在全國卷背景下對《坐標系與參數方程》教學內容的思考

張佳

【摘要】2016年有26個省份使用全國卷。隨著全國卷在各省份的使用，全國卷的考試內容和形式也越來越受到重視。本文從一線教師的視角出發，結合近幾年的高考真題，以求兩曲線交點問題、？籽的意義和t的意義的理解、求最值問題這三類重點題型為抓手，對《坐標系與參數方程》這部分內容中的重點進行分析，并給出教學建議，力求為一線老師的教學活動提供方向，讓老師們少走彎路，讓學生們抓住重點，盡快得分。

【關鍵詞】坐標系與參數方程 求兩曲線交點問題 ？籽的意義和t的意義的理解 求最值問題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）03-0150-02

隨著全國卷在各省份的使用，全國卷的考試內容和形式也越來越受到重視。在平時的教學中，如何教才能使學生在學到知識的同時，在高考中更加適應全國卷的考法，在考試中取得好成績，是迫切需要解決的問題。

選修4-4《坐標系與參數方程》是全國卷選考內容之一，在高考中是一道10分的大題，是解析幾何的內容之一。這部分內容在高考中要求不高，是學生在高考中必須拿分的地方。由此可見，學好這部分內容對學生是十分重要的。

目前國內關于《坐標系與參數方程》的一些研究，主要集中在理論層面比較多，缺乏在高考中針對這部分內容考點的指導。還有一些研究，是針對《坐標系與參數方程》的部分教學內容進行研究的，缺乏系統性，缺乏對整體教學內容的把握。針對以上的問題，筆者從一線教師的視角出發，結合近幾年的高考真題，對《坐標系與參數方程》這部分內容中的重點進行剖析，并給出教學指導建議，力求為一線老師的教學活動提供方向，讓老師們少走彎路，讓學生們抓住重點，盡快得分。

一、為什么要“選學”《坐標系與參數方程》

第一、《坐標系與參數方程》內容的學習有助于培養學生的數學思維。這部分是學生在學習了平面直角坐標系后，介紹了一種新的坐標系及曲線方程的新的表示方法。在學習了這部分內容之后，學生可以在解題時根據需要，選取適當的坐標系，求解曲線方程，進而更好的解決相關問題。通過這部分的學習讓學生知道在不同的坐標系中，坐標所表現出的不同的幾何意義，鍛煉學生思維的靈活性。

第二、這部分知識，在日常生活中具有廣泛的應用。如：各種各樣的擺線已被應用在圖案設計、擺線齒輪等方面。學生學完這部分內容后，可以在生活中更好的解決實際問題，體現數學來源于生活，為生活服務的特性。有效的培養了學生應用數學的能力和意識。

二、怎樣“選學”《坐標系與參數方程》

本章重點：坐標系的選擇，極坐標方程，平面直角坐標系中的伸縮變換，直線、圓和圓錐曲線的參數方程。

本章難點：理解極坐標的不唯一性，會選取不同的坐標系及參數求解方程。

以上是本專題的重點和難點。建議對部分數學基礎不是很好，學習興趣不高的學生，我們教學時應該讓他們抓住本章的重點進行學習；對于部分數學學習興趣高、接受能力強的學生，可以使這部分學生對坐標系與參數方程內容有一個更完整的了解，在學好重點內容的基礎上，可幫助他們對難點內容進行自學，培養他們的自我探究能力。在高考中，重點考查極坐標和參數方程的應用。其它坐標系，如：球坐標系等只要了解即可。

三、高考真題分析

1.求兩曲線交點問題

例1.2016年高考新課標Ⅰ卷理

解法一：

解：

（1）∵x=acosty=1+asint（t為參數，a>0） ∴x2+（y-1）2=a2 ①

即 C1為以（0，1）為圓心，a為半徑的圓。方程為：

x2+y2-2y+1-a2=0

∵ x2+y2=ρ2，y=ρsinθ

∴ ρ2-2ρsinθ+1-a2=0即為C1的極坐標方程。

（2）C2：ρ=4cosθ，兩邊同乘ρ得ρ2=4ρcosθ

∵x2+y2=ρ2， x=ρcosθ ∴x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4 ②

C3：化為普通方程為y=2x，由題意：C1和C2的公共點所在直線即為C3

①-②得：4x-2y+1-a2=0，即為C3 ∴1-a2=0， ∴a=1

[考點分析]

