基于雙S形速度曲線的混聯碼垛機器人軌跡規劃

張志松

(比特數控技術應用有限公司，河北 廊坊 065000)

0 引 言

伴隨著“中國制造2025”概念的提出，國內迎來了工業機器人的發展熱潮[1-2]。搬運碼垛機器人以其高柔性工作能力、占地面積小、高效完成箱包裝物品搬運的優勢，在物流倉儲領域得到廣泛應用[3]。由于機器人對搬運與碼垛的工作效率要求比較高，在工作過程中頻繁地快速啟動、停止，對機械結構的沖擊和磨損很嚴重。因此，為了實現搬運機器人在碼垛過程中快速、平穩的運動控制，這就需要研究出關于時間和空間比較復雜的位置、速度、加速度函數，以滿足搬運碼垛機器人的控制要求。

機器人軌跡規劃描述了操作臂在笛卡爾空間和關節空間的運動曲線，其遵循的一個原則就是運動過程中避免速度及加速度突變，保持軌跡平穩平滑[4]。目前機器人關節空間軌跡規劃方法大都用的是高階多項式插值[5-7]、樣條插值等方法[8-10]。

本文將通過對現有的軌跡曲線進行分析，設計出性能優越、符合要求的軌跡曲線，從而實現搬運碼垛機器人高精度的實時運動控制。

1 碼垛機器人運動學分析

根據碼垛機器人實際工作需求，筆者在遵循機器人構型選擇的基礎上，設計了串—并混聯式圓柱坐標構型碼垛機器人，其構型如圖1所示。

圖1 混聯式碼垛機器人1—底座；2—腰座；3—水平直線單元；4—豎直直線單元；5—大臂連桿；6—后大臂；7—前大臂；8—轉動鉸鏈；9—小臂；10—腕部

該碼垛機器人主要由腰部、后大臂、前大臂和腕部4部分組成，其中腰部關節實現底座1與腰座2的相對轉動，水平直線單元3與豎直直線單元4分別驅動后大臂6，前大臂7實現機器人腕部的水平和豎直方向運動，腕部關節實現腕部10與末端執行器的相對轉動，同時利用A1-B1-B2-B3以及B3-D3-D4-B4兩組輔助平行四邊形機構使機器人末端始終保持水平，可以實現對末端工具豎直位移和水平位移的解耦控制。這種構型一方面保留了圓柱坐標型的運動直觀、結構較為簡單、動作范圍大且在動作范圍內無奇異點、控制計算量小、運行速度快等諸多優點；另一方面利用了混聯機構所綜合的串聯機構較大的工作空間和并聯機構較大的結構剛度等優點，在提高機器人的作業能力、節約制造成本等方面具有明顯的優勢。

1.1 碼垛機器人正運動學分析

1.1.1 平行四邊形機構運動學分析

(1)

當兩直線單元分別由零位運動到圖1中某一位姿時(實線表示)，鉸接點A1，A2，B1，B2，B3在坐標系X2O2Z2中的齊次坐標可分別表示為：

(2)

(3)

從而可得臂部平行四邊形機構的運動學關系為：

(4)

當連桿A1B1，A2B1，B1B2，B3B4的長度b,a,l1,l2滿足一定幾何約束時，式(4)可通過如下過程進行求解。在圖1中，根據幾何關系，進一步可得：

(5)

從而可推出：

(6)

當l1/b=l2/a=j(j為常數)時，則式(6)可表示為：

(7)

將式(7)代入式(4)，可得：

(8)

式(8)即為碼垛機器人平行四邊形機構的運動學關系式。由于zB4與zA2、xB4與xA1均為線性關系，小臂末端鉸接點B4的豎直位移和水平位移在垂直面內實現了運動解耦。

1.1.2 碼垛機器人正運動學方程

筆者建立碼垛機器人的D-H坐標系，對應的D-H參數如表1所示。

表1 碼垛機器人D-H參數

則相鄰坐標系的變換矩陣分別為：

本研究將以上5個矩陣相乘，得到碼垛機器人正運動學方程：

(9)

由式(9)可看出，碼垛機器人末端工具的位置是由臂部平行四邊形機構關節變量xA1和zA2及底座的旋轉關節變量θ0決定的，姿態由底座和腕部的旋轉關節變量θ0和θ4決定，因此該構型的機器人相對通用關節式機器人更易于控制。

