思維發展的核心：找到關聯，構建系統

高中詠

數學知識間存在著內在聯系。教師在教學中如果能夠有效地溝通知識間的聯系，學生就可能從整體上認識數學，形成知識鏈條，經歷思維過程，體會到數學的有序有理，從而越學越清晰，越學越輕松。這是思維發展的核心，也是原汁數學的本質所在。本文以“圖形的放大與縮小”一課為例，談談如何讓數學課“原汁原味”。

一、思維的起始點：打破原有的平衡

案例1：教師出示一張A3紙與一張A4紙，并將A3紙對折，剛好與A4紙一樣大

師：同學們，A3紙的面積剛好是A4紙面積的2倍，昨天老師拿著一張A3大小的建筑圖紙到文印店，想把它復印并縮小為A4紙張的大小。

生：就是把圖紙縮小到原來的1/2。

師：對！文印店的老板聽了我的要求，把A3圖紙放入復印機，先按下“縮小”按鈕，再選擇“縮小到50%”。同學們，你覺得復印的圖紙會是我想要的那樣嗎？（學生點頭贊同）

師：可是，出來的圖紙卻不是我想要的那樣。

教師出示復印后的圖，只有A4紙面積的一半那么大。

生1：怎么只有這么大？不可能！

生2： 50%就是1/2，怎么變了？

生3：是不是復印機壞了？（學生紛紛猜測原因）

師：其實，復印機并沒有壞，這里面蘊含著一個數學知識。那就是我們今天學習的內容“圖形的放大與縮小”（板書課題）

亞里士多德曾經說過：“思維自疑問和驚奇開始！”教師在課始巧妙創設“復印文件”的情境，這一素材既真實又新奇：與學生已有的知識經驗產生矛盾，學生迫切地想知道“為什么50%不是1/2”，有效地喚起學生的好奇心和求知欲。

選擇身邊的材料引發學生積極思考，可以培養學生用數學的眼光看生活中的現象，逐步養成發現、研討數學問題的習慣，這是數學學習的原動力和核心能力。

二、思維的生長線：尋找矛盾的根源

案例2：出示學習單，學生根據學習單自學課本學習單

1. 圖形放大（或縮小），指的是把圖形的（ ）放大或縮小。

2. 為什么圖紙“縮小到50%”，不是原來的一半？你找到答案了嗎？

3. 圖形放大或縮小后，與原圖形相比，什么變了，什么沒變？

學生迫不及待地翻開課本，自學起來，繼而開始匯報交流。

生1：圖形的放大（或縮小），指的是把圖形的每條邊都放大或縮小。

生2：我知道為什么圖紙的大小不是原圖的一半了。縮小50%，指的是把圖形的每條邊縮小到原來的50%，不是把面積縮小到原來的50%。

師：那么，面積是怎樣變化的呢？

生：面積應該只有原圖形的1/4那么大。

師：為什么？

生：把一個長方形的圖紙縮小50%，是把它的長和寬都縮小到原來的50%，面積就只有原來的50%×50%=25%。

師：同學們，你們很了不起，自己找到圖紙大小不對的原因。把圖紙“縮小到50%”，用我們今天的知識，應該怎樣說？

生1：把圖紙按2∶1縮小。

生2：把圖紙按1∶2縮小。

師：把圖形按一定的比放大（或縮小），指的是：變化后的圖形與原圖形之間的關系。比的前項和后項，表示的意義是一定的。

生1：比的前項表示變化后的圖形，比的后項表示原圖形。

生2：前項小就表示把原圖形縮小，前項大就表示放大。

師：請同學們在方格紙上將下面各圖形按1∶2縮小。

生1：我發現了，長方形的面積只有原圖形面積的1/4，所以老師復印的圖紙肯定只有原來圖紙的1/4。

生2：不僅是長方形面積是原圖形的1/4，平行四邊形和三角形的面積都只有原圖形的1/4。

生3：因為平行四邊形和三角形的底、高只有原來的1/2，所以面積只有原來的1/4。

師：同學們都很有分析能力，我們再來看看圖形放大或縮小后，與原圖形之間什么會發生變化，什么沒有變化？

生1：圖形的每條邊都會發生變化。

生2：周長和面積也會發生變化。好像都發生了變化，沒有什么不變的。

生3：圖形的樣子沒有變，只是大小變了。

生4：圖形中角的大小沒有變。

師：圖形的樣子沒有變，我們叫形狀不變。那為什么圖形的形狀不會變呢？

生：每條邊都是同時變化的。

師：老師想要把圖紙面積縮小到原來的一半，文印店老板應該按“縮小到百分之幾” 的按鈕呢？

生1：不能按50%了，應該比50%大，因為50%得到的只有1/4。

生2：應該是縮小到原來的70%，因為70%×70%=49%≈50%。

生3：對！如果是71%，它就大于50%了，因為71%×71%=50.41%。

師：同學們真厲害！我們放學后，就把你的方法告訴文印店的老板。

教師的作用不是告訴學生答案，而是引導學生探尋，激發學生思維。學生在矛盾沖突的驅使和學習單的引領下，通過自學，自主尋找到“縮小到50%不是一半”的原因所在，從總體上認清“圖形的放大與縮小”的本質：是對應線段長度的比，不是面積的比，并且和以前學習的知識進行有效的溝通、聯系和統一，使學生經歷從矛盾、疑惑到清晰的過程，在學習中體會到數學的嚴密有理和數學魅力。

數學的根本就是發展思維。本環節中，教師在學生充分理解“圖形的放大與縮小”的本質后，讓他們嘗試解決“復印圖紙”的問題。這既是一種逆向思維的應用，又是數感的培養；既是知識的應用，更能體會數學思考的魅力。

三、思維的結構圖：建立新的平衡

案例3：梳理知識，建立體系

師：通過本節課的學習，你有什么收獲？

生1：我知道了：圖形的放大或縮小，是指把圖形的每條邊都按一定的比進行放大或縮小。

生2：我知道了，圖形放大或縮小后，圖形的大小會發生變化，但形狀不變。

生3：圖形按一定的比放大或縮小，這個比的前項是變化后的圖形。

師：通過今天的學習，讓你想到過去學習的哪些知識？

生1：我想到了比和比例。

生2：我想到了圖形的邊擴大a倍，面積就會擴大到它的a2倍。

師：如果將一個長方體的模型按3∶1放大，放大后的長方體體積應該是原體積的多少倍？

生：放大后的長方體體積應是原體積的3×3×3=27倍，這是因為：放大是指把長、寬、高都放大到原來的3倍。

根據學生的回答，可以引導得出圖1。

數學學習就是不斷地打破舊的平衡，建立新的平衡。在這樣的學習過程中，教師可以不斷地完善學生的知識結構。學生在認識“圖形的放大與縮小”的過程中，會從線段的關系認識到面積的關系，再上升到體積的關系，獲得系統、合理的知識結構，形成多維的知識模塊，建立上位的數學模型。

通過有效的問題情境，激活大腦，“勾住”舊知和經驗，在矛盾沖突下經歷抽象、推理、轉化的過程，進行系統化思考，獲得新的平衡，體現原汁數學的特征：從數學本質出發，學真數學，做真思考。

（作者單位：湖北武穴市師范附屬小學）

責任編輯：孫建輝

zgjssjh@126.comendprint