四階橢圓方程一個新混合元模式的高精度分析

王萍莉，牛裕琪

(許昌學院 數學與統計學院，河南 許昌 461000)

眾所周知， 傳統混合有限元方法所涉及的兩個有限元逼近空間通常要求滿足LBB相容性條件，這通常不是一件容易的事.因此出現了一些不需要滿足這一限制條件的混合有限元格式，如H1-Galerkin有限元方法[1]，最小二乘有限元方法[2]，穩定化方法[3]等.最近，[4，5]針對二階橢圓問題給出了一種新的混合元格式，考慮了其收斂性分析，并且發現當選取的空間對滿足一個簡單的包含關系時，該格式自然滿足LBB相容性條件，基于這一明顯優勢，隨后該方法被用于解決其它問題[6-8]，并得到了滿意的收斂結果.其中，[6]基于[4，5]的工作進一步研究了二階橢圓問題的超逼近及超收斂性質；[7，8]分別在正則網格和各向異性網格下討論了拋物方程的混合元逼近格式，并都給出了收斂性分析.

本文考慮四階橢圓問題的初邊值問題

(1)

其中，Ω?R2是x-y平面上具有Lipschitz連續邊界?Ω的有界凸區域，0

眾所周知，四階問題具有深刻的物理背景，在許多方面具有廣泛的應用，其中之一可以用于刻畫彈性梁的狀態，而彈性梁是現代飛機、輪船、建筑等最基本的結構之一，因而關于這類問題的研究對于理論與實際應用都具有十分重要的意義.由于四階問題出現了高階導數，因此其數值求解有一定的困難，其研究方法通常有有限差分方法，有限體積元方法， 有限元方法和混合有限元方法[9-11]等.其中，[9]研究了四階橢圓和拋物問題的混合有限元方法，得到了最佳收斂階;[10]利用擴展混合元方法給出了四階橢圓問題的誤差估計; [11]對四階橢圓問題構造了三個C0非協調單元，并證明了一個單元是一階收斂，另兩個單元是二階收斂.

本文的主要目的是基于[4，5]的思想,利用雙線元Q11及其梯度空間Q01×Q10對四階橢圓方程建立了一種新的混合元逼近格式.利用單元的良好性質，借助于積分恒等式技巧和插值后處理技術，導出了相應變量的超逼近性質及整體超收斂結果.

1 單元構造及逼近格式

定義混合有限元空間如下

設Ihv→Ihv和分別為有限元空間Vh和上相應的插值算子，并且滿足

Ih|K=IK,IKv(ai)=v(ai)

和

(2)

(3)

借助文[4]-[6]對二階橢圓問題的討論，可知混合變分問題(3)存在唯一解.

(4)

(5)

2 超逼近及超收斂分析

為了得到超逼近，首先介紹下面引理.

由[6]可知如下引理成立.

(6)

則有如下的弱強制性

(7)

[12]已經證明了如下引理成立.

(▽(u-Ihu),▽vh)=O(h2)|u|3‖vh‖1,u∈H3(Ω).

(8)

借助于引理1，2，我們可以得到如下超逼近性質.

(9)

(10)

(11)

借助于引理1和(11a)，可得

(12)

由[6]可知，下述關系成立

▽Ih=Πh▽.

(13)

(14)

由(14)式并結合a(.,.)和b(.,.)的定義， (12)可化為

(15)

注意到(14)式和引理2， 故有

(16)

結合(15)和(16)式可得

(17)

圖1 大單元

(9)得證.

類似可證(10).

定理得證.

結合I2h和Π2h的性質，并利用定理1的結論則很容易得到如下的超收斂結果.

定理2 在定理1的條件下，則有

(18)

(19)

證明 由定理1及I2h和Π2h的性質，可得

(18)式得證，同理可證(19)式.

注 在矩形剖分格式下，上述混合元模式能夠得到相應變量的超逼近性質，關鍵在于文[6]中證明的(13)，使得(16)式的估計可以利用雙線性元的高精度結果.

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