從電磁學發展過程看麥克斯韋方程組的對稱性

鄧衛鵬

(陽泉師范高等專科學校 基礎部，山西 陽泉 045000)

麥克斯韋方程組的創建流程及未來的開發態勢，均和有關物理理論思維與物理方程形式的對稱特性緊密相關，這個流程兼有唯象和抽象的特征，這兩種特征現象彼此交替產生.奧斯特于公元1820年發現電流周圍能夠產生磁場.根據對稱性的思維方式，磁場亦可形成電流.該理論的提出實際上具有唯象性，法拉第最終通過實驗證實了該推斷.按照法拉第電磁感應定律：變化的磁場方能夠讓導體形成電流.大量實驗也證明了靜態的磁場不能使導體中形成電流.麥克斯韋認為，變化的磁場之所以能夠使導體中形成電流，是因為變化的磁場可以形成渦旋型電場，利用對稱性這種抽象思維模式，大膽推測變換的電場亦可形成磁場即位移電流假說.麥克斯韋方程組的積分形式為

(1)

(2)

其中,

(3)

關于麥克斯韋方程組的微分表達式，我們可以通過使用高斯公式與斯托克斯公式二者結合獲得公式(4)[1，2].

(4)

而麥克斯韋方程組的邊值表達式為[3]

(5)

通過這些公式發現，關于麥克斯韋方程組的表述形式具有對稱性，被譽為“美學上真正完美的對稱形式”[4-6].然而應當注意，麥克斯韋方程組并沒有絕對的對稱性，由于電場內具有自由電荷，但是磁場內并沒有自由磁荷(磁單極子).如果存在磁單極子，則麥克斯韋方程組才能真正變得高度對稱.很多物理學家在此類對稱性理論的引導下，堅決認為麥克斯韋方程組的最終模式應當具有高度的對稱特性，盡管目前并未發現磁單極子，然而這并不能說明它一定不存在，何況按照狄拉克的相關理論，應當具有磁單極子，因此，物理學家對于磁單極子的探尋始終在進行.不過同樣也有人認為物理領域講的對稱特性是相對的，不對稱才是絕對的.

文章依次從靜態與時變這兩種類型的電磁場著手分析關于麥克斯韋方程組具有的對稱性，進而深化對于電磁基本理論的認識.

1 靜態電磁場

靜態電磁場是電磁場的一類特殊形式，其場源不隨時間而變化，所以其產生的場同樣不隨時間而發生改變，在這種條件下，電場與磁場各自獨立出現.

1.1 靜電場

靜電場是指靜止的且電荷量保持恒定的電荷激發的不隨時間變化的一類靜態場.靜電場中并列存在的兩個核心定理分別是靜電場的高斯定理與環路定理.

靜電場的高斯定理[1]在真空環境下，靜電場內任意一個閉合曲面中的電通量其實就是曲面中電荷的代數和除以ε0，也就是(6)式，其中，q表示閉合曲面S所包圍起來的自由電荷.對于有介質的情形，我們引入一個輔助性的矢量電位移矢量D，見(7)式(P為極化強度，χ為介質的極化率，ε(見(8)式)為絕對介電常數)，可以得到(9)式，化簡即可得(10)式，把(7)式代入(10)式，可以得出(11)式，此式稱為有介質存在的高斯定理.由(11)式，按照高斯公式，能夠獲得靜電場的散度表達式(12)式.該式子表明，靜電場具有發散特性，電荷所處的地方就是靜電場的源頭.

(6)

D=ε0E庫+P=ε0(1+x)E庫=εE庫,

(7)

其中，

ε=ε0(1+x).

(8)

(9)

(10)

(11)

▽·D=ρe.

(12)

靜電場的環路定理[1]靜電場強沿著任意一條閉合曲線的環路積分等于零，即(13)式

(13)

1.2 恒定磁場(恒定電流產生的磁場)

磁場的“高斯定理”[1]在穩恒電流磁場中，通過任何閉合曲面S的磁通量恒定為零，也就是(14)式.該式表明，電流磁場屬于無散場；而靜電場具有發散性，電荷所處的地方則是靜電場的源頭.磁感應線和電場線也有區別：電場線始于正電荷終于負電荷，或始于正電荷終于無窮遠，或始于無窮遠終于負電荷；而磁感應線具有持續性，它可以處于閉合狀態，也可以從無限遠的位置開始，于無限遠的位置結束.由(14)式，按照高斯公式，能夠獲得關于恒定磁場的散度表達式(15)式.此式說明，穩恒磁場實際上屬于一個沒有通量源的矢量場.