本題考點：參數方程與普通方程的轉化，極坐標方程與直角坐標方程的轉化，曲線交點的意義及求法。

[解法分析]

參數方程與普通方程的轉化，極坐標方程與直角坐標方程的轉化，體現了數學中的“相互轉化思想”。此方法是解決這類問題的基礎解法。要讓學生熟練掌握方程轉化的公式。第二問，應用解析幾何中經過兩圓交點的圓系方程解題。

[教學建議]

直角坐標方程與參數方程、極坐標方程的互相轉化，是 4-4最基本的內容，也是最簡單的內容。要讓學生熟記公式x=ρcosθy=ρsinθ及x2+y2=ρ2，并會運用。

在解題時，可以先將參數方程轉化為普通方程，極坐標方程轉化為直角坐標方程，然后利用解析幾何的知識解決。這種解法的好處是：將參數方程轉化為熟悉的普通方程，極坐標方程轉化為熟悉的直角坐標方程，從方程形式上減少了學生的陌生感；在知識上，直線和圓的相關知識是學生在初中就接觸的內容，在解析幾何中是比較基礎和簡單的內容，學生容易下手和敢下手去解題，從而增加了得分的概率。

解法二：

解：

（1） 同解法一

（2）公共點的極坐標滿足方程組：ρ2-2ρsinθ+1-a2=0ρ=4cosθ

若ρ≠0，由方程組得 16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0，

由已知tanθ=2，可得16cos2θ-8sinθcosθ=0，

從而1-a2=0，解得a=-1（舍去），a=1。

當a=1時，極點也為公共點，且在C3上。所以a=1。

[解法分析]

解法二在第二問中，采用極坐標方程的形式，利用方程組的思想解題。考查學生理解曲線在不同坐標系中的表現形式不同，但交點的意義不變，考查數學的本質。

[教學建議]

本題第一問將曲線C1的參數方程轉化為極坐標方程，第二問直接給出直線C3的極坐標方程，這些條件都在將本題引導向極坐標方程解題。用解法一的方法可以解出本題，但在教學中只強調這一解法，學生會產生困惑——既然直角坐標系可以解決這些問題，為什么還要教極坐標系？這不是多此一舉嗎！極坐標系有什么好處？極坐標系問題都轉化為直角坐標系解題，極坐標系不就成了直角坐標系的附屬品了嗎？等等，一系列的疑惑都將產生。這些疑惑并不是《坐標系與參數方程》這部分知識內容產生的，而是因為教學導向產生的，這有違教學大綱和數學精神，不利于學生學習數學的本質。所以，建議在平時教學時，這兩種方法都要介紹。甚至在新課時，只介紹解法二。讓學生理解和接受極坐標這一新內容，通過做題感受這一新的知識，以達到這部分的教學目的和教學要求，讓學生在學到知識的同時，感受到數學的美。在習題課和應考時，可以向基礎不好的學生，重點介紹解法一，作為一種得分的手段。

2.關于？籽的意義，t的意義的理解

例2.2016年高考新課標Ⅱ卷理

解：

（1）略

（2）

解法一：

將直線l的參數方程化為普通方程：y=kx，并代入到圓的方程得：（1+k2）x2+12x+11=0

x1+x2=-■，x1·x2=■

AB=■

=■=■

解得：k=±■， 所以l的斜率為■或-■

解法二：

在（1）中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ=α（ρ∈R）

由A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得 ρ2+12ρcosα+11=0

于是ρ1+ρ2=-12ρcosα， ρ1·ρ2=11，

AB=ρ1-ρ2=■=■

=■

解得cos2α=■ ，tanα=±■， 所以l的斜率為■或-■。

解法三：

將直線l的參數方程x=tcosαy=tinα（t為參數）代入到圓C的方程得：

t2+12tcosα+11=0

t1+t2=-12cosα， t1·t2=11

AB=t2-t1=■=■

=■

解得 cos2α=■，tanα=±■，所以l的斜率為■或-■

[考點分析]

