集值向量優化問題的Henig有效解的最優條件

，

(1. 華東交通大學 理工學院， 江西 南昌 330100； 2. 南昌大學 數學系， 江西 南昌 330031)

集值優化理論在不動點、變分學、微分包含、最優控制、工程技術、交通平衡等領域具有廣泛的應用，學者們從不同的角度進行深入研究，取得了一系列豐碩的成果。在最優性條件中，凸性具有十分重要的作用，凸性概念在不斷被推廣。Yang等[1-2]分別引進廣義錐-次類凸和近似錐-次類凸集值映射，并研究其關系。Sach[3]引進一種新的凸性——內部錐-類凸性，并建立了新的擇一性定理，得到有效解、弱有效解和Benson真有效解意義下的 Kuhn-Tucker型和Lagrange型最優性條件。在近似錐-次類凸假設下，文獻[4-6]中給出了超有效解Lagrange型最優性條件及強有效解的Kuhn-Tucker型最優性條件。文獻[7-9]中提出了嚴有效點的概念，它有非常好的性質，即每個嚴有效點都能用嚴格正泛函來標量化，同時保持了超有效點的主要特征，而且存在條件比超有效點弱得多。Cheng等[10]在局部凸拓撲線性空間中，引入強有效解的概念，推廣了超有效性和嚴有效性，并且具有良好的性質，即強有效解能用基泛函來標量化。Zheng[11-12]將Henig有效點和全局有效點的概念由賦范空間推廣到局部凸空間。超有效性、 嚴有效性和強有效解的存在條件是很強的， 在很多情況下很難實現。 Henig有效性保持了超有效性、 嚴有效性和強有效解的主要特征， 而存在條件弱很多， 僅要求序錐具有基底，目前研究較少， 因此， 對集值優化問題Henig有效性的研究具有重要的理論價值。 Jahn等[13]在拓撲向量空間中提出相依上圖導數的概念， 研究了集值優化問題相依上圖導數的性質。Qiu[14]在相依上圖導數的基礎上給出廣義錐-凸集值映射，討論了有效解的最優性條件。本文中借助相依上圖導數和廣義錐-凸集值映射的概念，在實拓撲向量空間中研究集值向量優化問題Henig有效解和向量變分不等式Henig有效解之間的關系。

1 預備知識

設D是Y的非空子集，D的閉包記為cl(D)，且D的錐包定義為

cone(D)={ty∶t≥0,y∈D}。

r=inf{f(b)∶b∈BY}>f(0Y)=0。

對每個零元凸鄰域U?VBY，均有BY+U為凸集且0Y?cl(BY+U)，因此，CU(BY)∶=cone(BY+U)為點凸錐，且CY{0Y}?intCU(BY)。記

∑={CU(BY)?Y∶CU(BY)為點凸錐且

CY{0Y}?intCU(BY)}。

定義1[15]設D?Y為非空子集，稱點y0∈D為集合D的Henig有效點，如果存在點凸錐CU(BY)∈∑，使得

cone(D-y0)∩[-intCU(BY)]=/○。

注1 由文獻[16]可知，設D?Y為非空子集，點y0∈D為集合D的Henig有效點當且僅當存在點凸錐CU(BY)∈∑，使得

(D-y0)∩[-intCU(BY)]=/○。

設A?X為非空子集，G∶X→2Y為給定集值映射，即對每個x∈X，有G(x)?Y。

集合graph(G)={(x,y)∈A×Y∶y∈G(x)}稱為映射G的圖。

集合epi(G)={(x,y)∈A×Y∶y∈G(x)+CY}稱為映射G的上圖。

設(x0,y0)∈graph(G)，由文獻[17]可知，上圖epi(G)在(x0,y0)處的相依錐記為T[epi(G),(x0,y0)]，包含了在該點的所有切線向量。

定義2[13]設(x0,y0)∈graph(G)給定，向量值映射DG(x0,y0)∶X→Y的上圖等于集值映射G的上圖在(x0,y0)處的切錐，即

epi[DG(x0,y0)]=T[epi(G),(x0,y0)]，

稱DG(x0,y0)為G在(x0,y0)處的相依上圖導數。

注2[13]設(x0,y0)∈graph(G)給定，且相依上圖導數DG(x0,y0)存在，則DG(x0,y0)為正齊次的。

μG(x)+(1-μ)G(y)?G[x0+ψ(μ)ζ(x,y)]+CY。

現在考慮集值向量優化問題(SVOP)：

其中A?X為非空子集，G∶X→2Y為給定集值映射。

定義4 1)稱(x0,y0)∈graph(G)為SVOP的Henig有效解，如果存在點凸錐CU(BY)∈∑，使得

[G(A)-y0]∩[-intCU(BY)]=/○。

2)稱(x0,y0)∈graph(G)為SVOP的局部Henig有效解， 如果存在點x0的鄰域V(x0)以及點凸錐CU(BY)∈∑， 使得

{G[A∩V(x0)]-y0}∩[-intCU(BY)]=/○。

下面給出一類向量變分不等式的Henig有效解的概念。

設x0∈A,y0∈G(x0),ζ(A,x0)={ζ(x,x0)∶x∈A}包含于相依上圖導數DG(x0,y0)的定義域。

考慮向量變分不等式問題(VVIP)，即尋找x0∈A,y0∈G(x0)，使得

DG(x0,y0)[ζ(x,x0)]?-intCU(BY),?x∈A，

其中K∪{0Y}為Y中的點凸錐。

定義5 稱(x0,y0)∈graph(G)為VVIP的Henig有效解，如果存在點凸錐CU(BY)∈∑，使得

DG(x0,y0)(ζ(x,x0))?-intCU(BY),?x∈A。

2 最優性條件

為了研究集值向量優化問題的Henig有效性，由文獻[18]可知，相依上圖導數具有如下性質。

引理1[18]設A?X關于ζ和ψ為廣義凸子集，G∶A→2Y在A上關于ζ和ψ為廣義CY-凸集值映射。 假定x0∈A,y0∈G(x0)， 且相依上圖導數DG(x0,y0)存在，則