(14)

▽·B=0.

(15)

安培環路定理[1]在真空環境下，磁感應強度B沿著任意閉合環路L所產生的線積分(環流)，等于穿越這一環路的全部電流強度的代數和I的μ0倍，見(16)式.如果有磁介質出現，安培環路定理表達式即為(17)式(其中，I0、I′分別表示穿越L的傳導電流和磁化電流的強度).引入物理量磁化強度M進一步化簡(17)式可以得出(18)式，從便利的角度考慮，再引進一個具有輔助性特征的矢量磁場強度H，見(19)，式中g是一個反映磁介質磁特性的量，(19)式變形可得(20)式，因此(18)式可變為(21)式，這個式子就是在具有磁介質的情形下的安培環路定理.

(16)

(17)

(18)

(19)

B=μH.

(20)

(21)

2 時變電磁場(兩大假設)

在這種時變型的電磁場內，變化的磁場會形成電場，變化的電場也會形成磁場，時變型的電磁場內著重陳述了電場和磁場跟隨時間從而發生變化的相互聯系.

麥克斯韋假設一：空間變化的磁場會形成具有時變特征的渦旋電場(感生電場)，即著名的法拉第電磁感應定律[1].

(22)

其中，E=E庫+E感，q為閉合曲面S所包圍的自由電荷.

由(13)和(22)，根據斯托克斯公式，可以得到庫侖電場和感生電場的旋度表達式，即(23)式.由(6)和(22)可知：E庫為發散場，E庫線從正電荷開始到負電荷終止；而E感是無散場，E感線是無頭無尾的連續曲線.E庫是位場(無旋場)，可以引入電位概念；而E感為渦旋場(非位場)，無法引進電位概念.由于感生電場為渦旋場，因此在變化的磁場內，只有處于靜止狀態下的閉合線圈中才有形成感生電動勢的可能.

麥克斯韋假設二：麥克斯韋位移電流假說——變化著的電場激發渦旋磁場.

在研究分析可變電流磁場時，通過使用安培環路定理，發現和電荷守恒定律具有一定的沖突.麥克斯韋基于此情形下大膽地提出了著名的全電流定律與渦旋電流假說[1].

麥克斯韋假設在一般(例如非穩恒)情形下高斯定理仍舊成立，即(11)式.(11)式兩邊對時間t實施求導即(24)式，通過移項化簡就得到(25)式，引入位移電流密度jd即(26).麥克斯韋假設在非穩恒條件下，磁感應強度H沿著任意閉合曲線的線積分(環流)滿足(27)式.由(27)式，按照斯托克斯公式，能夠獲得關于時變磁場的旋度表達式(28).

(23)

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

位移電流、傳導電流是兩個不同的物理概念，共同點在于它們能夠依據同樣的規律引發磁場，其他方面則完全不一樣.在真空環境下，位移電流僅僅等同于電場強度的矢量改變，并未出現電荷或任何其它形式的物理運動；另外，位移電流并不生成焦耳熱，對于真空環境而則言更加顯著.

3 結語

關于位移電流的假說，說明麥克斯韋在處理電磁場理論問題的時候選用了動力學方法，實驗也證實了這一點.麥克斯韋方程組適合于靜態和時變的電磁場中.磁場和電場在變化的空間中充相互交織[5]，形成電磁場.麥克斯韋創建的電磁場理論是是電磁思想的革命性轉變.我們經過對有關麥克斯韋方程組的內容、創建流程、物理意義，以及不同電磁條件下實施的探討分析，深化了對于麥氏方程組的認識.

[1] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學[M].北京：高等教育出版社，1980.

[2] 郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社，1997.

[3] 馮慈璋.電磁場[M].北京：人民教育出版社，1979.

[4] 程守沫，江之永.普通物理學[M].6版.北京：高等教育出版社，1982.

[5] 陳康生.電磁場與電磁波[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6] 鄒祖莉.用科學發展觀探究《電磁學》中的對稱性[C].貴州省科學技術優秀學術論文集，2004：426-428.