圓的直角坐標方程與極坐標方程的互相轉化， 直線的參數方程，線段長的求法。

[解法分析]

第一問：將直角坐標方程轉化為極坐標方程，考查公式，讓學生牢記互化公式。

第二問：

解法一，將直線方程轉化為普通方程，然后利用解析幾何的弦長公式求解。

解法二，將直線方程轉化為極坐標方程，然后利用ρ的幾何意義求解。

解法三，直接使用直線方程，利用t的幾何意義求解。

[教學建議]

本題第二問采用三種方法解題，意在讓學生體會運用直角坐標方程、極坐標方程與參數方程三種方法解題的各自的解法、異同點及難易度差別。這三種方法比較起來，解法一的計算量略大，但更好理解。解法二和解法三計算量略小，但要求學生對ρ的意義，t的意義的理解程度較高。

從命題者角度分析，三種方法都可以解本題，一題多解，考查數學的本質。但本題更傾向于后兩種解法，由于本題直線l經過極點（即直角坐標系中的原點），所以解法二和解法三的過程有些相似，但意義不同。學生一旦對ρ的意義、t的意義理解了，則解本題思路清晰，計算簡便，可以很快的得分，這也體現出坐標系與參數方程的優勢。

這就要求在教學中對ρ的意義和t的意義的講解要到位。極徑（ρ）是極坐標系中的點到極點的距離。如果所求線段所在直線經過極點，則考慮用極坐標系求解比較簡單。t是有正負兩種情況的。t的幾何意義為直線x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數）上的點到直線上定點（x0，y0）的距離，線段長公式AB=t1-t2=■。當所求線段所在直線不經過原點時，考慮用參數方程求解比較簡單。以上幾點一定要重點強調，并讓學生通過做題來體會。學生一旦對ρ的意義和t的意義理解了，這部分內容的精髓也就掌握了。

3.求最值問題

例3.2014年高考新課標Ⅰ卷理

解：

（1）略

（2）在曲線C上任取一點P（2cosθ，3sinθ），到l的距離為

d=■4cosθ+3sinθ-6

則PA=■=■5sin（θ+α）-6，其中α為銳角，且tanα=■

當sin（θ+α）=-1時，PA取得最大值，最大值為■；

當sin（θ+α）=1時，PA取得最小值，最小值為■

[考點分析]

橢圓的普通方程化為參數方程，直線的參數方程化為普通方程；利用三角函數值域求最值。

[解法分析]

第一問：橢圓的普通方程化為參數方程，直線的參數方程化為普通方程，考查公式的應用，讓學生牢記互化公式。

第二問：將線段長度用參數表示，利用三角函數值域的有界性求最大和最小值。

[教學建議]

將直角坐標的x，y 用一個參數表示，從而減少未知數的個數；再利用三角函數求值域。這一應用，充分體現了參數方程相對普通直角坐標方程，在求最值方面的優勢。教師在教授參數方程這節課時，一定要介紹此應用。因為，可以通過此應用讓學生在做題中體會應用參數方程解題的優勢，激發學生的興趣。

四、思考與總結

通過以上高考真題的分析可以看出，高考試題以直線和圓為載體，考查平面直角坐標方程與極坐標方程的轉化公式。在參數方程方面，考查參數方程與普通方程的轉化方法。在第二問中，考查利用上述方程，求解有關位置、交點和距離的問題等。

在教授參數方程時，要著重讓學生理解好參數的幾何意義，利用幾何意義可以更快的解題。

在極坐標教學時，要著重讓學生理解好？籽、？茲的意義，讓學生熟練應用轉化公式。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中《數學課程標準》（試驗）.人民教育出版社，2003.4.

[2]數學課程標準研制組編寫.普通高中數學課程標準解讀.江蘇教育出版社，2004.3.

[3]課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書 數學.人民教育出版社，2005.6.