《線性代數》在線開放課程的典型問題與教學設計

朱榮坤，謝加良，高 峰

（集美大學 理學院，福建 廈門 361021）

近年來，隨著互聯網的全面普及和教育技術的不斷革新，大規模在線開放課程在全球興起.高等教育領域掀起了一股以“降低教育成本、促進教育公平、提升教學質量、提倡終身學習”為宗旨的在線開放課程建設的浪潮，為“互聯網+”時代的高等教育改革注入了新的活力.2015年4月，《教育部關于加強高等學校在線開放課程建設應用與管理的意見》[1]出臺，提出“鼓勵高校結合本校人才培養目標和需求，通過在線學習、在線學習與課堂教學相結合等多種方式應用在線開放課程”，這對推動我國大規模在線開放課程體系建設探索“高校主體、政府支持、社會參與”的中國特色發展道路具有重大指導意義.

盡管在線開放課程的開發與建設如火如荼，但在具體實施過程中也遇到了許多障礙和問題[2-3]，優質專業性課程的稀缺便是其中亟待解決的一個重要問題.積累相當規模的優質專業課程，并廣泛融入整個高校

課程教學系統，是全面建設在線開放課程體系，不斷推進新時期高等教育改革的先決條件和重要環節.然而，現實是我國的優質專業在線課程建設還非常薄弱.集美大學自2016年開始進行《線性代數》在線課程建設，課程組成員根據在線開放課程建設的原則，結合在線開放課程屬性，引入最新信息和教育技術，進行相關教學內容設計，進一步依托教改項目《代數類基礎課程的典型問題與方法研究》，凝練出多講“典型例題”，增補教學內容，整合知識體系[4].《線性代數》是高校理工科、經管類各專業的數學必修課程.在多年的課堂教學實踐中觀察可見，學生在該課程學習中獨立思考能力較差，在接觸具體內容時，通常是“知其然不知其所以然”，解題時只會套公式，缺乏在理解的基礎上靈活應用的能力[5-7].鑒于在線開放課程資源豐富、選擇多元、方式靈活、互動性強等特點,本文通過分析線性代數中的知識點、結合多年課堂教學經驗強調易錯點以及基于線性方程組和等價命題構建框架圖等方式，提出《線性代數》在線開放課程教學設計的新思路、新方案.

1 整合知識點

概念多、性質雜，邏輯性強，知識點前后縱橫交錯，是《線性代數》的課程特點.教學中要把前后知識點的典型問題進行有效的聯系、整合、提煉，這對學生大有幫助.整合知識點體現出在線課程教學注重學生的學而設計的理念，不僅根據所開設的課程和使用的教材來確定，更主要的是根據所隸屬的更大系統的學習需求，根據學習者的學習能力和水平來設計.

1.1 行列式的典型問題

主要思路：化零（觀察特點，選擇作行或列變換，化簡為三角形或者降階）

重要技巧：

①把某一行（列）的倍數加到其余各行（列）；

②把所有行（列）加到同一行（列）；

③逐行（列）相加（減）.

基本方法：

①按定義或按某一行（列）展開（先化0，再展開，展開后注意各項的符號！）

②化為三角形

典型例題：爪形行列式、非對角線元素全相等的行列式.

掌握了這些基本要點，計算基本類型的行列式就能有章可循.

1.2 方陣的運算性質

矩陣常見的運算有加法、數乘、乘法、逆、轉置等，彼此之間既有聯系又有區別，通過梳理、提升知識點，可列表如下（表中涉及的運算均有意義）.

1.3 初等變換的應用

初等變換是線性代數中的一個極為重要的工具，利用它可以解決許多問題.通過初等變換，就可以把線性代數的主體內容“串”起來，它是線性代數的教學主線，貫穿整個教學始終[5]，需要加以強化.

教學中要時刻提醒學生思考這樣的問題：初等變換可以解決哪些問題？其中哪些可作行變換也可作列變換？哪些只能作行變換？學生普遍容易出現的錯誤是：求特征向量時，先對特征多項式做列變換化簡，再回到對應的矩陣形式去求解齊次線性方程組從而得到基礎解系，錯誤地認為這就是所求的特征向量，且檢查多遍也找不出錯在哪里.一般可要求學生只用行變換以避免出錯.

