射定律的新形式

假設(shè)圖1中的界面不再是常規(guī)的界面，而是文獻(xiàn)[1]中所報道的位相突變界面，光波入射到界面上，其位相發(fā)生突變，突變的大小與入射點所在的光學(xué)振蕩器的特性有關(guān)，即與入射點所在的位置有關(guān)，=（x，y）.如圖2所示，其中的界面即為位相突變界面，由A點出發(fā)的光波由界面折射到達(dá)B點，AB之間有兩個無限接近的傳播路徑，兩路徑與界面相遇時，位相均發(fā)生突變，但由于相遇的位置不同，其位相突變的大小不同，設(shè)其分別為和+d以及二者與界面交點之間的距離為dx.由于兩個路徑無限接近，所以他們到達(dá)B點時累計的位相近似相等，則endprint

[k0nisin（θi）dx+（+d）]-[k0ntsin（θt）dx+]=0（11）

其中θi是入射角，θt是折射角，如果其位相變化沿著分界面的梯度是常數(shù)，則

sin（θt）nt-sin（θi）ni=λ2π ddx（12）

由此可見，（12）式與前面推導(dǎo)的折射定律公式有著明顯的不同，改變ddx的大小，可以得到任意的折射角，只有當(dāng)ddx=0時，此折射定律才與常規(guī)的折射定律相同.

同理，當(dāng)在分界面處引入了位相突變，反射定律也將發(fā)生明顯的改變，如圖3所示，依然假設(shè)兩個傳播途徑無限接近，在B點處的位相相等，可以推導(dǎo)得出：

[k0nisin（θi）dx+]-[k0nisin（θr）dx++d]=0（13）

nisin（θi）-nisin（θr）=λ2π ddx（14）

由此可見，只有當(dāng)ddx=0時，反射角才等于入射角，而當(dāng)ddx取正負(fù)不同的值時，反射角既可以大于入射角也可以小于入射角.通過以上的推導(dǎo)可知，在引入位相突變的情況下，反射定律和折射定律都將有所變化，反射角可以不再等于入射角，折射角與入射角的正弦值之比也不再與折射率的大小成反比.這就給光的傳播引入一個新的自由度，對現(xiàn)代光學(xué)的設(shè)計及應(yīng)用非常有利.

3引入位相突變后，反射定律和折射定律的應(yīng)用舉例

引入位相突變界面后，反射角、折射角可以任意控制，這一特性在現(xiàn)代光學(xué)中有著非常重要應(yīng)用.在這里我們就用這種位相突變界面設(shè)計一個非常重要的光學(xué)單通元件，俗稱光二極管.它只允許光波從一個方向上入射時可以通過，而相反的方向入射時，光波全部被截止[3-5].

由于光波在空間的傳播遵循光路可逆的原理，所以常規(guī)光學(xué)設(shè)計中，單向通光并不容易獲得[6].而運用界面突變材料卻把此問題變得特別簡單.

如圖4所示，我們利用這種位相突變材料（這里采用折射率漸變材料，GIM）做成波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，當(dāng)光波在波導(dǎo)內(nèi)表面反射時，其入射角與反射角不再相等.圖中實線表示實際光線的傳播路徑，虛線表示常規(guī)材料的反射方向（反射角等于入射角）.光波從波導(dǎo)左側(cè)入射時，每次反射其反射角均小于入射角，傳播光線的方向變得越來越陡，在兩層GIMs中多次來回反射，最終被波導(dǎo)界面材料中的金屬成分吸收，甚至可能獲得與入射角度同側(cè)的反射角，改變傳播方向向回傳播，起到截止光沿波導(dǎo)傳播的作用.而當(dāng)光線由波導(dǎo)右側(cè)入射時，反射角始終大于入射角，反射角度逐漸變大，傳播光線變得越來越平，甚至可以以平行于界面的方向傳播透射出去.這樣，就實現(xiàn)了光的單向傳播波導(dǎo).于是傳統(tǒng)光學(xué)設(shè)計中的難題在引入了位相突變材料后變得迎刃而解.

4結(jié)論

我們用電動力學(xué)的知識推導(dǎo)了常規(guī)的光波反射定律、折射定律，揭示了反射角、折射角與入射角之間大小關(guān)系的物理根源.在文章中引入了科研前沿的新發(fā)現(xiàn)，位相突變界面，并推導(dǎo)出在位相突變情況下的反射定律和折射定律，給出了此二定律更一般的形式.得出了反射角、折射角的大小可以通過設(shè)計位相突變界面的特性任意獲得.這一新的物理發(fā)現(xiàn)和物理特性在現(xiàn)代光學(xué)中有著廣泛且重要的應(yīng)用，等待著科研人員去探索和發(fā)現(xiàn).文章利用反射角不等于入射角的特性，設(shè)計了一個簡單的單透結(jié)構(gòu)，其原理簡單，但是應(yīng)用卻非常廣泛.

參考文獻(xiàn)：

[1] Nanfang Yu， Patrice Genevet， Mikhail A Kats，Light Propagation with Phase Discontinuities： Generalized Laws of Reflection and Refraction， SCIENCE 334 （21） 2011，333-337.

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[3] Hua Gao， YunSong Zhou and ZhiYuan Zheng， Broadband unidirectional transmission realized by properties of the Dirac cone formed in photonic crystals， J Opt 18 （2016） 105102.

[4]Hua Gao， ZhiyuanZheng， JingjingDong， JuanFeng， JingZhou， Multi-frequency optical unidirectional transmission based on one-way guided mode resonance in an extremely simple dielectric grating， Optics Communications 355 （2015） 137-142.

[5] H Gao， Z Y Zheng， H Y Hao， A G Dong，Z J Fan， D H Liu， Mechanism of optical unidirectional transmission in subwavelength dual-metal gratings， Appl Phys B 114（3）（2014）401-406.

[6]IVShadrivov，VAFedotov，DAPowell，YSKivshar，NIZheludev，Electromagnetic wave analogue of an electronic diode， New J Phys13 （2011） 033025.endprint