G(x)-{y0}?{λDG(x0,y0)[ζ(x,x0)]}+CY,?x∈A，

設G為SVOP中的廣義CY-凸集值映射，則SVOP的局部Henig有效解即為SVOP的Henig有效解。

引理2 設A?X關于ζ和ψ為廣義凸子集，G∶A→2Y在上關于ζ和ψ為廣義CY-凸集值映射。如果(x0,y0)∈graph(G)為SVOP的局部Henig有效解，則(x0,y0)∈graph(G)為SVOP的Henig有效解。

證明： 設(x0,y0)∈graph(G)為SVOP的局部Henig有效解，由定義4的2)可知，存在點x0的鄰域V(x0)及點凸錐CU(BY)∈∑，使得

{G[A∩V(x0)]-y0}∩[-intCU(BY)]=/○。

(1)

反證法。假設(x0,y0)不是SVOP的Henig有效解，則存在x*∈A,y*∈G(x*)使得

y*-y0∈-intCU(BY)。

(2)

由A關于ζ和ψ為廣義凸集，根據定義3可知，

x0+ψ(μ)ζ(x*,x0)∈A,?μ∈(0,1)。

由此，存在μ0∈(0,1)，使得

x0+ψ(μ)ζ(x*,x0)∈V(x0),?μ∈(0,μ0)，

于是

x0+ψ(μ)ζ(x*,x0)∈V(x0)∩A,?μ∈(0,μ0)。

(3)

另一方面，由G在A上關于ζ和ψ為廣義CY-凸集值映射，由定義3可知，對任何μ∈(0,μ0)，有

y0+μ(y*-y0)=μy*+(1-μ)y0∈

μG(x*)+(1-μ)G(x0)?

G(x0+ψ(μ)ζ(x*,x0))+CY。

結合式(2)可知，

μ(y*-y0)∈-intCU(BY)。

于是

-intCU(BY)-CY?-intCU(BY)。

這與式(1)矛盾。引理1得證。

借助集值映射的相依上圖導數與廣義凸集值映射的性質，分析SVOP的Henig有效解和VVIP的Henig有效解之間的緊密關系。

設x0∈A,y0∈G(x0)，相依上圖導數DG(x0,y0)存在，且ζ(A,x0)={ζ(x,x0) ∶x∈A}包含于DG(x0,y0)的定義域。

定理1 設(x0,y0)為SVOP的Henig有效解，則(x0,y0)為VVIP的Henig有效解。

證明： 設(x0,y0)∈graph(G)為SVOP的Henig有效解， 則根據注1可知， 存在點凸錐CU(BY)∈∑，使得

[G(A)-{y0}]∩[-intCU(BY)]=/○。

(4)

反證法。假設存在x*∈A滿足

y*=DG(x0,y0)[ζ(x*,x0)]∈-intCU(BY)。

(5)

由相依上圖導數的定義可知，

(ζ(x*,x0),y*)∈epi[DG(x0,y0)]=T[epi(G),(x0,y0)]，

因此存在(xn,yn)∈epi(G)及正實數序列{μn}，滿足

且

于是

(6)

由式(5)、(6)知，存在N0∈，有

μn(yn-y0)∈-intCU(BY),?n≥N0。

從而

yn∈{y0}-intCU(BY),?n≥N0。

(7)

{y0}-intCU(BY)-CU(BY)?

{y0}-intCU(BY),?n≥N0。

這與式(4)矛盾。定理1得證。

定理2 設A?X關于ζ和ψ為廣義凸子集，G∶A→2Y在A上關于ζ和ψ為廣義CY-凸集值映射。設(x0,y0)為VVIP的Henig有效解，則(x0,y0)為SVOP的Henig有效解。

證明： 由假設知，存在點凸錐CU(BY)∈∑，使得

DG(x0,y0)[ζ(x,x0)]?-intCU(BY),?x∈A。

(8)

由CU(BY)為點凸錐且λ>0可知，

λDG(x0,y0)[ζ(x,x0]?-intCU(BY),?x∈A。

反證法。假設(x0,y0)不是SVOP的Henig有效解，則存在x*∈A,y*∈G(x*)，滿足

y*-y0∈-intCU(BY)。

由引理1可知，存在c*∈CY，使得

y*-y0=λDG(x0,y0)[ζ(x*,x0)]+c*，

因此，

λDG(x0,y0)[ζ(x*,x0)]=

y*-y0-c*∈-intCU(BY)-CY?-intCU(BY)。

這與式(8)矛盾。定理2得證。

3 結論

1)在實拓撲向量空間中，引進一類SVOP和VVIP，給出SVOP的Henig有效解、局部Henig有效解與VVIP的Henig有效解的概念。

2)借助于相依上圖導數的概念，在廣義錐-凸集值映射下，得到SVOP的Henig有效解與VVIP的Henig有效解是一致的結論。

3)運用研究集值向量優化問題Henig有效性的基本思想，研究含參集值向量優化問題Henig有效性、全局有效性和超有效性是有意義的課題。

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