1.4 階梯形（行最簡形）矩陣的化簡

階梯形是線性代數的一個重要求解目標，許多問題都可歸結為化階梯形矩陣，它的最大好處是便于求秩和求解.涉及到的問題主要有：線性方程組的求解（含基礎解系）與討論、向量組的秩與極大無關組及其線性表示問題、逆矩陣、矩陣的秩、特征向量的求法.因此，在教學中一定要引導學生熟練掌握階梯形的化法，一般方法是：逐列按行非零首元從上而下化零（行最簡形需再從下而上化零）；非零首元要盡量簡單（最好是±1），避開或推遲分數計算.

1.5 特征值特征向量的注意事項

（2）求特征值，能不能列變換？（可以）；求特征向量，能不能列變換？（不可）.

（3）如何確定特征向量要求幾個？ （n-r（A-λE））；對錯怎么檢查？（代入驗證）.

（4）特征向量一定非零（如果求出特征向量為零，一定是算錯了）

1.6 解題套路舉例

線性代數存在一些解題套路，教學中可以加以引導.例如：

（2）“拼湊”逆矩陣：

題型：已知n階方陣A的某個多項式f（A）=0，證明與A有關的矩陣□可逆，并求□-1.

表1 矩陣常見的運算Table 1 Common operations of matrices

比如 A2-A-2E=0，求（A+2E）-1=？

解法：可把f（A）=0根據目標矩陣□進行“拼湊”因式，得到矩陣▲，滿足□·▲=E（或▲·□=E）；或者利用待定系數法.

（3）線性無關的常規證明：先假設向量組的線性組合為零，設法變形為與已知條件有關的等式，利用已知條件得出相關結果，最終推導出線性組合的系數全部為零.

2 強調易錯點

易錯點，即學生普遍容易出現錯誤的知識點，有的是同一教學班級作業中體現出來的共性問題，甚至是歷屆學生都經常出現的典型錯誤，而學生自己往往沒有意識到.因此，在線課程教學中必須及時強調易錯點，充分考慮學習者的初始特征，特別是有關學習方面的特征，并據此安排不同的教學目標，進行不同的教學設計.杜絕了易錯點，也就澄清了知識點的模糊理解，對提高課程認知水平的意義顯而易見.

2.1 矩陣與行列式的基本區別

在符號、階數、加法、數乘、乘法、轉置等運算方式及其運算規律存在很大不同，易混淆.

表2 矩陣和行列式的區別Table 2 Differences between matrices and determinants

2.2 矩陣乘法交換律的不成立

導致矩陣的乘法性質與數的乘法存在許多不同之處，這往往是學生容易“想當然”的出錯之處.比如AB=0?/A=0orB=0（矩陣存在零因子），又如矩陣乘法不滿足交換律，所以要想方設法讓學生切實掌握乘法必須區分左乘、右乘.

2.3 行列式計算常見的易錯點

（1）展開后漏符號項、漏展開項；

（2）四階（及以上階數）按對角線法則展開；

（3）把一個行數、列數不相等的所謂“行列式”計算得煞有其事；

2.4 線性方程組的通解

特解由原線性方程組求得，基礎解系則由導出組求得，也就是說特解與常數項有關、求基礎解系時與常數項無關（必須是零），學生容易保留常數項去求基礎解系.線性方程組是否有解，要把矩陣的秩與n作比較，特別要注意n的含義，它指未知數個數，也是系數矩陣的列數，但未必是行數、也未必是方程組的方程個數.在教學中應特別強調注意方程的個數與是否有解沒有直接聯系.

3 構建框架圖

在線課程教學設計以先進教育教學理念做指導，除了體現課堂教學設計中知識的記憶之外，還強調意義的建構.這種建構的意義在于幫助學生對當前學習內容所反映的事物性質、規律以及事物之間的內在聯系達到較深刻的理解，從而達到融會貫通，真正形成自己的知識體系.