1.2 碼垛機器人逆運動學分析

為了對機器人進行運動控制和軌跡規劃，需求解機器人的逆運動學方程。當機器人的連桿長度滿足式(8)時，結合式(9)，有如下關系：

(10)

若機器人末端坐標系X5O5Z5相對于基坐標系X0O0Z0的轉角(繞Z0軸)為β，則有：

(11)

根據式(9)可知：θ0+θ4=β，則

θ4=β-θ0

(12)

式(11)和式(12)即為該混聯機器人的逆運動學方程。

2 碼垛機器人軌跡規劃

由于碼垛機器人在高速運行過程中頻繁地快速啟動與停止，其加減速控制極為重要，這就要求加速度曲線首尾兩端的光滑度要好，避免加速度突變。因此，只有采用合適的運動軌跡曲線才能同時保證運動速度的高效和減小機械本體所受到沖擊。在通過逆運動學計算獲取碼垛機器人各關節位置相對時間的序列值之后，本研究采用雙S形速度曲線進行碼垛機器人軌跡曲線的規劃。

軌跡的速度曲線兩端是由拋物線連接的，形狀類似英文字母“S”，所以稱之為雙S形速度曲線。又由于該軌跡由7段不同的常量Jerk曲線組成，筆者將其稱之為7段軌跡。

典型軌跡如圖2所示。

圖2 雙S形速度軌跡的位置、速度、加速度和Jerk曲線

本研究以碼垛機器人某一個關節角位置信息為研究對象，以函數qi(t)表示軌跡曲線，即：

q=qi(t),t∈[t0,tf]

(13)

為了獲得一條確定的光滑運動曲線，假設qf>q0，且t0=0，設軌跡曲線的邊界條件為：

圖2中的Tf1，Tj2為Jerk不為零(變加速)的持續時間，Tv為勻速運動時間。速度、加速度、Jerk滿足vmin=-vmax、amin=-amax、jmin=-jmax，即運動約束條件關于原點對稱。將雙S形速度軌跡分成如下3個運動階段。

第一階段為加速階段：t∈[0,Ta]，加速度從零線性增加到最大值，然后線性減小到零。

在t∈[0,Tj1]階段：

(14)

在t∈[Tj1,Ta-Tj1]階段：

(15)

在t∈[Tj1,Ta-Tj1]階段：

(16)

第二階段為最大速度運行階段：t∈[Ta,Ta+Tv]，該階段軌跡的速度為常量。

在t∈[Ta,Ta+Tv]階段：

(17)

第三階段為減速階段：t∈[Ta+Tv,T]，此階段的加速度的變化規律和第一階段中加速度的變化規律相同，方向相反。

在t∈[T-Td,T-Td+Tj2]階段：

(18)

在t∈[T-Td+Tj2,Ta-Tj2]階段：

(19)

在t∈[T-Tj2,T]階段：

(20)

3 仿真與分析

為了驗證雙S形速度曲線對碼垛機器人關節空間進行軌跡規劃的有效性，本研究給定軌跡的邊界條件為：q0=0，q1=10和v0=1，v1=0，約束條件為：vmax=10，amax=10和jmax=30。

對應的關節運動仿真曲線如圖3所示。

圖3 雙S形速度軌跡的仿真曲線

從圖3(a～d)的仿真曲線可以看出：給定碼垛機器人起始點和終止點的關節角度值，機器人關節軸在運行中滿足位移、速度、加速度、Jerk連續性的約束條件，并且軌跡曲線首尾兩端的平滑性很好，避免了機器人在高速運行過程中因頻繁快速地啟動與停止對機械系統產生的沖擊、磨損問題，實現了機器人系統高速平穩的運動到指定位置的控制要求。

4 結束語

結合碼垛機器人實際工作需求，本文設計了串—并混聯式圓柱坐標構型的碼垛機器人，該構型機器人在提高機器人的碼垛能力等方面具有明顯的優勢。

本研究推導了混聯式圓柱坐標型碼垛機器人正、逆運動學，引入雙S型速度曲線完成了該機器人關節空間的軌跡規劃。Matlab仿真表明：該軌跡規劃方法保證了機器人關節位移、速度、加速度、Jerk曲線的連續光滑，能夠減小其在加減速運行過程中的沖擊，提高整個機器人系統的穩定性和可靠性。

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