初中數學中考壓軸題的解題策略與技巧

金津津

在對初中數學中考壓軸題的解題策略和技巧進行分析的基礎上，對壓軸題解題技巧進行梳理，深入探討多種解題思想，并在此基礎上進行擴展，充分挖掘壓軸題的特色和規律。從歷年中考數學壓軸題設計來看，一般是代數和幾何的綜合題。多年來是以函數和幾何圖形綜合考查的方式，其中考查到三角形、四邊形、圓和相似等有關知識點，比較普遍的綜合考查方式，還有方程和圖形的綜合等幾個問題。本文通過對中考數學壓軸題的分析，總結具體的解題策略，幫助學生構建完整的知識體系，從容應對中考。

例1.如圖，已知y=x2-hx+c拋物線經過A（0，-1），B（4，-3）兩點。

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，點M是拋物線上一點，直線MN平行于y軸，交直線AB于點N，如果M，N，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標。

解析：（1）首先將A，B兩點的坐標帶入y=x2-hx+c，得c=-1，16+4h-c=-3，可得h=，c=-1所以拋物線的解析式是y=x2-x-1。

（2）過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，過點A作AH⊥OB，垂足為點H。

在Rt△AOH中，OA=1，sin∠AOH=sin∠OBC=，所以AH=OAsin∠AOH=，所以OH=，BH=OB-OH=。在Rt△OBH，tan∠ABO==×=。

（3）直線AB的解析式為y=-x-1，設點M的坐標為（m，m2-m-1）點N的坐標為（m，-m-1），那么MN=（m2-m-1）-（-m-1）=m2-4m。因為M，N，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，所以MN=BC=3，解方程m2-4m=3，解得m=2+或2-，解方程-m2+4m=3，解得m=-1或3，所以符合題意的點N有四個（2-，-2），（2+，--2），（1，-），（3，-）。

這道題是典型的拋物線問題，考查函數思想。將拋物線和直線綜合考查，需要學生具備方程思想和函數思想。

例2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，經過點B的直線L（L不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過點C、點A作直線L的垂線，垂足分別為點D，點E。

（1）若∠ABC=45°，CD=1（如圖），則AE的長為；

（2）寫出線段AE、CD之間的數量關系，并加以證明；

（3）若直線CE、AB交于點F，=，CD=4，求BD的長.

（1）∵∠ABC=45°，

∴∠CBD=45°，

∵CD=1，

∴BC=，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，

AE=2。

（2）線段AE、CD之間的數量關系為AE=2CD.

證明：如圖1，延長AC與直線l交于點G.

依題意，可得∠1=∠2.

∵∠ACB=90°，

∴∠3=∠4.

∴BA=BG.∴CA=CG.

∵AE⊥l，CD⊥l，

∴CD∥AE.

∴△GCD∽△GAE.

∴==

∴AE=2CD.

（3）【解析】

當點F在線段AB上時，如圖2，

過點C作CG∥l交AB于點H，交AE于點G.

∴∠2=∠HCB.

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠HCB.

∴CH=BH.

∵∠ACB=90°，

∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°.

∴∠3=∠4.

∴CH=AH=BH.

∵CG∥l，

∴△FCH∽△FEB.

∴==

設CH=5x，BE=6x，則AB=10x。

∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x.

由（2）得，AE=2CD.

∵CD=4，

∴AE=8.

∴x=1.

∴AB=10，BE=6，CH=5.

∵CG∥l，

∴△AGH∽△AEB.

∴==

∴HG=3。

∴CG=CH+HG=8.

∵CG∥l，CD∥AE，

∴四邊形CDEG為平行四邊形.

∴DE=CG=8.

∴BD=DE-BE=2.…（6分）

當點F在線段BA的延長線上時，如圖3，

同理可得CH=5，GH=3，BE=6.

∴DE=CG=CH-HG=2.

∴BD=DE+BE=8.

∴BD=2或8.

參考文獻：

黃家禮.2011年上海市中考數學壓軸題解析[J].中學數學，2012.

編輯 謝尾合