因此，基于知識架構，我們以線性方程組為主線構建《線性代數》課程的知識框架圖，如圖1.

圖1 《線性代數》課程的知識框架圖Figure1 Knowledgeframeworkdiagramforthelinearalgebracourse

而與此框架圖相應的一個等價命題幾乎貫穿著線性代數整個課程內容，即：

n元齊次方程組AX=0有非零解?r（Asn）＜n?A的列向量組線性相關（即A不可逆）?A含有零特征值.

如果考慮這個結論及其逆否命題，以典型行列式為背景顯然可以構造出一系列類型題.

在國內《線性代數》《高等代數》經典代數教材中都有如下一道典型的行列式習題[8,9]：

由于行列式問題常常可以演化為線性方程組、向量組的線性相關性、矩陣、特征值、二次型等問題，所以可在教學中進一步作變式，體現數學解題中的轉化思想.這種變式題型在線性代數考研中經常出現.

變式1聯系線性方程組解的問題.

例1[10]（數學③，2002）設齊次線性方程組

其中 a≠0，b≠0，n≥2.試討論 a,b為何值時，方程組僅有零解，有無窮多解？在有無窮多解時，求出全部解，并用基礎解系表示全部解.

變式2聯系矩陣問題.比如可逆、秩、向量組的線性相關性.

例2[10]（數學③④，2001）設矩陣，且秩（A）=3，則 k=_______.

本題可推廣為n階情形.

下例是作者于在線課程建設中編制的一道具有一定綜合性系列題.

②判定A的列向量組的線性相關性；

③討論A的秩；

④確定當A的伴隨矩陣A*可逆時，a應該滿足的條件；

⑤討論齊次方程組Ax=0的解，并求通解.

變式3聯系特征值問題.

例4[10]（數學③，2004）設 n 階矩陣

①求A的特征值和特征向量；

②求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣.

變式4聯系二次型問題.可借助典型行列式的矩陣形式探討對應二次型的正定性等問題.

例5[10]（數學①②③④，2007）設，則A與B（ ）

①合同且相似；②合同但不相似；③不合同但相似；④既合同又相似.

本題合同是二次型的概念，相似問題可從討論特征值入手.特征多項式是典型行列式，可求A的特征值為0,3,3.特征值不同則不相似，但正負慣性指數相同，所以合同.

這里，體現了數學解題中的轉化思想，即把要解決的未知、陌生的問題轉化為已知、熟悉的問題來處理，通過精選習題、變式探究、總結升華，培養學生靈活變通的思維品質.掌握這種轉化思想，乃至能將一類問題之間的聯系看清、摸透，不管它以何種形式或面目出現，都可以快速找到解題思路，進而大大提高解題能力和技巧.

在線開放課程是“互聯網+”時代高等教育質量切實提升、教學改革深化開展的關鍵一環；是打破時空限制和知識藩籬，整合全國教學資源為大眾共享的有效途徑；是實現全民學習、終身學習的重要平臺.在線開放課程體系建設是一項復雜的、綜合性的系統化工程.相比于傳統教學模式，在線課程在教學內容和教學設計上要求更嚴謹，既要充分考慮到課程內容的多少，又得兼顧學生可接受的程度.因此，我們通過總結多年線下教學中的經驗和學生的反饋情況，在每個不超過15 min的微課中整合知識點、強調易錯點以及構建框架圖.同時，我們通過課后作業配備、例題選講、在線答疑、階段小結、期考復習等方式進行補充和完善.由此，體現出在線課程模式比傳統教學模式在時間、空間、交流互動、考核等多方面的優勢.

在不斷向縱深推進的過程中，尚有諸多問題亟待解決，諸多工作有待開展，同時也有廣闊的空間可以探索.在線開放課程的建設和完善，要求高校教師調整角色定位，從單純的知識傳授者轉向多元的學習引領者.在實踐層面，教師在給予學習者基礎課程資源的同時，還要針對不同專業背景、不同層次需求的學生設計不同的學習內容，進一步整合知識點，總結在課堂教學中出現的典型問題等，多種方式并行，以此作為在線開放課程資源的有益補充.